高中数学经典题型全解析：第10讲（17）三角函数概念讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数概念核心考点，涵盖角的推广、弧度制、任意角三角函数、单位圆与诱导公式等内容，按“概念建构-运算规律-实际应用”逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生建立知识网络，突破象限角判断、三角函数值求解等难点。 讲义突出数学思维与直观想象，如用终边定义法结合单位圆培养数学眼光，通过“奇变偶不变”口诀与分类讨论提升推理能力，设置典例精讲与分层变式练习，确保学生高效掌握诱导公式应用等关键技能，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第十三讲 三角函数概念 1 学科网（北京）股份有限公司 1．角的推广 1.1运动变化观下角的定义 1.2分类讨论象限角 1.3轴线角不属于任何一象限 2．弧度制 2.1用圆的半径度量弧长得弧度数 2.2 扇形的弧长与面积 3.任意角三角函数 3.1 初中锐角三角函数定义的妙用 3.2终边定义法求任意角的三角函数值 3.3 妙用三角函数定义求三角函数值 3.4 判断三角函数值的符号 4.单位圆与圆周运动 4.1 利用三角函数线比较函数值的大小 4.2利用三角函数线解三角函数不等式 4.3 终边定义法确定圆上的动点旋转后的坐标 4.4 三角函数定义与圆周运动 5．不同角的三角函数间的关系（诱导公式） 5.1 同名三角函数间的诱导公式 5.2 负化正，大化小，化到锐角为终了 5.3不同名函数之间变换的诱导公式 5.4利用诱导公式本质巧求值 5.5奇变偶不变，符号看象限 6.妙用诱导公式巧求值 6.1互补（余）的两个角之间的关系 6.2怎样巧用“1”进行化简、求值 6.3利用诱导公式化函数f(sin x)与f(cos x)之间的转化 1．角的推广 1.1运动变化观下角的定义 【典例1】下列说法正确的个数是（ ） （1）角是由两条射线构成； （2）一条射线绕其端点旋转45°,则这个角的大小为45°； （3）一条射线没有作任何旋转不能形成角，角一定是由两条射线构成． A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】（1）只有共端点的射线才可能形成角，故（1）错误； （2）角的正负由旋转方向决定，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，故（2）错误； （3）一条射线没有作任何旋转也能形成角，这个角为零角，故（3）错误． 故选A. 【评注】角可以看成平面内一条射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角． 【变式1】如果将时钟拨慢2小时30分钟，那么分针转过的角度是 . 【变式2】如果时针走了2小时40分钟，那么分针转过的角度是 . 【典例2】写出终边落在阴影部分的角的集合． 【解析】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成． 设,． 即角α的集合应当是集合与的并集，所以 {α|α<或α<,} ． 【评注】解决终边落在阴影部分的角的集合问题，一般先写出终边落在边界的角的集合，然后根据图形找出满足题目区域的角.若显示角的终边落在直线上，一般把角分为两类讨论，最后可以合并． 【变式1】终边落在轴上的角的集合为 ． 【变式2】下图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合为 ． 【变式3】如图，若角的终边落在函数(0)与(≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内，则角的集合为 ． 1.2分类讨论象限角 【典例1】若是第三象限角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】因为是第三象限角，所以， 所以，故是第一象限角，选A． 【评注】若将角顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．象限角是以角的终边位置分类的，锐角、直角和钝角是以角的大小分类的，不能将它们混淆. 【变式1】若，则角在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【变式2】终边在第二象限的角的集合为 ． 【变式3】终边分别在第一、三象限的角的集合为 ． 【典例2】若是第二象限角，试确定是第几象限角． 【解析】（法1）因为是第二象限角，所以， （1）因为， 所以2α是第三或第四象限角，或2α的终边落在y轴的非正半轴上的角． （2）因为， 当时，，所以是第一象限角； 当时，，所以是第三象限角． 所以是第一或第三象限角． （3）因为 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角； 所以为第一或第二或第四象限角． （法2）利用几何法，如图， 可得，是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角；为第一或第三象限角；为第一或第二或第四象限角． 