第08讲基本不等式及其应用（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦基本不等式及其应用高考核心考点，涵盖不等式性质、最值求解（和定积最大、积定和最小）及代数几何实际问题应用，按知识清单梳理基础、典例精讲突破7大题型、方法技巧总结5大解题大招、分层训练巩固的逻辑架构。通过考点梳理明确“一正二定三相等”条件，方法指导如凑配定值法解决分式最值，真题训练融入近3年模拟题，帮助学生系统构建知识网络，突破易错点。 资料特色在于分层训练体系（基础过关8题、拔高选练6题、错题复盘5题）与解题大招的实战结合，如“1的代换”法解决条件等式求最值，引导学生将“1”转化为已知等式进行配凑，培养数学思维中的推理能力和数学语言中的模型意识。设置几何应用题型（如矩形面积最值），通过实际情境问题提升应用意识，助力学生在有限时间内掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有效支撑。

第08讲基本不等式及其应用 （知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 求最值、不等式变式、三元不等式 单选题、多选题 5分/6分 1的代换+、凑配定值、几何最值+ 单选题、填空题 5分 应用及求范围、易错辨析 单选、填空 5分 放缩及结合导数、证明+求参 解答题（小问）、解答题 4-10分 【知识点01】基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）若，则；（2）若，则，当时取等号。 解析：（1）错误，忽略“一正”前提，若，，，此时； （2）正确，满足“一正”，且当时，，，等号成立。 【知识点02】利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 【例2】已知，，且，求的最小值。 解析：利用1的代换，将替换为，得： 由基本不等式，，当且仅当，即，结合，解得，时，等号成立。 故的最小值为。 【知识点03】基本不等式的应用 求代数式最值、比较大小、证明不等式、解决几何及实际问题（周长、面积、利润最值等），常与函数、导数结合考查。 易错提醒：忽略“一正、二定、三相等”任一条件，会导致最值求解错误；分式型最值需先凑配定值，再套用公式。 【例3】已知，，且，求的最小值。 解析：利用1的代换，将替换为，得： 由基本不等式，，当且仅当，即，结合，解得，时，等号成立。 故的最小值为。 【题型一】由基本不等式比较大小 【例1】（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质比较,根据基本不等式比较. 【详解】因为，所以， 所以，即，即， 又因为， 所以，即， 综上，， 故选:A. 【变式1】（2025·广东·一模）已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式即可证明充分性成立，用特值检验即可说明必要性不成立. 【详解】取,满足,但，必要性不成立， 由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立， 则是的充分不必要条件， 故选：A 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台和圆柱的体积公式，得出，做差可判断，再结合基本不等式，可得.即可得到答案. 【详解】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即； . 圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确. 由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误. 故选：B 【变式3】（多选）（2025·四川泸州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 【题型二】由基本不等式证明不等关系 【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式1】（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确. 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知非零向量满足，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算可得，即可根据不等式得，进而可判断必要性，举反例即可求解不充分性. 【详解】, 由于，所以， 故能得到， 但不一定能得到，比如，满足，但无法得到， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【变式3】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 【题型三】基本不等式求积的最大值 【例3】（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 【变式1】（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为； 故选：B 【变式2】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 【变式3】（2026·福建龙岩·三模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若边上的中线的长为2，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及特殊角的三角函数值求解即可. （2）根据向量的模以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为所以， 所以 ，， 因为，． （2）因为是边上的中线，所以， 两边平方：， 由（1）得， 代入已知条件得：， 整理得 ， 所以． 所以，当且仅当时， 取到等号，所以面积的最大值为． 【题型四】基本不等式求积的最小值 【例4】（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，则，充分性成立； 若，取，满足条件， 则，不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 【题型五】基本不等式“1"的妙用求最值 【例5】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 【变式1】（多选）（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD. 【详解】由题意可知，所以，A项正确； ，当且仅当时取等，B项正确； 所以，当且仅当时取等，C项正确； ，当且仅当时取等，D项错误． 【变式2】（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 【变式3】（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可； （2）根据得出，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 若，则矛盾，故，所以， 而，所以． （2）因角的平分线为，则， 因，且，则， ∴，∴， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为． 【题型六】条件等式求最值 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 【变式1】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，即可判断；对于B，利用即可判断；对于C，对式子两边同时平方可得，根据的范围即可判断；对于D，由可得，根据二次函数的性质即可判断. 【详解】选项A，由，可得，即，故A正确； 选项B，利用基本不等式可知，整理可得， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 选项C，整理式子，可得， 两边同时平方得，即， 因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确； 选项D，由，可得，得， 则， 函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以，故D正确. 【变式2】（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题意可得，结合不等式分析证明； （2）由等式可得，进而求最值. 【详解】（1）因为正数a，b，c满足， 若，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. （2）因为，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【题型七】基本(均值)不等式的应用 【例7】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】8 【分析】将已知等式变形为，利用基本不等式建立与的关系，从而求得的最大值. 【详解】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】(1) (2)设备占地面积为时，y的值最小 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 【解题大招01】凑配定值法 当代数式无明显定值时，通过“加项、减项”凑配出和定或积定，满足基本不等式“二定”要求，优先凑配与变量相关的定值项，规避符号错误。 易错提醒：凑配时需保证凑配项与原变量符号一致，避免出现负数项导致公式失效。 【例1】已知，求的最小值。 解析：由，得（满足“一正”），凑配定值： 此时与积为定值4，由基本不等式： 当且仅当，即（满足“三相等”）时，等号成立。 故的最小值为。 【解题大招02】“1的代换”法 已知（，），求（）的最值，将“1”替换为，展开后利用基本不等式求最值。 【例2】已知，且，求的最小值。 解析：先将已知条件变形为“1”的形式：，即。 进行1的代换： 由基本不等式，。 当且仅当，结合，解得，时，等号成立。 故的最小值为。 【解题大招03】分类讨论法（适配含负变量、参数型最值） 当变量含负数、参数时，先分类转化为“正数”，再套用基本不等式；参数型需按参数影响“一正、二定、三相等”的条件分类求解，避免漏解。 【例3】求（）的最值。 解析：分两类讨论，保证“一正”前提： ① 当时，由基本不等式，，当且仅当时，取最小值2； ② 当时，令，则。 由基本不等式，，故，当且仅当（即）时，取最大值-2。 综上：的最大值为-2，最小值为2。 【解题大招04】结合几何意义法（适配几何背景最值） 将代数式转化为几何量（周长、面积、距离等），利用基本不等式求几何量的最值，核心是找到几何量对应的“和定”或“积定”关系。 【例4】已知矩形的周长为16，求该矩形面积的最大值。 解析：设矩形的长为，宽为（），由周长为16，得，即（和定）。 矩形面积，由基本不等式“和定积最大”： 当且仅当（即矩形为正方形）时，等号成立。 故矩形面积的最大值为16。 【解题大招05】不等式链应用法（适配大小比较、范围求解） 利用均值不等式链（），快速比较大小、求解代数式取值范围，等号均在时成立。 【例5】已知，且，比较、、的大小，并求的最小值。 解析：① 大小比较：由不等式链，，代入，得； ② 求的最小值：由，代入得： 由，得，故，即。 当且仅当时，等号成立，故的最小值为1。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 2．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 二、多选题 4．（2025·广东·模拟预测）已知，则下列命题一定为真命题的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用对数函数的性质可判定A，利用反例可判定B，利用不等式的性质可判定出，根据基本不等式可判定D. 【详解】对于A，因为函数单调递增，又，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由不等式的传递性可知，故C正确； 对于D，由得，又，所以，即. 又，即，则，即，又，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（2025·四川·模拟预测）已知，则的最小值为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 6．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 四、解答题 7．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. （2）由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 8．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)求使成立的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知， 化简利用基本不等式可求得结果； （2）由题意可得，根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）， 当时，， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为 （2）因为，若，所以， 得或 解得或，即的取值范围是． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·广西崇左·一模）若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 2．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长. 【详解】由题意，， 根据余弦定理，可得，化简得，即， 所以， 根据基本不等式，可得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以， 所以角的最大值为，且， 又由余弦定理得，， 所以，又，所以，所以， 所以的周长为，所以B正确. 二、多选题 3．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 三、填空题 4．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 四、解答题 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知的角对边分别为，. (1)求角的大小. (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可得，可求； （2）延长到，满足，连接，在中，由余弦定理化简整理得到，结合基本不等式，求得，再由三角形的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1），， 由正弦定理可得：， ，, 即， ，． （2）如图，延长到，满足，连接， 则为平行四边形，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得，即， 由基本不等式得：， 即，即，可得， （当且仅当取等号号）， 又由，即， 故的取值范围是. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 二、多选题 2．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 三、填空题 3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题 4．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；解集为. (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式. （2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围. 【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 5．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，角的对边分别为. (1)若，求的大小； (2)若，点为边上的点，且满足，求的最小值； (3)若，点为边上的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2)18 (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，化简得出的值，进而求得角； （2）由角平分线性质及面积关系推出​，由“1”的代换将变形，运用基本不等式求出其最小值； （3）先由推出，设，在两个三角形中用正弦定理联立，推导出，再通过辅助角法求该三角函数的最大值，进而得到的最大值. 【详解】（1）由题，利用正弦定理可得， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以为角的平分线， 因为，可得， 又为角平分线，可得， 所以，所以， 故， 由及可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为18. （3）因为，即， 所以，可得， 设，在和中，利用正弦定理可得， 两式联立可得，，即，即， 则，即， 则， 因为，则令， 则，其中，所以为锐角， 则，得，当时，化简得， 因为，则，则，所以， 故当，即时，有最大值，此时，故的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲基本不等式及其应用 （知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 求最值、不等式变式、三元不等式 单选题、多选题 5分/6分 1的代换+、凑配定值、几何最值+ 单选题、填空题 5分 应用及求范围、易错辨析 单选、填空 5分 放缩及结合导数、证明+求参 解答题（小问）、解答题 4-10分 【知识点01】基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。 【知识点02】利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 【例2】已知，，且，求的最小值。 【知识点03】基本不等式的应用 求代数式最值、比较大小、证明不等式、解决几何及实际问题（周长、面积、利润最值等），常与函数、导数结合考查。 易错提醒：忽略“一正、二定、三相等”任一条件，会导致最值求解错误；分式型最值需先凑配定值，再套用公式。 【例3】已知，，且，求的最小值。 【题型一】由基本不等式比较大小 【例1】（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东·一模）已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2025·四川泸州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型二】由基本不等式证明不等关系 【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知非零向量满足，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【题型三】基本不等式求积的最大值 【例3】（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【变式2】（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【变式3】（2026·福建龙岩·三模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若边上的中线的长为2，求面积的最大值． 【题型四】基本不等式求积的最小值 【例4】（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，则的最小值为__________． 【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 【题型五】基本不等式“1"的妙用求最值 【例5】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【变式1】（多选）（2026·辽宁朝阳·三模）已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【变式3】（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足． (1)求的大小； (2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【题型六】条件等式求最值 【例6】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【变式1】（多选）（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【变式3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 【题型七】基本(均值)不等式的应用 【例7】（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 【变式3】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【解题大招01】凑配定值法 当代数式无明显定值时，通过“加项、减项”凑配出和定或积定，满足基本不等式“二定”要求，优先凑配与变量相关的定值项，规避符号错误。 易错提醒：凑配时需保证凑配项与原变量符号一致，避免出现负数项导致公式失效。 【例1】已知，求的最小值。 【解题大招02】“1的代换”法 已知（，），求（）的最值，将“1”替换为，展开后利用基本不等式求最值。 【例2】已知，且，求的最小值。 【解题大招03】分类讨论法（适配含负变量、参数型最值） 当变量含负数、参数时，先分类转化为“正数”，再套用基本不等式；参数型需按参数影响“一正、二定、三相等”的条件分类求解，避免漏解。 【例3】求（）的最值。 【解题大招04】结合几何意义法（适配几何背景最值） 将代数式转化为几何量（周长、面积、距离等），利用基本不等式求几何量的最值，核心是找到几何量对应的“和定”或“积定”关系。 【例4】已知矩形的周长为16，求该矩形面积的最大值。 【解题大招05】不等式链应用法（适配大小比较、范围求解） 利用均值不等式链（），快速比较大小、求解代数式取值范围，等号均在时成立。 【例5】已知，且，比较、、的大小，并求的最小值。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·二模）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·广东·模拟预测）已知，则下列命题一定为真命题的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 三、填空题 5．（2025·四川·模拟预测）已知，则的最小值为___________． 6．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 四、解答题 7．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 8．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)求使成立的的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·广西崇左·一模）若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 2．（2026·江苏·模拟预测）在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题 3．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 四、解答题 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知的角对边分别为，. (1)求角的大小. (2)设点是的中点，若，求的取值范围. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 二、多选题 2．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则“”是“”的充要条件 C．的最小值为3 D．若，则 三、填空题 3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 四、解答题 4．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 5．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，角的对边分别为. (1)若，求的大小； (2)若，点为边上的点，且满足，求的最小值； (3)若，点为边上的中点，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $