第01讲 集合及其运算讲义-2027届高三数学一轮复习

第01讲 集合及其运算 内 容 导 航 知识点1 集合核心概念 知识点2 集合间关系 知识点3 集合基本运算 知识点4 核心性质与思想 知识点5 元素与集合的关系 知识点6 元素特征 知识点7 Venn图的应用 知识点8 运算确定集合或参数 知识点9 容斥原理的应用 知识点10 新定义问题 题型1 常用数集及其记法 题型2 集合的确定性、互异性、无序性 题型3 判断两个集合是否相同 题型4 两个集合相等的应用 题型5 判断元素与集合的属于关系 题型6 元素与集合的属于关系的应用 题型7 列举法表示集合 题型8 描述法表示集合 题型9 集合并集关系的应用 题型10 Venn图表集合的包含关系 题型11 判断两个集合的包含关系 题型12 集合的包含关系的应用 题型13 子集的判断与求解 题型14 集合交集关系的应用 题型15 集合交集关系的应用 题型16 集合交并补混合关系的应用 知 识 点 通 关 知识点1 集合核心概念 1.关系 属于： ；不属于：； 2.元素三特性 确定性：元素是否在集合中可判定 互异性：集合中元素互不相同 无序性：元素顺序不影响集合 3.常用数集 自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集 4.表示方法 列举法、描述法、Venn 图法 知识点2 集合间关系 关系 符号 核心含义 子集 A 中所有元素都属于 B 真子集  A⊆B 且 B 中至少一个元素∉A 相等 A⊆B 且 B⊆A 空集 不含任何元素，是任何集合的子集 必记结论 （1）含n个元素的集合，子集数，真子集数。 （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。 离散数集：按包含关系列方程求解。 核心转化： A∩B=A ⇔ A⊆B A∪B=A ⇔ B⊆A 易错分析 易忽略集合为空集 忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。 知识点3 集合基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 方法技巧 明确各个运算的几何意义 交：A∩B → 既在 A 又在 B 并：A∪B → 在 A 或在 B 补：∁ᵤA → 全集中不在 A 的元素 工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。 易错分析 补集运算忘记全集范围。 端点取舍错误（如≤和<）。 知识点4 核心性质与思想 1. 2. 3. 4. 5. 知识点5 元素与集合的关系 方法技巧 判断元素与集合关系 直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。 推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。 符号区分：∈（属于） 用于元素与集合；⊆（包含于） 用于集合与集合。 易错分析 混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把 0⊆A 写成 0∈A。 知识点6 元素特征 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。 求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。 无序性：集合元素顺序不影响集合本身。 易错分析 求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。 知识点7 Venn图的应用 方法技巧 德・摩根定律 阴影部分：先看是交 / 并 / 补哪种组合，再对应计算。 德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB。 易错分析 看错阴影区域 看错阴影区域，把A∩∁ ᵣ B看成∁ ᵣ A∩B。 知识点8 运算确定集合或参数 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 先化简集合，再把运算关系转成包含关系。 数轴法：画数轴定范围，列不等式组。 分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。 易错分析 端点没等号 列不等式时端点没等号，范围扩大 / 缩小。 忽略参数使集合为空集的情况。 知识点9 容斥原理的应用 方法技巧 在排列组合中的应用 （1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。 （2）运用公式： 易错分析 重复计数，多算 / 少算交集部分。 知识点10 新定义问题 方法技巧 严格按题目定义运算，不套用旧公式。 分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。 新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。 易错分析 曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。 考 点 演 练 题型1 常用数集及其记法 【典例1】给出下列6个关系：①，②，③0∉N*，④，⑤π∉Q，⑥|﹣2|∈Z．其中正确命题的个数为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【解答】解：对于①，因为是实数，所以∈R，故①正确； 对于②，因为不是整数，所以，故②错误； 对于③，因为0不是正整数，所以0∉N*，故③正确； 对于④，因为2是正整数，所以，故④正确； 对于⑤，因为π是无理数，所以π∉Q，故⑤正确； 对于⑥，因为|﹣2|＝2，所以|﹣2|∈Z，故⑥正确． 所以其中正确命题的个数为5个． 故选：D． 【变式1】实数﹣3，，，2中，负整数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：由题意可知，实数﹣3，，，2中负整数是﹣3． 故选：A． 题型2 集合的确定性、互异性、无序性 【典例1】定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的所有元素之和为（　　） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}． 又A＝{0，1}，B＝{2，3}， ∴A⊗B＝{0，2，3} 所以集合A*B的所有元素之和为0+2+3＝5 故选：C． 【变式1】集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：集合{x，x2﹣1，2}中，由互异性可知，x≠2且x2﹣1≠2且x≠x2﹣1， 得x≠2或x或x． 故选：C． 题型3 判断两个集合是否相同 【典例1】已知集合M＝{1，0}，则与集合M相等的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A：集合{（x，y）|}与集合M的元素不同，A不符合题意； B：{（x，y）|y}与集合M的元素不同，B不符合题意； C：{x|x，n∈N}＝{0，﹣1}≠M，C不符合题意； D：{y|y＝|sin，n∈N*}＝{1，0}＝M，D符合题意． 故选：D． 【变式1】下列选项中的两个集合相等的有（　　） A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z} D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1} 【答案】AC 【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q； 选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合， 集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q，所以P≠Q； 选项C：集合P＝{0，1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则P＝Q； 选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q； 综上，选项AC表示的集合相等， 故选：AC． 题型4 两个集合相等的应用 【典例1】已知集合A＝{a，1}，B＝{0，a+1}，若A＝B，则实数a＝（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【解答】解：由题意可知，集合A＝{a，1}，B＝{0，a+1}，且A＝B， 所以， 解得a＝0． 故选：A． 【变式1】已知{x|ax2﹣4x+1＝0}＝{b}，其中a，b∈R，则b＝（　　） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意知：b为方程ax2﹣4x+1＝0的根， 当a＝0时，方程ax2﹣4x+1＝0转化为﹣4x+1＝0，解得x，所以； 当a≠0时，有，此时． 故选：B． 题型5 判断元素与集合的属于关系 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣3，2] 【答案】C 【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤3}； 因为a∈A且a+3∈A，所以，解得﹣2≤a≤0， 所以a的取值范围是[﹣2，0]． 故选：C． 【变式1】设集合M＝{x∈R|x＜1且x∉Q}，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由集合M＝{x∈R|x＜1且x∉Q}，可得集合M表示小于1的无理数， 对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由且，所以，故B正确； 对于C，由且，所以，故C错误； 对于D，由，所以，故D错误． 故选：B． 题型6 元素与集合的属于关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x∈N*|1≤x≤2026}．设集合B＝{b1，b2，b3，…，bn}满足B⊆A，且对任意的bi，bj，bk∈B（i，j，k∈{1，2，3，…，n}），存在m∈N*，使得bi+bj+bk＝39m，则n的最大值为（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【解答】解：集合A＝{x∈N*|1≤x≤2026}， 设集合B＝{b1，b2，b3，…，bn}满足B⊆A， 对任意的bi，bj，bk∈B（i，j，k∈{1，2，3，…，n}）， ∵39＝1×39＝3×13，由选项可知n的最大值大于3， 若对任意的bi，bj，bk∈B，存在m∈N*，使得bi+bj+bk＝39m， 则集合B的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即B＝{39，78，…，39n}或B＝{13，52，…，39n﹣26}或B＝{26，65，…，39n﹣13}， 若B＝{39，78，117，…，39n}，则39n≤2026， 解得，此时n的最大值为51； 若B＝{13，52，…，39n﹣26}，则39n﹣26≤2026， 解得，此时n的最大值为52； 若B＝{26，65，…，39n﹣13}，则39n﹣13≤2026， 解得，此时n的最大值为52； 综上，n的最大值为52． 故选：C． 【变式1】对于n个复数z1，z2，⋯，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，⋯，kn，使得k1z1+k2z2+⋯+knzn＝0，就称z1，z2，⋯，zn线性相关．若复数z1＝1，z2＝2i，z3＝1+i线性相关，则满足题意的非零实数组（k1，k2，k3）可以为（　　） A．（2，3，﹣2） B．（3，1，﹣2） C．（2，﹣1，2） D．（2，1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：∵复数z1＝1，z2＝2i，z3＝1+i线性相关， ∴k1z1+k2z2+k3z3＝k1+2k2i+k3（1+i）＝k1+k3+（2k2+k3）i＝0， ∴k1+k3＝0，2k2+k3＝0， 分析四个选项得： （k1，k2，k3）为（2，3，﹣2）不满足要求，故A错误； （k1，k2，k3）为（3，1，﹣2）不满足要求，故B错误； （k1，k2，k3）为（2，﹣1，2）不满足要求，故C错误； （k1，k2，k3）为（2，1，﹣2）满足要求，故D正确． 故选：D． 题型7 列举法表示集合 【典例1】已知集合A＝{x|2x2﹣3x﹣2＝0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（　　） A．{2} B．{3} C．[2，+∞） D．[3，+∞） 【答案】A 【解答】解：集合A＝{x|2x2﹣3x﹣2＝0}＝{，2}，B＝{x|x＞1}， 则A∩B＝{2}． 故选：A． 【变式1】下面关于集合的表示正确的是（　　） A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}． 【答案】C 【解答】解：对于A，可知{2，3}＝{3，2}，故错误； 对于B，元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，{0}不是空集，故错误． 故选：C． 题型8 描述法表示集合 【典例1】已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则（　　） A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩（∁RB）＝R 【答案】A 【解答】解：由log2x≤1解得0＜x≤2； 由x≤2，则0＜2x≤4； 所以A＝{x|0＜x≤2}，B＝{y|0＜y≤4}， 则A⊆B，且∁RB＝{y|y≤0，或y＞4}， 则A∪B＝B，A∩B＝A，A∩∁RB＝∅． 故选：A． 【变式1】用描述法表示所有偶数组成的集合 　 　 ． 【答案】{x|x＝2n，n∈Z}． 【解答】解：描述法为：{x|x＝2n，n∈Z}． 故答案为：{x|x＝2n，n∈Z}． 题型9 集合并集关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3] 【答案】C 【解答】解：因为A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}＝{x|（x+1）（x﹣5）＜0}＝（﹣1，5）， 由（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0，显然m+2＞m，解得x＞m+2或x＜m， 所以B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0}＝（﹣∞，m）∪（m+2，+∞）， 若A∪B＝R，则，解得﹣1＜m＜3， 即实数m的取值范围是（﹣1，3）． 故选：C． 【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣1，3） B．[﹣1，3） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，3） 【答案】C 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥﹣1}， ∴A∪B＝{x|x≥﹣1}． 故选：C． 