【评注】已知是第几象限的角，确定是第几象限角的方法， 一是分类讨论法：先根据的范围用整数把的范围表示出来，再对分种情况讨论； 二是几何法：把各象限均先等分，再从轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则原来是第几象限对应的标号即为的终边所在的区域． 【变式1】已知是锐角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 【变式2】已知是第一象限角，那么是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 【变式3】在下列说法中： ①的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为 ． 【变式4】下列命题： ①第一象限角是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角； ④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥三角形内角是第一、第二象限的角； ⑦向左转体1周形成的角为.其中是真命题的为 ． 1.3轴线角不属于任何象限 【典例】若在第一象限，则中必定为正的有（ ） A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 【解析】为第一或第二象限角或终边在轴的非负半轴上，为第一或第三象限角，所以， 而，，符号不确定．故选B． 【评注】在判断角度终边的位置时，注意角的终边位置除了在四个象限，还可能在坐标轴上，应避免漏解. 【变式1】已知为第三象限角，则是第　 　象限角，的终边落在　　 　． 2.弧度制 2.1 用圆的半径度量弧长得弧度数 【典例】求图中公路弯道处弧的长（精确到，图中长度单位：） 【解析】 因为，所以. 【评注】1弧度角的定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.角的弧度数，弧度． 【变式1】下列说法中，正确的是（ ） A．1弧度是长度等于半径的弧 B．1弧度是1°的圆心角所对的弧 C．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位 D．1弧度等于1° 【变式2】下列说法中，错误的是（ ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，180°一定是弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 【变式3】下列说法中，正确的是（ ） A．1弧度是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 【变式4】时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A. B． C. D． 【变式5】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为(　　) A． B． C． D． 2.2扇形的面积 【典例1】若扇形OAB的面积是，它的周长是，求扇形圆心角的弧度数． 【解析】 由已知得，扇形OAB的面积，扇形OAB的周长， 由以上两个方程可解得，．所以， 所以扇形圆心角的弧度数是． 【评注】《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形．扇形面积与圆心角度数成正比，比例系数就是，；当然扇形面积与圆弧长度成正比，比例系数就是.从而得到扇形的面积公式是(其中是扇形弧长，是扇形圆心角)． 【变式1】如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________． 【变式2】已知两个圆心角相同的扇形面积之比为，求这两个扇形的周长之比 ． 【变式3】如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为，半径长为6，则弓形ACB的面积为________． 【变式4】已知扇形的弧长所对的圆心角为，求扇形的面积与其内切圆面积之比 ． 【典例2】已知扇形AOB的周长为8 cm.求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB． 【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为， 因为2r＋l＝2r＋αr＝8，所以r＝． 所以S扇＝αr2＝α·＝， 当且仅当α＝，即α＝2时，扇形面积取得最大值4． 此时，r＝＝2 (cm)，所以|AB|＝2×2sin1＝4sin1 (cm)． 【评注】求扇形面积最大值的问题，常转化为基本不等式或二次函数求解．利用扇形的弧长和面积公式解题时，还要注意角的单位必须是弧度． 【变式1】已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 【变式2】已知扇形AOB的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm2，则扇形圆心角的大小为 ． 【变式3】已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径．求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积． 【变式4】已知一扇形所在圆的半径是，若扇形的周长是一定值，该扇形的面积最大值为 ． 3.任意角三角函数 3.1锐角三角函数定义的妙用 【典例】设的内角所对的边长分别为，且，则= ． 【解析】过点作于，则由，， 所以在中，． 【评注】在解三角形中，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数定义可以直接求解． 【变式1】视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角 如图，两座相距30 m的建筑物，的高度分别为20m、50m，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的仰角为 ． 【变式2】在中，，，点在边上，∠ADC＝45°，则的长度等于 ． 3.2终边定义法求任意角的三角函数值 【典例1】已知的终边经过点且,求，． 【解析】由任意角三角函数定义可得，，所以， 当时，，所以，； 当时，，所以，． 【评注】“终边定义法”下的任意角三角函数定义是：将角的顶点与平面直角坐标系的坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，在终边上任取与原点不重合的点， 则．与课本中“单位圆定义法”等价. 【变式1】已知角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值和正切值． 【变式2】已知角α的终边经过点，则等于 ． 【变式3】已知角终边上一点P，则的最小正角为 . 【变式4】已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则_______． 【变式5】已知角的终边经过点，且cosα＝－，则实数m等于 ． 【变式6】已知角是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ． 【变式7】 在平面直角坐标系中，角的终边经过点． （1）求的值；（2）若关于轴的对称点为，求的值． 【典例2】在直角坐标系中，若角的始边为轴的非负半轴，终边为射线l：，则 = ． 【解析】（法1）由终边为射线，可在终边上任取异于原点的任意点， 则由任意角三角函数定义，得， 故． （法2）在终边上取异于原点的特殊点，则 则由任意角三角函数定义，得，故． 【评注】利用任意角三角函数的定义求角的三角函数值，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标,纵坐标,该点到原点的距离.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况. 【变式1】已知的终边在直线上，则= ，= ，= . 【变式2】已知角的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为 ． 3.3 妙用三角函数定义求三角函数值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点．已知的横坐标分别为．则的值为 ． 【解析】由条件得，，因为为锐角，所以，， 因此，故． 【评注】三角函数可利用终边与单位圆交点坐标来刻画，当题目与单位圆联系比较紧密时，可以充分利用三角函数的单位圆定义及三角函数公式来解决. 【变式1】为坐标原点，是单位圆上的动点，是圆与轴正半轴的交点，设．当点的坐标为时时，的值为 ． 【变式2】如图，是圆上的两点，点是圆与轴正半轴的交点，已知，且点B在劣弧CA上，为正三角形，则 ． 【变式3】已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则= ． 【变式4】如图，在平面上，点，点在单位圆上，， （1）若点，求的值； （2）若，，求的值． 3.4 判断三角函数值的符号 【典例1】求函数的值域 ． 【解析】当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3； 当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1； 当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1； 当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1. 故值域为{－1,3}． 【评注】确定三角函数符号需要以下步骤：一定象限，二用口诀；三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 【变式1】判断下列三角函数值的符号．（1）；（2）；（3）． 【变式2】已知点落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则角θ的终边在第 象限． 【变式3】若，且，则角的终边在（ ） A．第一象限　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】若，则（ ） A． B． C． D． 【变式5】确定六个三角函数中，正数的个数为 ． 【变式6】已知点，则点在第 象限． 4.单位圆与圆周运动 4.1 三角函数线比较函数值的大小 【典例1】比较大小：． 【解析】1弧度，且，如图所示，知OA < AD < BC，即cos1 < sin1 < tan1． 【评注】三角函数线的特征是： 正弦线 “站在轴上(起点在轴上)”， 余弦线“躺在轴上(起点是原点)”， 正切线 “站在点处(起点是)”，如图. 【变式1】设，，，则(　　)[来源:学|科|网] A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 【变式2】比较sin2和cos2的大小． 【变式3】比较和的大小． 【典例2】求证：（其中）． 【解析】证明：在单位圆中，记，， 则有，，． 由图得，，即， 所以． 【评注】对于超越不等式，借助三角函数线，利用几何直观图，通过建立面积不等式，实现快速解题. 【变式1】集合中元素的个数是 ． 【变式2】设α为锐角，求证：． 【变式3】若，试利用三角函数线讨论值的变化规律． 4.2利用三角函数线解三角函数不等式 【典例】利用三角函数线解不等式. 【解析】如图所示,，过作轴,则满足条件的角的终边在扇形OCD内， 因此不等式的解集是. 【评注】利用三角函数线解三角函数不等式口诀： （1）“正纵余横弦连片”中“正纵”是指正弦不等式或的解（阴影）关于纵轴(轴)对称，“余横” 是指余弦不等式或的解（阴影）关于横轴(轴)对称，“弦连片”是指正弦、余弦不等式的解（阴影）是相连成一片，不断开． （2）“正切原点对顶干”是指正切不等式或的解（阴影）关于原点对称，且成对顶角的形状． （3）“先画边界有虚实”是指三角不等式中带等号时，边界画成实线，不带等号时画成虚线。“再由特殊定阴影”是指三角不等式的解对应阴影部分的选取要根据坐标轴上的三角函数值来帮助解决．如解时，画了边界（虚线）后，结合正弦函数在坐标轴上的函数值0，1，0，-1选取含1的部分． （4）“大小弄反加”是指所写的边界角构不成集合时，小的加（或大的减）．如解不等式时，边界对应的角是和 ，，按逆时针转，写不成集合，因此，让大的减去，写出解集为． （5）“图象先选一周期”是指画三角函数图象时，根据三角函数的周期性，选择一个周期图象，其它的加上周期的整数倍即可． 【变式1】利用三角函数线解不等式. 【变式2】利用三角函数线解不等式. 4.3 利用终边定义法确定圆上的动点旋转后的坐标 【典例1】已知，将向量绕点按照逆时针旋转后得到向量，则点的坐标是____． 【解析】设，则sinα=，cosα=，设，于是， 所以，又，所以， 故点的坐标是． 【评注】由“终边定义法”可确定角的终边上对应点的坐标：若，则点的坐标满足． 【变式1】点从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为________． 【变式2】动点从点A(4,0)出发沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点各自走过的弧长． 【典例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________． 【解析】如图，作CQ//x轴，PQ⊥CQ,，Q为垂足．根据题意得劣弧的长为2，故∠DCP＝2， 则在△PCQ中，∠PCQ=2－，|CQ|=cos(2－)=sin2，|PQ|=sin(2－)=， 所以P点的横坐标为2－|CQ|＝，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝， 则P点的坐标为，故． 【评注】通过确定圆滚动的距离及点相对于初始位置的旋转角，把问题转化为由劣弧的长确定点，然后利用、圆心与轴构造直角三角形求解． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时点位置是原点，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_____． 4.4 三角函数定义与圆周运动 【典例】如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1弧度每秒，试求经过秒后，点的坐标. 【解析】设，则经过t秒后旋转弧度是， 所以．设，根据三角函数的定义，得 ，． 所以. 【评注】根据三角函数定义中的角始边是轴正半轴，故旋转角度从轴正半轴算起，例如本题中点经过秒后旋转弧度，它包含轴下方的度数，故. 【变式1】 一半径为的水轮，水轮圆心位于水面上，已知水轮每分钟按逆时针转动10圈，如果当水轮上点P位于最高处计时，将点P距离水面的高度表示为时间的函数为 ． 【变式2】一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动10圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.将点距离水面的高度表示为时间的函数为 ． 【变式3】蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经 过的路程为 米． 5．不同角的三角函数间的关系（诱导公式） 5.1 同名三角函数间的诱导公式 【典例】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）与，与，与是同终边角． 由三角函数的定义知：，，． 所以原式； （2）原式； （3）原式； (4）原式． 【评注】同名三角函数间的诱导公式：我们可把看成锐角，由三角函数的定义可知， （1）与角的终边相同，故同名的三角函数值相同； （2）与角的终边与单位圆的交点关于轴对称，则余弦值相同，正弦值和正切值互为相反数； （3）与角的的终边与单位圆的交点关于轴对称，正弦值相同，余弦值和正切值互为相反数； （4）与角的的终边与单位圆的交点关于坐标原点对称，正切值相同，正弦值和余弦值互为相反数．即“函数名不变，符号看象限． 【变式1】 . 【变式2】计算：（1）；（2）． 【变式3】计算：． 【变式4】计算：． 【变式5】计算：（1）；（2）． 5.2 负化正，大化小，化到锐角为终了 【典例】求下列三角函数值： （1）； （2）； (3) ． 【解析】（1）； （2） ； （3）． 【评注】用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数.概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也可直接化到锐角求值）． 【变式1】的值是 （ ）[来源:Z.xx.k.Com] A． B． C． D． 【变式2】如果角满足，那么下列式子中正确的个数是(　　) ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】求值： ． 5.3不同名函数之间变换的诱导公式 【典例】下列各式计算正确的是： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【解析】（1），故（1）错，（2）对； （3），故（3）对；（4），故（4）对； （5），故（5）对；（6），故（6）对． 【评注】将看成锐角，结合三角函数的定义，就能得到： 与角的终边与单位圆的交点关于对称:两者的正余弦值交换； 由与角的的终边与单位圆的交点关于对称:可得． 由与角的的终边与单位圆的交点关于对称:可得：． 由与角的的终边与单位圆的交点关于对称:可得：． 即：“函数名改变，符号看象限” 【变式1】已知方程，则的值为________． 【变式2】若，则的值为________． 【变式3】已知，且，则的值为________． 【典例2】化简 【解析】原式． 【评注】利用诱导公式时，应注意两点，第一：判断角度为的奇数倍还是偶数倍决定是否改变函数名；第二：利用角度所在象限判断是否添加负号. 【变式1】化简：= ． 【变式2】化简： = ． 【变式3】化简：= ． 5.4利用诱导公式本质巧求值 【典例】已知，则的值为 ． 【解析】因为， 所以两角的终边关于轴的负半轴对称，即两角的正切值互为相反数． 即． 【评注】在单位圆上，角，，，与角的终边的对称关系如图，根据角的终边的对称关系，结合三角函数定义，便理解了诱导公式的本质，就可以轻松解决与诱导公式有关的问题． 【变式1】已知，则 ． 【变式2】已知θ是第四象限角，且，则= ． 【变式3】若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.5奇变偶不变，符号看象限 【典例1】求值：． 【解析】原式 ． 【评注】三角函数诱导公式的本质是“奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）”. 【变式1】下列各选项中，与最接近的数是(　　) A． B． C． D． 【变式2】的值等于 ． 【典例2】设，，，求的值． 【解析】（1）当时，； （2）当时， ； （3）当时，； （4）当时，. 【评注】（1）诱导公式是针对，，，，，等形式的角而言，每一个公式对应一种形式，如果角的形式不确定，且它包含上述几种形式的角，就需要分成几种情况讨论. （2）情况明确后，遵循“负化正，大化小，小化锐”的基本程序化简.（3）应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀. 【变式1】化简：. 【变式2】已知，则的值构成的集合是(　　) A． B． C． D． 6.妙用诱导公式巧求值 6.1互补（余）的两个角之间的关系 【典例】已知，求的值. 【解析】因为，所以. 【评注】通过诱导公式建立起已知角和所求角之间的联系，例如，从而把看作为一个整体，灵活运用诱导公式把未知三角函数值表示出来. 【变式1】已知，则值为（ ） A. B. C. D. 【变式2】已知,则的值为 . 【变式3】已知，则的值为 . 【变式4】已知,则的值为 . 6.2怎样巧用“1”进行化简、求值 【典例1】求值：. 【解析】因为，，…， 所以原式. 【评注】灵活使用，，可简化计算，还要注意化简后的结果尽量可能有理化、 整式化. 【变式1】设角，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】化简：（ ） A. B. C. D. 【变式3】化简：. 【变式4】化简：. 【变式5】若，则________． 【典例2】已知，计算： (1)；(2)；(3)；(4). 【解析】由 得， (1)； (2)； (3)因为，所以，所以； (4) . 【评注】先利用诱导公式化简条件和结论，然后根据同角三角函数基本关系求值，必要时根据的范围进行讨论. 【变式1】已知，那么（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则= ． 【变式3】已知，角是第二象限角，则等于(　　) A． B． C． D． 6.3利用诱导公式化函数与之间的转化 【典例1】设函数，（其中为非零常数），若，则 ． 【解析】由，得， 所以. 【评注】f( x)表示函数的自变量是x，则表示函数对应法则下的自变量. 【变式1】若，则 (　　) A． B． C． D． 【变式2】若，则 (　　) A． B． C． D． 【变式3】若，则（ ） A．0 B．1 C．－1 D． 【变式4】已知函数，（其中为非零常数），若，求的值． 【变式5】记，（其中为非零常数），若，求的值． 【典例2】已知，求证：． 【解析】证明：． 【评注】对于复合函数 ，并不是函数的解析式，可通过配凑法、换元求出的解析式．作为已知条件也可以直接作为公式使用，前提是要把． 【变式1】已知，求证：． 【变式2】已知，求证：． 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三讲 三角函数概念 1 学科网（北京）股份有限公司 1．角的推广 1.1运动变化观下角的定义 【典例1】 1．【解析】将时钟拨慢2小时30分钟，即逆时针旋转个圆周，故为． 2.【解析】由时针走了2小时40分钟可知，分针顺时针旋转了圈，所以分针转过的角度是. 【典例2】 1.【解析】，即． 2.【解析】略 3.【解析】略 1.2分类讨论象限角 【典例1】 1.A【解析】当k为奇数时，在第三象限；当k为偶数时，在第一象限． 2.【解析】略 3.【解析】 终边在第一象限的角的集合为：； 终边在第三象限的角的集合为：． 所以终边在第一、三象限的角的集合为． 【典例2】 1.C【解析】因为是锐角，所以，所以，故选C． 2.D【解析】因为是第一象限的角，所以，因此. 3.①②④【解析】的角是指，角不是第一象限的角，①错； ，但是第二象限的角，是第一象限的角，②错，③对； ,但是不是锐角，④错.故答案是①②④. 4．②⑦【解析】①角是第一象限的角，但不是锐角，不正确； ②锐角是大于且小于的角，终边落在第一象限，故是第一象限的角，正确； ③角是第一象限的角，但它是负角，不正确； ④角是第二象限的角，角是第一象限的角，但,不正确； ⑤角是第二象限的角，但不是钝角，不正确； ⑥三角形的内角可以是，但它既不是第一象限的角，也不是第二象限的角，不正确； ⑦向左旋转为逆时针旋转，所以旋转一周形成的角为，正确. 故真命题为②⑦. 1.3轴线角不属于任何象限 1.二或四，第一、二象限或轴的非负半轴上【解析】是第二或第四象限角；的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上． 2.弧度制 2.1 用圆的半径度量弧长得弧度数 1.C【解析】1弧度角的定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.故选C． 2.D【解析】由定义可知，选D． 3.D【解析】弧度与圆的半径长短无关，仅与角的大小有关．故选D． 4.B【解析】由于分针是顺时针旋转，且旋转了圈，故弧度数为．故选B． 5.C【解析】设圆的半径为R，由题意得，圆内接正三角形的边长为，所以圆弧长为，所以其圆心角弧度数为． 2.2扇形的面积 【典例1】 1. π cm2【解析】S＝|α|r2＝×π×100＝π(cm2)． 2.【解析】由扇形面积公式，所以扇形面积之比是半径之比的平方，半径之比为，由周长公式得两个扇形的周长之比等于半径之比为． 3.【解析】由扇形AOB的圆心角，所以，又，所以. 4.【解析】由扇形面积公式，得扇形的面积,记扇形的内切圆半径为，则，即，因此扇形的内切圆面积，从而． 【典例2】 1.C【解析】设此扇形的半径为，弧长为，则，解得或．因而或.故选C. 2.或6【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，由题意可得解得或，所以α==或α==6． 3.【解析】因为圆心角的弧度数是，由扇形的弧长公式得弧长， 记弧所在的弓形的面积为S,扇形的面积为,弧所对的弦及半径构成的三角形的面积为. 则． 4.【解析】设扇形的半径为，则扇形的弧长为，则. 3.任意角三角函数 3.1锐角三角函数定义的妙用 1.【解析】过作于，由图可知为从建筑物的顶端看建筑物的仰角， 在中，，故． 2.【解析】作于，在中，，所以，即， 所以．在中，，所以． 3.2终边定义法求任意角的三角函数 【典例1】 1.【解析】由三角函数定义得，． 2.【解析】因为点在单位圆上，所以由三角函数定义得， 因此. 3. 【解析】设，，则， 所以，，根据特殊角的三角函数得的最小正角为. 4.【解析】由已知得，解得． 5. 【解析】由得，解得． 6.【解析】由已知得，解得． 又是第二象限角，所以，故． 7. 【解析】（1）因为角的终边经过点，所以， 所以． （2）因为关于轴的对称点为，所以．所以， 故．　 【典例2】 1.，，【解析】当时，在角的终边取一点， 因为，则，所以，，； 当时，在角的终边取一点，因为，则. 所以，，. 2. 0【解析】设角终边上任一点为，则r＝． 当k＞0时，，＝＝，所以； 当k＜0时，10sin α＋＝3－3＝0． 综上，． 3.3 妙用三角函数定义求三角函数值 1.【解析】由点A的坐标，可知． 2.【解析】由，知，． 故． 3. 【解析】由题意得，，，所以，故． 又，所以，所以． 所以． 4.【解析】（1）由于，，所以，，，； （2）由于,，， ，所以 ，， 则． 3.4 判断三角函数值的符号 1.【解析】（1）因为，所以 是第二象限角，因此； （2）因为，且，所以是第一象限角，因此； （3）因为，且，所以是第二象限角，因此． 2. 四【解析】由知，角θ是第四象限的角． 3.C【解析】 由知，角的终边在第三象限或第四象限或终边在轴的非正半轴上； 由角的终边在第一象限或第三象限，故是第三象限的角，选C． 4. C【解析】 由，得与同号，排除A、B， 又，故，选C． 5. 3【解析】因为，， 即六个三角函数中，正数的个数为3. 6. 三【解析】因为，故5是第四象限角，所以，所以点在第三象限． 4.单位圆与圆周运动 4.1 三角函数线比较函数值的大小 【典例1】 1. D【解析】如图，在单位圆O中分别作出角，，的正弦线，余弦线,正切线． 由知，又，易知，所以， 故b<a<c． 2.【解析】因为,结合三角函数线定义知，因此． 3.【解析】因为，结合三角函数线定义知． 【典例2】 1. 1【解析】由可知，又，所以． 2.【解析】如图所示，设角α终边与单位圆交于P(x, y)，过P作PQ⊥Ox于Q，PR⊥Oy于R， sinα = y，cosα = x．在△OPQ中，| QP | + | OQ | > | OP |，即sinα + cosα > 1 ①， 又，，， 且知四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，所以 ，即 ②， 由①，②得：． 3.【解析】当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，． 4.2三角函数线解三角函数不等式 1.【解析】如图，在轴上取点，过作轴的垂线，与单位圆交于A,B两点，满足条件的角的终边在扇形内，故解集. 2.【解析】如图，阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 或. 4.3 终边定义法确定圆上的动点旋转后的坐标 【典例1】 1.(－，)【解析】当点为(－1,0)时，顺时针旋转弧长到达点，因此点的坐标为，即． 2.【解析】由已知得第一次相遇时所用的时间为（秒），所以相遇点的坐标为，即．故P点走过的弧长为，Q点走过的弧长为． 【典例2】 1.【解析】由已知得，点相对于圆心的旋转角为，则，即． 4.4 三角函数定义与圆周运动 1.【解析】以水面所在直线为轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系， 在内旋转的角度是，以为始边，为终边的角为， 故点的纵坐标是，则． 2.【解析】设为以为始边，为终边的角， 在内旋转的角度是． 以为始边，为终边的角为， 故点的纵坐标是，则． 当时，，故，即． 所以． 3.【解析】飞轮上一点1秒内所经过的路程为米． 5．不同角的三角函数间的关系（诱导公式） 5.1 同名三角函数间的诱导公式 1.【解析】． 2.【解析】（1）原式； （2）原式． 3.【解析】原式． 4.【解析】原式． 5.【解析】（1）原式； （2）原式． 5.2 负化正，大化小，化到锐角为终了 1．A【解析】原式 ．故选A． 2. B【解析】因为，所以，所以，故①正确，②不正确； ，故④正确，③不正确．故选B． 3.【解析】原式 ． 5.3不同名函数之间变换的诱导公式 【典例1】 1.【解析】因为，所以，所以，所以，且，故原式． 2.【解析】由，得，故原式． 3.－【解析】因为，所以，又，所以，， 所以，故原式． 【典例2】 1. 1【解析】原式． 2.【解析】原式． 3.【解析】原式． 5.4利用诱导公式本质巧求值 1.【解析】因为，所以两角的终边关于角的终边（即直线在第一象限的部 分）对称，所以． 2.【解析】因为θ是第四象限角，所以，所以又，所以θ是第一象限角，故，， 所以，所以． 3. C【解析】由于，可得， 所以原式=． 5.5奇变偶不变，符号看象限 【典例1】 1.A【解析】与最接近的是，而． 2. 【解析】，，因此． 【典例2】 1.【解析】①当，时，原式. ②当，时，原式. 2.C【解析】，. ①当，时，； ②当，时，.故选C. 6.妙用诱导公式巧求值 6.1互补（余）的两个角之间的关系 1.C【解析】因为，所以.故选C . 2.【解析】因为，所以， ， 故. 3.【解析】因为，所以. 4.【解析】因为，所以. 6.2怎样巧用“1”进行化简、求值 【典例1】 1.C【解析】原式 . 2.C【解析】原式，因为，所以，，所以，故原式.故选C. 3.【解析】原式. 4.【解析】原式. 5.【解析】因为，所以原式 ． 【典例2】 1.C【解析】．故选C． 2.【解析】． 3. C【解析】因为，是第二象限角，所以， 所以．故选C． 6.3利用诱导公式化函数与之间的转化 【典例1】 1.C【解析】.故选C. 2.A【解析】因为，所以．故选A． 3.C【解析】．故选C． 4.【解析】由已知得，， 所以． 5.【解析】 由题意：． 所以，故． 【典例2】 1.【解析】证明：． 2.【解析】证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $