第01讲 集合及其运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合的概念、关系、运算及含参问题等高考核心考点，以“激活思维-聚焦知识-题型突破”为逻辑主线，通过基础题诊断学情，系统梳理元素特性、集合关系等知识模块，结合题型精讲与方法提炼，帮助学生构建知识网络，突破高频易错点。 讲义采用“问题导向-方法归纳-分层训练”教学模式，如在集合新定义问题中引导学生翻译定义并验证条件，培养数学语言表达能力，通过数轴法分析区间包含问题强化数学思维的严谨性。配套精练涵盖选择、填空等题型，分层设置随堂内化与综合应用练习，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题效率与应考能力。

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合及其运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．已知集合A＝{x∈Z|x²－4＜0}，则下列结论错误的是(　　) A．－2∈A　　　　　B．{0，1}⊆A C．∅⊆A　　　　　D．A中含有3个元素 2．(多选)已知集合A＝{x|x²－5x＋6≤0}，B＝{x|0＜2x≤6}，则下列判断正确的是(　　) A．A∩B＝[2，3]　　　　　B．A∪B＝(0，3] C．(C_R B)∪A＝{x|x≤0或x≥2}　　　　　D．A∩(C_R B)＝{3} 3．已知集合A＝{1，5，a²}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为____． 4．已知A＝{x|m＜x≤5}，B＝{x|－1≤x＜3}，若B⊆A，则实数m的取值范围为____． 聚焦知识 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：____、____、____． (2) 元素与集合之间只有“属于”或“不属于”两种关系，分别用∈，∉表示． (3) 表示集合常用列举法、描述法和图示法，解题时应注意集合中元素的对象是什么． 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2．集合间的基本关系 关系 含义 常用记法 相等 两个集合的元素完全相同 A＝B 子集 A中任意元素都是B的元素 A⊆B 真子集 A⊆B且B中至少有一个元素不属于A A⊂B 若有限集合A中含有n个元素，则A有____个子集，____个真子集． 3．集合的基本运算 运算 并集A∪B 交集A∩B 补集C_U A 意义 属于A或属于B的元素组成的集合 同时属于A和B的元素组成的集合 属于全集U且不属于A的元素组成的集合 符号语言 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A ⇔ A⊆B；A∪B＝A ⇔ B⊆A． (2) A∩∅＝∅，A∪∅＝A，A∩U＝A，A∪U＝U． (3) C_U(A∩B)＝(C_U A)∪(C_U B)，C_U(A∪B)＝(C_U A)∩(C_U B)． 注意：遇到区间、方程根集、不等式解集时，先化简集合，再研究关系或运算；涉及参数时，要特别注意空集和端点开闭． 题型突破　思维拓展 举题说法 题型一　集合中元素的性质 例1　(1)(多选)下列关于集合的说法正确的是(　　) A．{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}　　　　　B．{x|x²＝4}＝{2} C．{(x，y)|x＝0，y＝x＋1}＝{(0，1)}　　　　　D．{y|y＝x²＋1，x∈R}＝[1，＋∞) (2)若集合{a，a＋1，2}中恰有两个元素，则实数a的取值集合为____． (3)已知A＝{x|kx²－4x＋1＝0，k∈R}．若A中只有一个元素，则k＝____；若A中至少有一个元素，则k的取值范围为____． 方法提炼：处理集合元素问题，先确认元素对象，再利用确定性、互异性、无序性判断；含参数时，求出可能值后必须回代检验互异性． 变式1　已知非空集合A＝{1，a，a²}恰有两个元素，则实数a的取值集合为____． 题型二　集合间的关系 例2　(1)已知M＝{x∈N*|x≤4}，N＝{x|x²－5x＋4＝0}，则N的真子集个数为(　　) A．2　　　　　B．3 C．4　　　　　D．7 (2)已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　　　B．[2，＋∞) C．(－∞，－1]　　　　　D．[－1，＋∞) (3)设M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4k，k∈Z}，P＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则下列关系正确的是(　　) A．M⊆N　　　　　B．N⊆M C．M＝P　　　　　D．N∩P＝N 方法提炼：判断集合间关系常用三法：列举法、数轴法、结构化简法．区间问题看端点，方程根集看根，结构集合看元素形式． 变式2　已知A＝{x|x≤－2或x＞3}，B＝{x|x≤a}，若B⊆A，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　　　　B．[－2，＋∞) C．(－∞，3]　　　　　D．[3，＋∞) 题型三　集合间的基本运算 例3－1　(1)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{0，2，4}，则A∩(C_U B)＝(　　) A．{－2，－1，1}　　　　　B．{0，2} C．{3，4}　　　　　D．{－1，0，1，2} 例3－1　(2) 如图，矩形表示全集U，两个圆分别表示集合A，B，阴影部分表示的集合可记为(　　) A．A∩(C_U B)　　　　　B．B∩(C_U A) C．A∩B　　　　　D．C_U(A∪B) (3)设U＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{2，4}，A－B＝{1}，B－A＝{6}，C_U(A∪B)＝{3，5}，则A＝____． 方法提炼：做集合运算题，先将各集合化简，再按“交、并、补、差”的定义逐步运算；Venn图中要看清阴影是“在谁内、不在谁内”． 变式3　已知M＝{x|－1≤x＜4}，N＝{x|x＞1}，全集U＝R，则M∩(C_U N)＝(　　) A．[－1，1]　　　　　B．(1，4) C．[－1，4)　　　　　D．(－∞，1] 题型四　利用集合关系与运算求参数 例4　(1)已知A＝{x|x²－4x＋3≤0}，B＝{x|m≤x＜m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是____． (2)已知A＝{1，2，3}，B＝{x|x²－(a＋1)x＋a＝0}，若B⊆A，则a的取值集合为____． (3)已知A＝{x|a＜x＜4}，B＝{x|1≤x≤2}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是____． 方法提炼：含参数集合问题要分类讨论空集、端点、互异性三类风险；区间包含问题常用数轴，方程根集问题常用根与系数关系或因式分解． 题型五　集合新定义问题 例5　(多选)若正整数集合S中任取两个不同元素a，b，都有gcd(a，b)∈S，则称S为“约稳集”．下列集合是“约稳集”的有(　　) A．{2，3，6}　　　　　B．{1，2，4} C．{3，6，9}　　　　　D．{4，6，10} 方法提炼：新定义题先翻译定义，再抓关键词：任意、存在、至少、至多、不同元素等；判断选项时可用反例快速排除，也可逐项验证定义条件． 变式4　(多选)设非空数集T满足：若x∈T，y∈T，则x＋y∈T，x－y∈T．下列说法正确的是(　　) A．若T中有一个元素，则0∈T　　　　　B．若1∈T，则任意整数都属于T C．集合{0}满足条件　　　　　D．任意包含T的集合都满足条件 随堂内化 1．已知A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x²－4x＋3≤0}，若B⊆A，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞)　　　　　B．[3，＋∞) C．(0，3]　　　　　D．[0，1] 2．设U＝R，M＝{x|x≤2}，N＝{x|x＞0}，则C_U(M∩N)＝(　　) A．(0，2]　　　　　B．(－∞，0]∪(2，＋∞) C．(－∞，0)　　　　　D．[2，＋∞) 3．已知A＝{x|2ˣ＜8}，B＝{x|ln(x＋1)＜0}，则下列结论正确的是(　　) A．A＝{x|x＞3}　　　　　B．B＝{x|x＜0} C．A∩B＝B　　　　　D．A∪B＝B 4．某班45名同学参加数学、物理、化学三个兴趣小组，每人至少参加一个且至多参加两个．已知参加数学小组28人，物理小组20人，化学小组18人，同时参加数学和物理的7人，同时参加物理和化学的5人，则同时参加数学和化学的有____人． 配套精练 一、单项选择题 1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝{x∈U|x为偶数}，则C_U A中元素个数为(　　) A．3　　　　　B．4 C．5　　　　　D．6 2．已知A＝{－1，0，1，3}，B＝{x|x²－1＝0}，则A∩B＝(　　) A．{－1，1}　　　　　B．{0，1} C．{1，3}　　　　　D．{－1，0，1} 3．已知A＝{x|－3＜x≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝(　　) A．[0，1]　　　　　B．(－3，0] C．(－3，＋∞)　　　　　D．[1，＋∞) 4．设A＝{x|x²－6x＋5≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞) C．(－∞，5]　　　　　D．[5，＋∞) 5．已知集合A＝{x∈N|x²－5x＋6＝0}，则A的子集个数为(　　) A．2　　　　　B．3 C．4　　　　　D．8 6．已知U＝{1，2，3，4，5，6}，A－B＝{1，3}，A∩B＝{2}，B－A＝{5}，则A∪B＝(　　) A．{1，2，3，5}　　　　　B．{1，2，3，4，5} C．{2，5}　　　　　D．{1，3，5，6} 7．已知U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1}，B＝{0，2，3}，则(C_U A)∩B＝(　　) A．{0}　　　　　B．{2，3} C．{－2，2，3，4}　　　　　D．{－1，0，1} 8．若A＝{(x，y)|y＝x＋1}，B＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则A∩B的真子集个数为(　　) A．0　　　　　B．1 C．2　　　　　D．3 9．若正数集S满足：对任意a，b∈S且a＜b，都有b/a∈S，则称S为“商稳集”．下列集合是“商稳集”的是(　　) A．{1，2，3}　　　　　B．{1，2，4，8} C．{2，4，6}　　　　　D．{1，3，6} 10．某班30名同学中，参加数学社团18人，参加物理社团15人，两社团都参加的8人，则两个社团都没参加的有(　　) A．3人　　　　　B．5人 C．8人　　　　　D．10人 二、多项选择题 11．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B＝{2，6}，C_U(A∪B)＝{1，8}，则下列说法正确的是(　　) A．A∪B＝{2，3，4，5，6，7}　　　　　B．3一定属于A C．2∈A且2∈B　　　　　D．(C_U A)∪(C_U B)＝C_U(A∩B) 12．若集合A，B满足A⊆B，则下列结论正确的是(　　) A．A∩B＝A　　　　　B．A∪B＝B C．C_U B⊆C_U A　　　　　D．A－B＝∅ 13．对于集合A，B，记A－B＝{x|x∈A且x∉B}．下列说法正确的是(　　) A．若A－B＝∅，则A⊆B　　　　　B．A－B＝A∩(C_U B) C．若A∩B＝∅，则A－B＝A　　　　　D．A－B与B－A一定相等 14．设非空数集S满足：若x∈S，y∈S，则x＋y∈S，x－y∈S，xy∈S．下列命题正确的是(　　) A．0一定属于S　　　　　B．若1∈S，则所有整数都属于S C．{0}满足条件　　　　　D．任意有限集合都满足条件 三、填空题 15．已知M＝{x|x²－x－6≤0}，N＝{x|y＝ln(x－1)}，则(C_R M)∩N＝____． 16．已知A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a＋2}，若A∩B＝∅，则a的取值范围为____． 17．已知A＝{x∈N|2x＋1＜8}，B＝{x|x²－5x＋m＝0}，若2∈A∩B，则A∪B的子集个数为____． 18．已知A＝{x|x²＋mx≤0}，B＝{1，2}，若A∩B有4个子集，则实数m的最大值为____． 19．设k∈R，已知集合{x|x²－(k＋1)x＋k＝0}中有两个元素，且3属于该集合，则k＝____． 20．已知集合A＝{1，a，a²}恰有两个元素，则实数a的取值集合为____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合及其运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．已知集合A＝{x∈Z|x²－4＜0}，则下列结论错误的是(　A　) A．－2∈A　　　　　B．{0，1}⊆A C．∅⊆A　　　　　D．A中含有3个元素 【答案】A 【解析】由x²－4＜0得－2＜x＜2，又x∈Z，所以A＝{－1，0，1}．故－2∉A，A错误；B，C，D均正确． 2．(多选)已知集合A＝{x|x²－5x＋6≤0}，B＝{x|0＜2x≤6}，则下列判断正确的是(　ABC　) A．A∩B＝[2，3]　　　　　B．A∪B＝(0，3] C．(C_R B)∪A＝{x|x≤0或x≥2}　　　　　D．A∩(C_R B)＝{3} 【答案】ABC 【解析】A＝[2，3]，B＝(0，3]．因此A∩B＝[2，3]，A∪B＝(0，3]；C_R B＝(－∞，0]∪(3，＋∞)，故(C_R B)∪A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)；A∩(C_R B)＝∅，故D错误． 3．已知集合A＝{1，5，a²}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为__{2，3}__． 【答案】{2，3} 【解析】由A∪B＝A知B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝5时，a＝3，符合题意；当a＋2＝a²时，a＝2或a＝－1，其中a＝－1时A＝{1，5，1}不满足互异性，舍去；a＝2符合题意．故a∈{2，3}． 4．已知A＝{x|m＜x≤5}，B＝{x|－1≤x＜3}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__(－∞，－1)__． 【答案】(－∞，－1) 【解析】因为－1∈B，且B⊆A，而A左端点为开端点m，所以必须m＜－1；右端5已覆盖B的右侧范围，故m∈(－∞，－1)． 聚焦知识 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2) 元素与集合之间只有“属于”或“不属于”两种关系，分别用∈，∉表示． (3) 表示集合常用列举法、描述法和图示法，解题时应注意集合中元素的对象是什么． 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2．集合间的基本关系 关系 含义 常用记法 相等 两个集合的元素完全相同 A＝B 子集 A中任意元素都是B的元素 A⊆B 真子集 A⊆B且B中至少有一个元素不属于A A⊂B 若有限集合A中含有n个元素，则A有__2ⁿ__个子集，__2ⁿ－1__个真子集． 3．集合的基本运算 运算 并集A∪B 交集A∩B 补集C_U A 意义 属于A或属于B的元素组成的集合 同时属于A和B的元素组成的集合 属于全集U且不属于A的元素组成的集合 符号语言 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A ⇔ A⊆B；A∪B＝A ⇔ B⊆A． (2) A∩∅＝∅，A∪∅＝A，A∩U＝A，A∪U＝U． (3) C_U(A∩B)＝(C_U A)∪(C_U B)，C_U(A∪B)＝(C_U A)∩(C_U B)． 注意：遇到区间、方程根集、不等式解集时，先化简集合，再研究关系或运算；涉及参数时，要特别注意空集和端点开闭． 题型突破　思维拓展 举题说法 题型一　集合中元素的性质 例1　(1)(多选)下列关于集合的说法正确的是(　ACD　) A．{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}　　　　　B．{x|x²＝4}＝{2} C．{(x，y)|x＝0，y＝x＋1}＝{(0，1)}　　　　　D．{y|y＝x²＋1，x∈R}＝[1，＋∞) 【答案】ACD 【解析】A中自然数按高中常用约定含0，正确；B应为{－2，2}，错误；C表示点集，正确；D表示函数y＝x²＋1的值域，正确． (2)若集合{a，a＋1，2}中恰有两个元素，则实数a的取值集合为__{1，2}__． 【答案】{1，2} 【解析】集合中恰有两个元素，说明a，a＋1，2中有两个相等．由a＋1＝2得a＝1；由a＝2得a＝2；a＝a＋1无解．两值均符合题意． (3)已知A＝{x|kx²－4x＋1＝0，k∈R}．若A中只有一个元素，则k＝__0或4；(－∞，4]__；若A中至少有一个元素，则k的取值范围为__0或4；(－∞，4]__． 【答案】0或4；(－∞，4] 【解析】当k＝0时，方程为－4x＋1＝0，有一个根；当k≠0时，要有唯一实根需Δ＝16－4k＝0，得k＝4．若至少有一个元素，则k＝0或二次方程有实根，即Δ≥0，合并得k≤4． 方法提炼：处理集合元素问题，先确认元素对象，再利用确定性、互异性、无序性判断；含参数时，求出可能值后必须回代检验互异性． 变式1　已知非空集合A＝{1，a，a²}恰有两个元素，则实数a的取值集合为__{－1，0}__． 【答案】{－1，0} 【解析】要使三个表达式只形成两个不同元素，可由a²＝1或a²＝a或a＝1讨论．a＝1时集合只有一个元素，舍去；a＝－1或a＝0时集合均有两个元素． 题型二　集合间的关系 例2　(1)已知M＝{x∈N*|x≤4}，N＝{x|x²－5x＋4＝0}，则N的真子集个数为(　B　) A．2　　　　　B．3 C．4　　　　　D．7 【答案】B 【解析】N＝{1，4}，含2个元素，所以真子集个数为2²－1＝3． (2)已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　B　) A．(－∞，2]　　　　　B．[2，＋∞) C．(－∞，－1]　　　　　D．[－1，＋∞) 【答案】B 【解析】要使区间[－1，2]全部包含在(－∞，a]中，只需右端点2≤a，故a≥2． (3)设M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4k，k∈Z}，P＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则下列关系正确的是(　B　) A．M⊆N　　　　　B．N⊆M C．M＝P　　　　　D．N∩P＝N 【答案】B 【解析】M为偶整数集，N为4的倍数构成的集合，故N⊆M；P为奇整数集，N∩P＝∅． 方法提炼：判断集合间关系常用三法：列举法、数轴法、结构化简法．区间问题看端点，方程根集看根，结构集合看元素形式． 变式2　已知A＝{x|x≤－2或x＞3}，B＝{x|x≤a}，若B⊆A，则a的取值范围是(　A　) A．(－∞，－2]　　　　　B．[－2，＋∞) C．(－∞，3]　　　　　D．[3，＋∞) 【答案】A 【解析】集合B为(－∞，a]．要使B不进入区间(－2，3]，需a≤－2． 题型三　集合间的基本运算 例3－1　(1)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{0，2，4}，则A∩(C_U B)＝(　A　) A．{－2，－1，1}　　　　　B．{0，2} C．{3，4}　　　　　D．{－1，0，1，2} 【答案】A 【解析】A＝{－2，－1，0，1，2}，C_U B＝{－2，－1，1，3}，故A∩(C_U B)＝{－2，－1，1}． 例3－1　(2) 如图，矩形表示全集U，两个圆分别表示集合A，B，阴影部分表示的集合可记为(　A　) A．A∩(C_U B)　　　　　B．B∩(C_U A) C．A∩B　　　　　D．C_U(A∪B) 【答案】A 【解析】图中阴影位于A内但不在B内，故为A－B，也可写作A∩(C_U B)． (3)设U＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{2，4}，A－B＝{1}，B－A＝{6}，C_U(A∪B)＝{3，5}，则A＝__{1，2，4}__． 【答案】{1，2，4} 【解析】集合A由A－B和A∩B组成，即A＝{1}∪{2，4}＝{1，2，4}． 方法提炼：做集合运算题，先将各集合化简，再按“交、并、补、差”的定义逐步运算；Venn图中要看清阴影是“在谁内、不在谁内”． 变式3　已知M＝{x|－1≤x＜4}，N＝{x|x＞1}，全集U＝R，则M∩(C_U N)＝(　A　) A．[－1，1]　　　　　B．(1，4) C．[－1，4)　　　　　D．(－∞，1] 【答案】A 【解析】C_R N＝(－∞，1]，所以M∩(C_R N)＝[－1，1]． 题型四　利用集合关系与运算求参数 例4　(1)已知A＝{x|x²－4x＋3≤0}，B＝{x|m≤x＜m＋1}，若B⊆A，则m的取值范围是__[1，2]__． 【答案】[1，2] 【解析】A＝[1，3]．要使[m，m＋1)⊆[1，3]，需m≥1且m＋1≤3，故1≤m≤2． (2)已知A＝{1，2，3}，B＝{x|x²－(a＋1)x＋a＝0}，若B⊆A，则a的取值集合为__{1，2，3}__． 【答案】{1，2，3} 【解析】方程为(x－1)(x－a)＝0，故B＝{1，a}或{1}．由B⊆A得a∈{1，2，3}． (3)已知A＝{x|a＜x＜4}，B＝{x|1≤x≤2}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是__[2，＋∞)__． 【答案】[2，＋∞) 【解析】若a＜2，则存在x满足max(a，1)＜x≤2，交集非空；若a≥2，则(a，4)与[1，2]无公共元素，故a≥2． 方法提炼：含参数集合问题要分类讨论空集、端点、互异性三类风险；区间包含问题常用数轴，方程根集问题常用根与系数关系或因式分解． 题型五　集合新定义问题 例5　(多选)若正整数集合S中任取两个不同元素a，b，都有gcd(a，b)∈S，则称S为“约稳集”．下列集合是“约稳集”的有(　BC　) A．{2，3，6}　　　　　B．{1，2，4} C．{3，6，9}　　　　　D．{4，6，10} 【答案】BC 【解析】A中gcd(2，3)＝1∉S，错误；B中任意两数最大公因数为1或2，均在S中；C中最大公因数均为3，且3∈S；D中gcd(4，6)＝2∉S． 方法提炼：新定义题先翻译定义，再抓关键词：任意、存在、至少、至多、不同元素等；判断选项时可用反例快速排除，也可逐项验证定义条件． 变式4　(多选)设非空数集T满足：若x∈T，y∈T，则x＋y∈T，x－y∈T．下列说法正确的是(　ABC　) A．若T中有一个元素，则0∈T　　　　　B．若1∈T，则任意整数都属于T C．集合{0}满足条件　　　　　D．任意包含T的集合都满足条件 【答案】ABC 【解析】取x＝y可得0∈T，A正确；若1∈T，则由加法、减法封闭可得到所有整数，B正确；{0}满足条件，C正确；扩大集合不一定保持封闭，D错误． 随堂内化 1．已知A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x²－4x＋3≤0}，若B⊆A，则a的取值范围是(　B　) A．[1，＋∞)　　　　　B．[3，＋∞) C．(0，3]　　　　　D．[0，1] 【答案】B 【解析】B＝[1，3]，要使[1，3]⊆[0，a]，需a≥3． 2．设U＝R，M＝{x|x≤2}，N＝{x|x＞0}，则C_U(M∩N)＝(　B　) A．(0，2]　　　　　B．(－∞，0]∪(2，＋∞) C．(－∞，0)　　　　　D．[2，＋∞) 【答案】B 【解析】M∩N＝(0，2]，故其在R中的补集为(－∞，0]∪(2，＋∞)． 3．已知A＝{x|2ˣ＜8}，B＝{x|ln(x＋1)＜0}，则下列结论正确的是(　C　) A．A＝{x|x＞3}　　　　　B．B＝{x|x＜0} C．A∩B＝B　　　　　D．A∪B＝B 【答案】C 【解析】A＝(－∞，3)，B＝(－1，0)，显然B⊆A，故A∩B＝B． 4．某班45名同学参加数学、物理、化学三个兴趣小组，每人至少参加一个且至多参加两个．已知参加数学小组28人，物理小组20人，化学小组18人，同时参加数学和物理的7人，同时参加物理和化学的5人，则同时参加数学和化学的有__9__人． 【答案】9 【解析】设同时参加数学和化学的有x人．由于每人至多参加两个小组，三组人数总和＝总人数＋两两交集人数之和，故28＋20＋18＝45＋7＋5＋x，解得x＝9． 配套精练 一、单项选择题 1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A＝{x∈U|x为偶数}，则C_U A中元素个数为(　C　) A．3　　　　　B．4 C．5　　　　　D．6 【答案】C 【解析】C_U A为U中的奇数集合{1，3，5，7，9}，共有5个元素． 2．已知A＝{－1，0，1，3}，B＝{x|x²－1＝0}，则A∩B＝(　A　) A．{－1，1}　　　　　B．{0，1} C．{1，3}　　　　　D．{－1，0，1} 【答案】A 【解析】B＝{－1，1}，与A求交仍为{－1，1}． 3．已知A＝{x|－3＜x≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝(　A　) A．[0，1]　　　　　B．(－3，0] C．(－3，＋∞)　　　　　D．[1，＋∞) 【答案】A 【解析】两区间公共部分为[0，1]． 4．设A＝{x|x²－6x＋5≤0}，B＝{x|x≤a}．若A⊆B，则a的取值范围是(　D　) A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞) C．(－∞，5]　　　　　D．[5，＋∞) 【答案】D 【解析】A＝[1，5]，若A⊆(－∞，a]，需a≥5． 5．已知集合A＝{x∈N|x²－5x＋6＝0}，则A的子集个数为(　C　) A．2　　　　　B．3 C．4　　　　　D．8 【答案】C 【解析】A＝{2，3}，含2个元素，子集个数为2²＝4． 6．已知U＝{1，2，3，4，5，6}，A－B＝{1，3}，A∩B＝{2}，B－A＝{5}，则A∪B＝(　A　) A．{1，2，3，5}　　　　　B．{1，2，3，4，5} C．{2，5}　　　　　D．{1，3，5，6} 【答案】A 【解析】A∪B由A－B，A∩B，B－A三部分组成，为{1，2，3，5}． 7．已知U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1}，B＝{0，2，3}，则(C_U A)∩B＝(　B　) A．{0}　　　　　B．{2，3} C．{－2，2，3，4}　　　　　D．{－1，0，1} 【答案】B 【解析】C_U A＝{－2，2，3，4}，与B求交得{2，3}． 8．若A＝{(x，y)|y＝x＋1}，B＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则A∩B的真子集个数为(　B　) A．0　　　　　B．1 C．2　　　　　D．3 【答案】B 【解析】两集合交点为(1，2)，A∩B含1个元素，真子集个数为2¹－1＝1． 9．若正数集S满足：对任意a，b∈S且a＜b，都有b/a∈S，则称S为“商稳集”．下列集合是“商稳集”的是(　B　) A．{1，2，3}　　　　　B．{1，2，4，8} C．{2，4，6}　　　　　D．{1，3，6} 【答案】B 【解析】集合{1，2，4，8}中任意较大数除以较小数所得结果仍在集合中． 10．某班30名同学中，参加数学社团18人，参加物理社团15人，两社团都参加的8人，则两个社团都没参加的有(　B　) A．3人　　　　　B．5人 C．8人　　　　　D．10人 【答案】B 【解析】至少参加一个社团的人数为18＋15－8＝25，故都没参加的人数为30－25＝5． 二、多项选择题 11．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B＝{2，6}，C_U(A∪B)＝{1，8}，则下列说法正确的是(　ACD　) A．A∪B＝{2，3，4，5，6，7}　　　　　B．3一定属于A C．2∈A且2∈B　　　　　D．(C_U A)∪(C_U B)＝C_U(A∩B) 【答案】ACD 【解析】由补集可得A∪B＝{2，3，4，5，6，7}，A正确；3只知在A∪B中，不一定属于A，B错误；2属于交集，C正确；D为德摩根公式，正确． 12．若集合A，B满足A⊆B，则下列结论正确的是(　ABCD　) A．A∩B＝A　　　　　B．A∪B＝B C．C_U B⊆C_U A　　　　　D．A－B＝∅ 【答案】ABCD 【解析】由A⊆B直接可得A∩B＝A，A∪B＝B；补集关系反向，且A中没有不属于B的元素，故A－B＝∅． 13．对于集合A，B，记A－B＝{x|x∈A且x∉B}．下列说法正确的是(　ABC　) A．若A－B＝∅，则A⊆B　　　　　B．A－B＝A∩(C_U B) C．若A∩B＝∅，则A－B＝A　　　　　D．A－B与B－A一定相等 【答案】ABC 【解析】A－B为空说明A没有在B外的元素，故A⊆B；差集可写作A∩(C_U B)；若A与B无交，则A中元素都不在B中，所以A－B＝A；D一般不成立． 14．设非空数集S满足：若x∈S，y∈S，则x＋y∈S，x－y∈S，xy∈S．下列命题正确的是(　ABC　) A．0一定属于S　　　　　B．若1∈S，则所有整数都属于S C．{0}满足条件　　　　　D．任意有限集合都满足条件 【答案】ABC 【解析】取x＝y可得0∈S，A正确；由1反复相加、相减可得所有整数，B正确；{0}显然满足条件，C正确；有限集合一般不满足加法封闭，D错误． 三、填空题 15．已知M＝{x|x²－x－6≤0}，N＝{x|y＝ln(x－1)}，则(C_R M)∩N＝__(3，＋∞)__． 【答案】(3，＋∞) 【解析】M＝[－2，3]，N＝(1，＋∞)，C_R M＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故交集为(3，＋∞)． 16．已知A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a＋2}，若A∩B＝∅，则a的取值范围为__(－∞，－2]∪[3，＋∞)__． 【答案】(－∞，－2]∪[3，＋∞) 【解析】两个开区间不相交，需a＋2≤0或a≥3，故a≤－2或a≥3． 17．已知A＝{x∈N|2x＋1＜8}，B＝{x|x²－5x＋m＝0}，若2∈A∩B，则A∪B的子集个数为__16__． 【答案】16 【解析】由2∈B得4－10＋m＝0，m＝6，B＝{2，3}；A＝{0，1，2，3}，故A∪B＝{0，1，2，3}，子集个数为2⁴＝16． 18．已知A＝{x|x²＋mx≤0}，B＝{1，2}，若A∩B有4个子集，则实数m的最大值为__－2__． 【答案】－2 【解析】A∩B有4个子集，说明A∩B含2个元素，即{1，2}⊆A．当m<0时A＝[0，－m]，需－m≥2，得m≤－2；故最大值为－2． 19．设k∈R，已知集合{x|x²－(k＋1)x＋k＝0}中有两个元素，且3属于该集合，则k＝__3__． 【答案】3 【解析】将x＝3代入方程，得9－3(k＋1)+k＝0，即6－2k＝0，所以k＝3，此时方程有两个不同实根1和3． 20．已知集合A＝{1，a，a²}恰有两个元素，则实数a的取值集合为__{－1，0}__． 【答案】{－1，0} 【解析】若a＝0，则A＝{1，0}；若a＝－1，则A＝{1，－1}，均恰有两个元素．a＝1时只有一个元素，其余情况有三个元素． 学科网（北京）股份有限公司 $