题型10 Venn图表集合的包含关系 【典例1】下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为N＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，M＝{0，1，2}， 故N⊆M． 故选：B． 【变式1】card（A）表示有限集合A中元素的个数，已知card（A∪B）＝25，card（A）＝22，card（B）＝20，则card（A∩B）＝　 　 ． 【答案】17． 【解答】解：由容斥原理可知，card（A∩B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∪B）＝22+20﹣25＝17． 故答案为：17． 题型11 判断两个集合的包含关系 【典例1】设集合A＝{x|x2+2x＜0}，集合，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣2） 【答案】C 【解答】解：由x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，所以A＝（﹣2，0）， 由，可得x＞﹣1，所以B＝（﹣1，+∞）， 所以A∩B＝（﹣1，0）． 故选：C． 【变式1】已知U为全集，集合A，B满足A⊆∁UB，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝U 【答案】C 【解答】解：由题意可知，集合A，B满足A⊆∁UB，画出Venn图，如图所示： 所以A∩B＝∅，而A与B之间没有包含关系，且A∪B不一定是全集． 故选：C． 题型12 集合的包含关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x≤2a﹣1}，且A⊆B，则a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1] B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【答案】D 【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x≤2a﹣1}， 当a≤﹣1时，A＝∅，满足A⊆B， 当A≠∅时，由A⊆B，得，解得a≥1， 所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）． 故选：D． 【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x﹣a＞0}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4） 【答案】B 【解答】解：由不等式x2﹣3x﹣4≤0，可得（x﹣4）（x+1）≤0， 解得﹣1≤x≤4， 所以A＝[﹣1，4]， 因为x﹣a＞0，所以x＞a，则B＝（a，+∞）， 因为A∩B＝A，所以A⊆B， 所以a＜﹣1， 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 题型13 子集的判断与求解 【典例1】对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，⋯，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆⋯⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（　　） A．集合S的最长“链”的长度为n+1 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为5的“链”中一定具有相同集合 D．集合S的最长“链”的总数为n! 【答案】ACD 【解答】解：A选项，设S＝{a1，a2，⋯，an}， 两两不同的子集A1，A2，⋯，Ak，k≥1，满足A1⊆A2⊆⋯⊆Ak， 故Ak+1中的元素要至少比Ak多一个元素， 要想集合S的一条“链”为最长“链”，需满足A1＝∅，且Ak+1中元素比Ak中元素多1， 所以A1＝∅，A2＝{at}，A3＝{at，aq}，⋯，Ak＝S， 故集合S的最长“链”的长度为n+1，A正确； B选项，不妨设Am＝{1}，Aw＝{2}，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B错误； C选项，当|S|＝4时，长为5的“链”必然包括空集和本身，所以C选项正确． D选项，由A选项值，S的最长“链”的长度为n+1， 其中A2＝{at}有n种选择，A3＝{at，aq}有（n﹣1）种选择，以此类推， Ar＝{at，aq，⋯，au}中共有（r﹣1）个元素，有（n﹣r+2）种选择， 综上，S的最长“链”的总数为n!，D正确． 故答案为：ACD． 【变式1】已知集合A＝{1，2，…，10}共有k个三元子集．任意一个三元子集Ti＝{x，y，z|x＜y＜z}，i∈{1，2，…k}，定义m（Ti）＝y．则　 　 ． 【答案】660． 【解答】解：对于集合A中的元素y（2≤y≤9），要使y在三元子集{x，y，z|x＜y＜z}中， 则x可以从1到y﹣1这y﹣1个元素中任选1个， z可以从y+1到10这10﹣y个元素中任选1个， 根据分步乘法计数原理， y作为三元子集{x，y，z|x＜y＜z}的中间数出现的次数为（y﹣1）（10﹣y）， 则． 故答案为：660． 题型14 集合交集关系的应用 【典例1】已知集合M＝{3，4，x2}，N＝{4，x+2}，若M∩N＝N，则x＝（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或1或2 【答案】A 【解答】解：由N＝{4，x+2}，可得x+2≠4，即x≠2， 而集合M＝{3，4，x2}， 由M∩N＝N，得N⊆M，得x+2＝3或x+2＝x2，所以x＝1或x＝﹣1． 故选：A． 【变式1】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，B＝{x|a﹣7＜x＜a}，且A∩B＝B，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（11，+∞） B．[﹣2，11] C．（﹣2，11） D．（﹣∞，﹣2]∪[11，+∞） 【答案】D 【解答】解：因为A∩B＝B，所以B⊆A， 又因为集合A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，B＝{x|a﹣7＜x＜a}，且显然B≠∅， 则a≤﹣2或a﹣7≥4， 解得a≤﹣2或a≥11， 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[11，+∞）． 故选：D． 题型15 集合交集关系的应用 【典例1】已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＞1}，则∁UA＝（　　） A．{﹣3，﹣2，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【答案】B 【解答】解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}， A＝{x∈U|x2＞1}＝{x∈U|x＞1或x＜﹣1}＝{﹣3，﹣2，2，3}， 故∁UA＝{﹣1，0，1}． 故选：B． 【变式1】已知全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，7，a﹣1}，若∁UA＝{1，5}，则a＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：∵U＝{1，3，5，7，9}，A＝{3，7，a﹣1}，∁UA＝{1，5}， ∴a﹣1＝9，即a＝10． 故选：D． 题型16 集合交并补混合关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜5}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．（2，5） B．[2，5） C．{3，4} D．{2，3，4} 【答案】C 【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣2≤0⇒﹣1≤x≤2， 则A＝{x|﹣1≤x≤2}，故∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞2}， 又B＝{x∈Z|﹣2＜x＜5}＝{﹣1，0，1，2，3，4}， 故（∁RA）∩B＝{3，4}． 故选：C． 【变式1】已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为　 　 ． 【答案】31 【解答】qev：当n＝2时，M＝{0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P， 对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）＝5．n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t）， 则当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1）， 其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数， 下面计算g（t+1）关于t的表达式， 此时应有2k≥t+1，即k，故对n＝t分奇偶讨论， ①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有k， 则对每一个k，t+1和2k﹣t﹣1必然属于集合M，且t和2k﹣t，…，k和k共有t+1﹣k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M， 故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为2t+1﹣k， 所以g（t+1）． ②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有k， 同理g（t+1）1， ∴f（t+1）， 由累加法得：f（n）， ∴f（9）﹣f（8）＝4×25﹣9﹣5﹣（6×24﹣8﹣5）＝31． 故答案为：31． 过 关 验 收 1．下列四个命题： ①{0}是空集； ②若a∈N，则﹣a∉N； ③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素； ④集合{x∈Q|∈N}是无限集． 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【解答】解：①{0}中有元素0，不是空集，故①不正确； ②若a∈N，则﹣a∉N，不正确，例如a＝0，0∈N，而﹣0∈N； ③集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}有1个元素，故③不正确； ④当x为正整数的倒数时，∈N，故集合{x∈Q|∈N}是无限集，故④正确． 故选：A． 2．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：∵A＝B， ∴或，解得a＝﹣1，b＝0， ∴a2023+b2022＝﹣1． 故选：A． 3．已知非空集合A＝{x|m＜x2﹣3x+3＜n}，．若A＝B，则m﹣n的值 　　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：由A＝{x|m＜x2﹣3x+3＜n}为非空集合可知m＜n， 故B＝{x|0}＝{x|0}＝{x|（x﹣m）（x﹣n）＜0}＝{x|m＜x＜n}， 由于A＝B，故m＜（x2﹣3x+3）min， 即， m，n是x2﹣3x+3＝n的两个不相等的实数根， 故m+n＝3且mn＝3﹣n， 解得m＝0，n＝3或m＝2，n＝1（舍去）， 故m﹣n＝﹣3． 故答案为：﹣3． 4．已知集合A＝{x∈R|x2＝3}，下列式子错误的是（　　） A． B．∅⊆A C．A⊆∁RQ D． 【答案】D 【解答】解：由题意可知，集合A＝{x∈R|x2＝3}＝{，}， 所以，故A正确； 因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆A，故B正确； ∁RQ表示无理数组成的集合，而均为无理数，所以A⊆∁RQ，故C正确； 因为集合A＝{，}， 所以，故D错误． 故选：D． 5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|﹣2＜x≤0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0} 【答案】D 【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|﹣2＜x≤0}， 根据交集的定义可知，A∩B＝{﹣1，0}． 故选：D． 6．已知集合，则（　　） A． B． C．1∈M D． 【答案】C 【解答】解：对于A，当m＝1时，，故A错误； 对于B，令，解得，故，即B错误； 对于C，当m＝0时，，故C正确； 对于D，令，解得m＝﹣1∉N，故，故D错误． 故选：C． 7．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设S＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，其中a1＜a2＜…＜an，则S的“绝对交错和”为；当S＝{a}时，S的“绝对交错和”为|a|．若数集T＝{15，23，26，630}，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（　　） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 【答案】A 【解答】解：T＝{15，23，26，630}， 当子集为单元素集合时，子集的“绝对交错和”的总和为15+23+26+630＝694； 子集为两个元素的集合时，子集的“绝对交错和”的总和为T中任意两个元素的差的绝对值之和， 即|15﹣23|+|15﹣26|+|15﹣630|+|23﹣26|+|23﹣630|+|26﹣630|＝8+11+615+3+604＝1848； 子集为三个元素的集合时，若是{15，23，26}，则“绝对交错和”为|15﹣23+26|＝18； 若{15，23，630}，则“绝对交错和”为|15﹣23+630|＝622； 若{15，26，630}，则“绝对交错和”为|15﹣26+630|＝619； 若{23，26，630}，则“绝对交错和”为|23﹣26+630|＝627； 故子集的“绝对交错和”的总和为18+622+619+627＝1886； 当子集为四个元素的集合时，“绝对交错和”为|15﹣23+26﹣630|＝612， 则694+1848+1886+612＝5040． 故选：A． 8．已知集合A＝{x|x2﹣x+2a＜0}，且a∈A，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，2） 【答案】B 【解答】解：由集合A＝{x|x2﹣x+2a＜0}，且a∈A代入得a2﹣a+2a＜0， 解得﹣1＜a＜0． 故选：B． 9．已知函数，集合M＝{m|∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝m}．若对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3，则t的取值范围为（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣1） D． 【答案】A 【解答】解：函数， 集合M＝{m|∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝m}， 对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3， 由图象可知，f（x）在（﹣2，0）单调递减，在（0，1]单调递增，（1，2）单调递增，（2，+∞）单调递减， 且f（0）＝﹣t，f（1）＝1﹣t， x＞1且x→1时，f（x）→3+t，f（2）＝4+t， 如图①，当f（2）≥f（1）时，即，此时3+t≥﹣t， 若对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3， 此时|m1﹣m2|max＝4+t﹣（﹣t）＜3，解得， 此时， 如图②，当f（2）＜f（1）时，即，此时3+t＜﹣t， 若对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3， 此时只需 故， 综上，， 故t的取值范围为． 故选：A． 10．已知集合A＝{x|x＜3，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜3} 【答案】C 【解答】解：由题意可知，A＝{x|x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}， 所以A∩B＝{0，1，2}． 故选：C． 11．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x＜4}，则A∪B＝（　　） A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＜4} 【答案】C 【解答】解：由题意得A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}． 故选：C． 12．设集合P＝{1，2}，则满足P∪Q＝{1，2，3}的不同集合Q共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【解答】解：由题意可知，P＝{1，2}，P∪Q＝{1，2，3}， 所以Q＝{3}，{1，3}，{2，3}或{1，2，3}， 即满足P∪Q＝{1，2，3}的不同集合Q共有4个． 故选：B． 13．设集合A＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}，若A∪B＝A，A∩C＝{2}，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】B 【解答】解：因为A∪B＝A，所以B⊆A， 因为集合A＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，B＝{0，3}， 所以0∈A， 所以a2﹣2a﹣3＝0，解得a＝3或a＝﹣1， 当a＝3时，A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，A∩C＝{2，3}，不符合题意， 当a＝﹣1时，A＝{2，3，0}，C＝{2，﹣1}，A∩C＝{2}，符合题意， 综上所述，a＝﹣1． 故选：B． 14．已知集合A＝{x|x2+px+q＝0}，B＝{x|qx2+px+1＝0}，同时满足A∩B≠∅，A∩∁RB＝{﹣2}，则A∪B＝ 　 　 ． 【答案】或． 【解答】解：设x0∈A，若x0＝0，又﹣2∈A，故p＝2，q＝0，此时，与已知矛盾， 故x0≠0，所以，得，所以， 即集合A，B中的元素互为倒数， 因为A∩B≠∅， 所以存在x0∈A，使得且，解得x0＝±1， 又因为A∩∁RB＝{﹣2}， 所以A＝{1，﹣2}或A＝{﹣1，﹣2}， 若A＝{﹣1，﹣2}，则，则． 若A＝{1，﹣2}，则，则； 综上所述，A∪B或． 故答案为：或． 15．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|x≥4} 【答案】B 【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，B＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}， 则图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|3≤x＜4}． 故选：B． 16．如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|（2x﹣3）•（x+1）≤0}，B＝{x|x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＜﹣1} C． D． 【答案】B 【解答】解：依题意，集合， 而B＝{x|x＞0}，则A∪B＝{x|x≥﹣1}， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为∁U（A∪B）＝{x|x＜﹣1}． 故选：B． 17．已知集合M＝{x|log2x＜3}，，则（　　） A．N⊆M B．M∩N＝（0，3） C．M∪N＝（﹣∞，3） D．∁RN＝[3，+∞） 【答案】B 【解答】解：由题得M＝{x|log2x＜3}＝（0，8），[﹣1，3）， 则M∩N＝（0，3），M∪N＝[﹣1，8）， ∁RN＝（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），所以A，C，D错误，B正确． 故选：B． 18．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±2，k∈Z}，则A，B之间最适合的关系为（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∩A＝∅ 【答案】C 【解答】解：由集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，可得A中的元素是2的整数倍， 由集合B＝{x|x＝4k±2，k∈Z}＝{x|x＝2（2k±1），k∈Z}，可得集合B中的元素是2的奇数倍， 所以B⊆A． 故选：C． 19．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4，5}，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{2，3} D．M∪N＝{1，4} 【答案】C 【解答】解：由题意可知，集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4，5}， 因为1∈M，1∉N，所以M不是N的子集，故A错误； 因为4，5∈N，4，5∉M，所以N不是M的子集，故B错误； 所以M∩N＝{2，3}，故C正确； M∪N＝{1，2，3，4，5}，故D错误． 故选：C． 20．设集合A＝{1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（　　） A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2} 【答案】D 【解答】解：当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A； 当a≠0时，， 因为B⊆A，所以或， 解得a＝2或a＝1， 所以由实数a组成的集合为{0，1，2}． 故选：D． 21．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　　） A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3} 【答案】C 【解答】解：由题意可知，集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B⫋A， 当B＝∅时，则m+1＞2m﹣1， 解得m＜2， 当B≠∅时，则，或， 解得2≤m≤3， 综上所述，m的取值范围是{m|m≤3}． 故选：C． 22．设S是实数集R的真子集，且满足下列两个条件： ①1不属于S；②若a∈S，则， 问：（Ⅰ）若2∈S，则S中一定还有哪两个数？ （Ⅱ）集合S中能否只有一个元素？说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）若2∈S，则即﹣1∈s；又根据题意又有．即． ∴若2∈S，s中至少还有两个元素； （Ⅱ）若a∈S，则，根据元素互异性的要求，s中只有一个元素，则应该满足 即a2﹣a+1＝0有解．显然此方程无解． ∴不可能． 答：（1）若2∈S，s中一定还有两个元素； （2）集合S中不可能只有一个元素． 23．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{m，3}，且A∩B的元素个数是一个，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，1） B．[﹣2，1] C．[﹣2，1） D．（﹣2，1] 【答案】C 【解答】解：由题意可得3∉A， 则A∩B＝{m}，则﹣2≤m＜1， 所以实数m的取值范围是[﹣2，1）． 故选：C． 24．已知集合A＝{a2，a}，B＝{1，3}，若A∩B＝{1}，则a＝（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．±1 【答案】C 【解答】解：由题意可知，A＝{a2，a}，B＝{1，3}，且A∩B＝{1}， 所以a＝1或a2＝1， 当a＝1时，不满足元素的互异性，舍去， 当a2＝1时，可得a＝﹣1，此时A＝{﹣1，1}，满足A∩B＝{1}， 综上所述，a＝﹣1． 故选：C． 25．已知集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{﹣4，3}，若A∩B＝∅，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：由题意可知，A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{﹣4，3}， 因为A∩B＝∅， 所以， 解得a≤2， 所以a的最大值为2． 故选：B． 26．已知全集U＝{﹣1，3，5，7，9}，∁UA＝{﹣1，9}，B＝{3，7，9}，则A∩B＝（　　） A．{3，7} B．{3，5} C．{3} D．{9} 【答案】A 【解答】解：因为U＝{﹣1，3，5，7，9}，∁UA＝{﹣1，9}，所以A＝{3，5，7}， 因为B＝{3，7，9}，所以A∩B＝{3，7}． 故选：A． 27．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2 【答案】C 【解答】解：要使B⊆A， 则满足a≥2， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合及其运算 内 容 导 航 知识点1 集合核心概念 知识点2 集合间关系 知识点3 集合基本运算 知识点4 核心性质与思想 知识点5 元素与集合的关系 知识点6 元素特征 知识点7 Venn图的应用 知识点8 运算确定集合或参数 知识点9 容斥原理的应用 知识点10 新定义问题 题型1 常用数集及其记法 题型2 集合的确定性、互异性、无序性 题型3 判断两个集合是否相同 题型4 两个集合相等的应用 题型5 判断元素与集合的属于关系 题型6 元素与集合的属于关系的应用 题型7 列举法表示集合 题型8 描述法表示集合 题型9 集合并集关系的应用 题型10 Venn图表集合的包含关系 题型11 判断两个集合的包含关系 题型12 集合的包含关系的应用 题型13 子集的判断与求解 题型14 集合交集关系的应用 题型15 集合交集关系的应用 题型16 集合交并补混合关系的应用 知 识 点 通 关 知识点1 集合核心概念 1.关系 属于： ；不属于：； 2.元素三特性 确定性：元素是否在集合中可判定 互异性：集合中元素互不相同 无序性：元素顺序不影响集合 3.常用数集 自然数集、正整数集或、整数集、有理数集、实数集 4.表示方法 列举法、描述法、Venn 图法 知识点2 集合间关系 关系 符号 核心含义 子集 A 中所有元素都属于 B 真子集  A⊆B 且 B 中至少一个元素∉A 相等 A⊆B 且 B⊆A 空集 不含任何元素，是任何集合的子集 必记结论 （1）含n个元素的集合，子集数，真子集数。 （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法 连续数集：用数轴标范围，注意端点虚实。 离散数集：按包含关系列方程求解。 核心转化： A∩B=A ⇔ A⊆B A∪B=A ⇔ B⊆A 易错分析 易忽略集合为空集 忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含参数时必须讨论A=∅的情况。 知识点3 集合基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 方法技巧 明确各个运算的几何意义 交：A∩B → 既在 A 又在 B 并：A∪B → 在 A 或在 B 补：∁ᵤA → 全集中不在 A 的元素 工具：连续数集用数轴，离散数集直接列举。 易错分析 补集运算忘记全集范围。 端点取舍错误（如≤和<）。 知识点4 核心性质与思想 1. 2. 3. 4. 5. 知识点5 元素与集合的关系 方法技巧 判断元素与集合关系 直接法：集合元素明确列出时，直接判断元素是否在集合内。 推理法：集合用描述法表示时，先明确元素满足的条件，再验证元素是否符合。 符号区分：∈（属于） 用于元素与集合；⊆（包含于） 用于集合与集合。 易错分析 混淆元素与集合、集合与集合的关系符号，如把 0⊆A 写成 0∈A。 知识点6 元素特征 方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点 解题核心：先明确集合元素是什么，再用三特性检验。 求参数时：先由确定性列方程求参数，再用互异性排除重复元素。 无序性：集合元素顺序不影响集合本身。 易错分析 求参数后忘记检验互异性，导致出现重复元素，答案错误。 知识点7 Venn图的应用 方法技巧 德・摩根定律 阴影部分：先看是交 / 并 / 补哪种组合，再对应计算。 德・摩根定律：∁ᵤ(A∪B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB；∁ᵤ(A∩B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB。 易错分析 看错阴影区域 看错阴影区域，把A∩∁ ᵣ B看成∁ ᵣ A∩B。 知识点8 运算确定集合或参数 方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路 先化简集合，再把运算关系转成包含关系。 数轴法：画数轴定范围，列不等式组。 分类讨论：含参数时按空集、非空集讨论。 易错分析 端点没等号 列不等式时端点没等号，范围扩大 / 缩小。 忽略参数使集合为空集的情况。 知识点9 容斥原理的应用 方法技巧 在排列组合中的应用 （1）容斥定理在排列组合中应用更广泛，一般应用与存在两个限制条件的排列组合问题中，结合正难则反的思想解决问题。 （2）运用公式： 易错分析 重复计数，多算 / 少算交集部分。 知识点10 新定义问题 方法技巧 严格按题目定义运算，不套用旧公式。 分步：先理解新符号含义→代入元素→按规则计算→检验集合特性。 新定义集合：先列举所有元素，再求交、并、补或个数。 易错分析 曲解新定义，用常规集合运算代替题目规定规则。 考 点 演 练 题型1 常用数集及其记法 【典例1】给出下列6个关系：①，②，③0∉N*，④，⑤π∉Q，⑥|﹣2|∈Z．其中正确命题的个数为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式1】实数﹣3，，，2中，负整数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 题型2 集合的确定性、互异性、无序性 【典例1】定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的所有元素之和为（　　） A．0 B．4 C．5 D．6 【变式1】集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型3 判断两个集合是否相同 【典例1】已知集合M＝{1，0}，则与集合M相等的集合为（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中的两个集合相等的有（　　） A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z} B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+} C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z} D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1} 题型4 两个集合相等的应用 【典例1】已知集合A＝{a，1}，B＝{0，a+1}，若A＝B，则实数a＝（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【变式1】已知{x|ax2﹣4x+1＝0}＝{b}，其中a，b∈R，则b＝（　　） A．0 B．或 C． D． 题型5 判断元素与集合的属于关系 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，若a∈A，且a+3∈A，则a的取值范围是（　　） A．[﹣2，3] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，0] D．[﹣3，2] 【变式1】设集合M＝{x∈R|x＜1且x∉Q}，则（　　） A． B． C． D． 题型6 元素与集合的属于关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x∈N*|1≤x≤2026}．设集合B＝{b1，b2，b3，…，bn}满足B⊆A，且对任意的bi，bj，bk∈B（i，j，k∈{1，2，3，…，n}），存在m∈N*，使得bi+bj+bk＝39m，则n的最大值为（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 【变式1】对于n个复数z1，z2，⋯，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，⋯，kn，使得k1z1+k2z2+⋯+knzn＝0，就称z1，z2，⋯，zn线性相关．若复数z1＝1，z2＝2i，z3＝1+i线性相关，则满足题意的非零实数组（k1，k2，k3）可以为（　　） A．（2，3，﹣2） B．（3，1，﹣2） C．（2，﹣1，2） D．（2，1，﹣2） 题型7 列举法表示集合 【典例1】已知集合A＝{x|2x2﹣3x﹣2＝0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（　　） A．{2} B．{3} C．[2，+∞） D．[3，+∞） 【变式1】下面关于集合的表示正确的是（　　） A．{2，3}≠{3，2} B．{（x，y）|x+y＝1}＝{x|x+y＝1}． C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．∅＝{0}． 题型8 描述法表示集合 【典例1】已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则（　　） A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩（∁RB）＝R 【变式1】用描述法表示所有偶数组成的集合 　 　 ． 题型9 集合并集关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+2）]＞0}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣1，3） D．[﹣1，3] 【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|x≥﹣1}，则A∪B＝（　　） A．（﹣1，3） B．[﹣1，3） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，3） 题型10 Venn图表集合的包含关系 【典例1】下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】card（A）表示有限集合A中元素的个数，已知card（A∪B）＝25，card（A）＝22，card（B）＝20，则card（A∩B）＝　 　 ． 题型11 判断两个集合的包含关系 【典例1】设集合A＝{x|x2+2x＜0}，集合，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣2） 【变式1】已知U为全集，集合A，B满足A⊆∁UB，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．A∪B＝U 题型12 集合的包含关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x|﹣1＜x＜a}，B＝{x|x≤2a﹣1}，且A⊆B，则a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1] B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x﹣a＞0}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4） 题型13 子集的判断与求解 【典例1】对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，⋯，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆⋯⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（　　） A．集合S的最长“链”的长度为n+1 B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中 C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为5的“链”中一定具有相同集合 D．集合S的最长“链”的总数为n! 【变式1】已知集合A＝{1，2，…，10}共有k个三元子集．任意一个三元子集Ti＝{x，y，z|x＜y＜z}，i∈{1，2，…k}，定义m（Ti）＝y．则　 　 ． 题型14 集合交集关系的应用 【典例1】已知集合M＝{3，4，x2}，N＝{4，x+2}，若M∩N＝N，则x＝（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或1或2 【变式1】已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，B＝{x|a﹣7＜x＜a}，且A∩B＝B，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（11，+∞） B．[﹣2，11] C．（﹣2，11） D．（﹣∞，﹣2]∪[11，+∞） 题型15 集合交集关系的应用 【典例1】已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＞1}，则∁UA＝（　　） A．{﹣3，﹣2，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【变式1】已知全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，7，a﹣1}，若∁UA＝{1，5}，则a＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 题型16 集合交并补混合关系的应用 【典例1】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜5}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．（2，5） B．[2，5） C．{3，4} D．{2，3，4} 【变式1】已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为　 　 ． 过 关 验 收 1．下列四个命题： ①{0}是空集； ②若a∈N，则﹣a∉N； ③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素； ④集合{x∈Q|∈N}是无限集． 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 2．已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2023+b2022＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．已知非空集合A＝{x|m＜x2﹣3x+3＜n}，．若A＝B，则m﹣n的值 　　 ． 4．已知集合A＝{x∈R|x2＝3}，下列式子错误的是（　　） A． B．∅⊆A C．A⊆∁RQ D． 5．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|﹣2＜x≤0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0} 6．已知集合，则（　　） A． B． C．1∈M D． 7．对非空有限数集S，定义其“绝对交错和”如下：设S＝{a1，a2，…，an}，n∈N*，其中a1＜a2＜…＜an，则S的“绝对交错和”为；当S＝{a}时，S的“绝对交错和”为|a|．若数集T＝{15，23，26，630}，则T的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（　　） A．5040 B．4920 C．4856 D．4832 8．已知集合A＝{x|x2﹣x+2a＜0}，且a∈A，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，2） 9．已知函数，集合M＝{m|∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝m}．若对任意m1，m2∈M，都有|m1﹣m2|＜3，则t的取值范围为（　　） A． B． C．（﹣∞，﹣1） D． 10．已知集合A＝{x|x＜3，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜3} 11．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1≤x＜4}，则A∪B＝（　　） A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|x＜4} 12．设集合P＝{1，2}，则满足P∪Q＝{1，2，3}的不同集合Q共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 13．设集合A＝{2，3，a2﹣2a﹣3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}，若A∪B＝A，A∩C＝{2}，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 14．已知集合A＝{x|x2+px+q＝0}，B＝{x|qx2+px+1＝0}，同时满足A∩B≠∅，A∩∁RB＝{﹣2}，则A∪B＝ 　 　 ． 15．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|x≥4} 16．如图，已知全集U＝R，集合A＝{x|（2x﹣3）•（x+1）≤0}，B＝{x|x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＜﹣1} C． D． 17．已知集合M＝{x|log2x＜3}，，则（　　） A．N⊆M B．M∩N＝（0，3） C．M∪N＝（﹣∞，3） D．∁RN＝[3，+∞） 18．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k±2，k∈Z}，则A，B之间最适合的关系为（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．B∩A＝∅ 19．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4，5}，则（　　） A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝{2，3} D．M∪N＝{1，4} 20．设集合A＝{1，2}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若B⊆A，则由实数a组成的集合为（　　） A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2} 21．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B为A的真子集，则m的取值范围是（　　） A．{m|m＜2} B．{m|2≤m＜3} C．{m|m≤3} D．{m|2＜m≤3} 22．设S是实数集R的真子集，且满足下列两个条件： ①1不属于S；②若a∈S，则， 问：（Ⅰ）若2∈S，则S中一定还有哪两个数？ （Ⅱ）集合S中能否只有一个元素？说明理由． 23．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{m，3}，且A∩B的元素个数是一个，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，1） B．[﹣2，1] C．[﹣2，1） D．（﹣2，1] 24．已知集合A＝{a2，a}，B＝{1，3}，若A∩B＝{1}，则a＝（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．±1 25．已知集合A＝{x||x﹣1|＜a}，B＝{﹣4，3}，若A∩B＝∅，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 26．已知全集U＝{﹣1，3，5，7，9}，∁UA＝{﹣1，9}，B＝{3，7，9}，则A∩B＝（　　） A．{3，7} B．{3，5} C．{3} D．{9} 27．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2 学科网（北京）股份有限公司 $