第09讲 指数与指数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

第09讲 指数与指数函数 内 容 导 航 知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质 知识点3 底数对指数函数图象的影响 知识点4 指数函数的单调性 知识点5 比较指数幂大小 题型1 有理数指数幂与根式的互化 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 题型3 指数函数的特征及解析式 题型4 由指数函数的解析式求解参数 题型5 指数函数的定义域 题型6 指数函数的值域 题型7 指数函数图象特征与底数的关系 题型8 指数函数及指数型复合函数的图象 题型9 指数函数的单调性与最值 题型10 指数函数的实际应用 知 识 点 通 关 知识点1 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ；；. 知识点2 指数函数的图象和性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 过定点 过定点，即时， 函数值 的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 与的图象关于轴对称 知识点3 底数对指数函数图象的影响 函数和的图象如图所示 观察上图，有如下结论. 当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”. 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 必记结论 1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分 a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 （1）y＝ax,（2）y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 知识点4 指数函数的单调性 方法技巧 复合函数的单调性判断方法 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数； 知识点5 比较指数幂大小 方法技巧 比较指数幂大小的方法 （1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）． （2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）． （3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）． 考 点 演 练 题型1 有理数指数幂与根式的互化 【典例1】A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则： ①一张Ai型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张A（i+1）型号纸张； ②一张A0型号的纸张面积是1平方米； ③所有Ai型号的纸的长宽比相等．现从A0到A9，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（单位：米）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设Ai（i＝0，1，2，…，9）纸的宽和长分别为ai，bi（i＝0，1，2，…，9）， 则，b1＝a0， ∵， ∵，∴，解得， ∵a0b0＝1，∴，， 根据题意，， 又，即， ∴，则， ∴{ai}是首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 同理，， {bi}是首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 同理，， {bi}是首项为，公比为的等比数列， ∴， ， ∴所有纸张的周长之和为C． 故选：C． 【变式1】下列各式的化简运算错误的是（　　） A． B． C．lg3+lg7＝1 D． 【答案】C 【解答】解：对于A，，选项A正确； 对于B，26＝64，选项B正确； 对于C，lg3+lg7＝lg（3×7）＝lg21≠1，选项C错误； 对于D，，选项D正确． 故选：C． 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 【典例1】某物质R是人类生命活动中不可缺少的物质，已知R的相对分子质量为150，其中含碳元素40%，含氢元素6.7%，其余为氧元素。则R的化学式为（　　） A．C5H10O2 B．C6H14O4 C．C5H10O5 D．C6H12O6 【答案】C 【解答】解：由物质R中碳元素40%，含氢元素6.7%，其余为氧元素，则氧元素的质量分数＝1﹣40%﹣6.7%＝53.3%； 设该化合物的化学式为CxHyOz； 根据质量分数可得12x：y：16z＝40%：6.7%：53.3% 且12x+y+16z＝150；x＝5，y＝10，z≈5 则R的化学式为C5H10O5； 故选：C。 【变式1】（2025春•北仑区校级期中）由碳、氧两种元素组成的气体，碳与氧的质量之比为1：4，则该气体可能是（　　） A．由CO或CO2单独组成的纯净物 B．由CO和CO2共同组成的混合物 C．由CO和O2等质量组成的混合物 D．由CO2和O2共同组成的混合物 【答案】D 【解答】解：A、由碳、氧两种元素组成的气体有CO、CO2和O2，其中CO、CO2中碳与氧的质量比分别是3：4和3：8，而混合气体中碳与氧的质量比是1：4即为3：12，因此答案不可能是A，即不是由CO或CO2单独组成的纯净物，故A错； B、由碳、氧两种元素组成的气体有CO、CO2和O2，其中CO、CO2中碳与氧的质量比分别是3：4和3：8，而混合气体中碳与氧的质量比是1：4即3：12，因此答案不可能是B，即不是由CO和CO2共同组成的混合物，故B错； C、由CO和O2等质量组成的混合物，假设气体都为224g，则碳与氧的质量比为224g：224g224g＝96：352＝3：11，故C错误； D、因CO2中碳与氧的质量比是3：8，大于1：4，O2中不含碳元素，故二者的混合物可能为1：4，故D正确。 故选：D。 题型3 指数函数的特征及解析式 【典例1】已知函数g（x）＝（x﹣2）m+7（m＜0）的图象恒过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则log8f（4）＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，令x﹣2＝1，解得x＝3，所以y＝g（3）＝1+7＝8， 所以函数g（x）＝（x﹣2）m+7（m＜0）的图象恒过定点P（3，8）， 设指数函数为f（x）＝ax，因为点P在指数函数f（x）＝ax的图象上， 所以a3＝8，解得a＝2， 所以f（x）＝2x，log8f（4）＝log82424． 故选：D． 【变式1】已知函数y＝ax﹣2+15（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，幂函数y＝f（x）的图象过点A，则不等式f（3x﹣1）＞f（2x）的解集为（　　） A．（﹣∞，1） B． C．（1，+∞） D． 【答案】D 【解答】解：函数y＝ax﹣2+15的图象恒过定点A（2，16）， 设幂函数f（x）＝xα， 则2α＝16，解得α＝4，即f（x）＝x4， 显然函数f（x）的定义域为全体实数， 因为f（﹣x）＝（﹣x）4＝x4＝f（x）， 所以函数f（x）是偶函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 则f（3x﹣1）＞f（2x），即|3x﹣1|＞|2x|，即（3x﹣1）2＞（2x）2， 整理可得5x2﹣6x+1＞0，解得x＞1或， 所以不等式f（3x﹣1）＞f（2x）的解集为． 故选：D． 题型4 由指数函数的解析式求解参数 【典例1】函数y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，则有（　　） A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 【答案】B 【解答】解：∵y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数， ∴a2﹣3a﹣3＝1，即a2﹣3a﹣4＝0， ∴a＝4或a＝﹣1， ∵a＞0且a≠1， ∴a＝4， 故选：B． 【变式1】若函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，则f（）的值为（　　） A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数， ∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1， 解得a＝8， ∴f（x）＝8x， ∴f（）2， 故选：B． 题型5 指数函数的定义域 【典例1】已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数的定义域为（　　） A．[0，1] B．[﹣1，0] C． D． 【答案】B 【解答】解：∵f（x）的定义域为[﹣2，2]， ∴g（x）需满足，解得﹣1≤x≤0， ∴g（x）的定义域为[﹣1，0]． 故选：B． 【变式1】已知集合，，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R． （1）若（∁RA）∩B； （2）若A∪C＝R，求m的取值范围． 【答案】（1）{x|2≤x≤5}； （2）[2，+∞）． 【解答】解：（1）集合{x|x＜﹣1或x＞5}， {x|x≥2}， ∴∁RA＝{x|﹣1≤x≤5}， ∴（∁RA）∩B＝{x|2≤x≤5}； （2）∵A∪C＝R，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R． ∴2m+1≥5，解得m≥2， ∴m的取值范围是[2，+∞）． 题型6 指数函数的值域 【典例1】已知函数的最小值为1，则a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：y＝2x是增函数， 因为x2≥0，所以u＝x2+a的最小值为a（当x＝0时取得）， 因此f（x）的最小值为2a，又f（x）的最小值为1， 所以2a＝1，解得a＝0． 故选：A． 【变式1】函数的值域是（　　） A．（0，9] B．（﹣∞，9] C． D．[9，+∞） 【答案】A 【解答】解：令x2＝t，t≥0，令m＝x4﹣2x2﹣1＝t2﹣2t﹣1，t≥0， 当t≥0时，二次函数m＝t2﹣2t﹣1，t≥0在[0，1]上单调递减， 在（1，+∞）上单调递增，故m＝t2﹣2t﹣1∈[﹣2，+∞）， 又易知在[﹣2，+∞）上单调递减，故， 即函数f（x）的值域为（0，9]． 故选：A． 题型7 指数函数图象特征与底数的关系 【典例1】下列函数中，是偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减的是（　　） A． B． C．y＝x﹣1 D．y＝x4 【答案】D 【解答】解：对于A，y＝f（x），定义域为R，且f（﹣x）f（x），所以f（x）是偶函数， 当x＜0时，f（x）2x为指数函数，且底数a＝2＞1，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，不满足题意； 对于B，y，定义域为[0，+∞），所以函数y为非奇非偶函数，不满足题意； 对于C，y＝f（x）＝x﹣1，定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）f（x），所以f（x）是奇函数，不满足题意； 对于D，y＝f（x）＝x4，定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）4＝x4＝f（x），所以f（x）是偶函数， f（x）＝x4是幂函数，当x＞0时，f（x）＝x4为单调递增函数， 因为f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数，满足题意． 故选：D． 【变式1】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．y＝log2（x+1） B． C．y＝（x﹣1）2 D． 【答案】A 【解答】解：对于A，因为对数函数y＝log2x在区间（0，+∞）上单调递增，一次函数y＝x+1为增函数， 所以函数y＝log2（x+1）在区间（0，+∞）上单调递增，选项A正确； 对于B，指数函数y是R上的单调减函数，不合题意； 对于C，幂函数y在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意； 对于D，函数y＝（x﹣1）2在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，不合题意． 故选：A． 题型8 指数函数及指数型复合函数的图象 【典例1】若a，b，c满足ax＝by＝cz（a＞1，b＞1，c＞1），且，xyz≠0），则有序实数组（a，b，c）可能是（　　） A．（2，3，4） B．（3，2，4） C．（3，2，12） D．（2，3，12） 【答案】C 【解答】解：设ax＝by＝cz＝k， 则x＝logak，y＝logbk，z＝logck， 因为，xyz≠0）， 所以logka+2logkb﹣logkc＝0，即logk0， 所以1，即ab2＝c， 结合选项可知，C正确． 故选：C． 【变式1】若直线与函数y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值不可以是（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【解答】解：y＝|ax﹣1|的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到， 分a＞1和0＜a＜1两种情况分别作图． 当a＞1时，图象如下图所示： 此时需要，即0＜a＜2， 所以1＜a＜2； 当0＜a＜1时，图象如下图所示： 此时需满足，0＜a＜1都符合条件； 综上可知，a的取值范围为0＜a＜1或1＜a＜2， 所以a的取值不可以是D． 故选：D． 题型9 指数函数的单调性与最值 【典例1】设a＝3.7﹣0.3，b＝3.70.3，c＝log3.70.3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】C 【解答】解：c＝log3.70.3＜0， 由于函数y＝3.7x为单调递增函数， 故0＜a＝3.7﹣0.3＜b＝3.70.3， 综上所述，c＜a＜b． 故选：C． 【变式1】已知，，，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【答案】A 【解答】解：因为， 由幂函数性质可知，函数在（0，+∞）上单调递增， 所以， 所以a＜b＜c． 故选：A． 题型10 指数函数的实际应用 【典例1】某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为E（n）＝Ae﹣kn+30，其中A，k为常数，A＞0，k＞0，n∈N．已知E（0）＝100，E（100）＝80，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（　　） （参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7≈1.95） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【解答】解：已知E（0）＝100，E（100）＝80， 则A+30＝100，Ae﹣100k+30＝80， 则A＝70，， 则﹣100k＝ln5﹣ln7， 设电池健康度为80与为60时，随循环次数分布为n1，n2， 则，， 即， 即﹣k（n2﹣n1）＝ln3﹣ln5， 即150． 故选：B． 【变式1】牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为26℃，一块面包从温度为130℃的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至52℃，则欲温度降至39℃，大约还需要（　　） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【解答】解：由题意，环境温度为26℃，一块面包从温度为130℃的烤箱里拿出， 经过20分钟温度降为52℃，即θ0＝26，θ1＝130，θ＝52，t＝20， 代入θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt， 得52＝26+（130﹣26）e﹣20k， 则e20k＝4， 即e10k＝2， 设再经过t′分钟，温度可由52℃降为39℃， 即39＝26+（52﹣26）e﹣kt′， 即ekt′＝2＝e10k， 即t'＝10． 故选：D． 过 关 验 收 1．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（　　） A．（x≠0） B． C．（xy≠0） D．（y＜0） 【答案】C 【解答】解：，A错误； ，B错误； （），C正确； ，D错误． 故选：C． 2．已知a＞0，则化为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 3．若10a＝4，10b＝25，则（　　） A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＝4 D． 【答案】AD 【解答】解：∵10a＝4，10b＝25， ∴a＝lg4，b＝lg25， ∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，故A正确； b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg1，故B错误； ab＝lg4lg25＜4，故C错误； ，故D正确． 故选：AD． 4．下列运算正确的有（　　） A．lg2+lg5＝1 B． C． D．log28＝4 【答案】AC 【解答】解：lg2+lg5＝lg10＝1，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； log28，故D错误． 故选：AC． 5．若实数x、y、z满足1+2x＝3y＝5z，则x、y、z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．y＞z＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y 【答案】D 【解答】解：令1+2x＝3y＝5z＝t，得x＝log2（t﹣1），y＝log3t，z＝log5t，t＞1； 在同一直角坐标系内作出函数f（t）＝log2（t﹣1），g（t）＝log3t，h（t）＝log5t，t＞1的图像，如图所示： 则x，y，z分别是函数y′＝f（t），y′＝g（t），y′＝h（t），t＞1的图像与直线t＝a（a＞1）交点的纵坐标， 设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2， 由图像得，当1＜a＜x1时，y＞z＞x，当x1＜a＜x2时，y＞x＞z，当a＞x2时，x＞y＞z， 所以选项ABC是可能的，选项D不可能． 故选：D． 6．已知2a＝15，8b＝3，则2a﹣3b＝（　　） A．25 B．5 C． D． 【答案】B 【解答】解：2a﹣3b5． 故选：B． 7．下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m2＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 【答案】C 【解答】解：对于A：a＞0，，A错误； 对于B：m2＝2，，B错误； 对于C：a+a﹣1＝3，所以a＞0， ，化简得，所以，故C正确； 对于D：因为2﹣π＜0，所以，故D错误． 故选：C． 8．设a，b是正数，且ab＝ba，b＝3a，则a＝（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解答】解：因为ab＝ba，b＝3a， 所以a3a＝（3a）a， 因为a为正数，所以a2a•aa＝3a•aa， 所以，解得． 故选：C． 9．命题p：若，则；命题q：，则（　　） A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假 【答案】B 【解答】解：根据二倍角余弦公式 cos2α＝1﹣2sin2α，将 代入得：， 解得 ，并非只有 ，故命题 p为假命题； ，故命题 q 为真命题． 综上，p假q真． 故选：B． 10．下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m8＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 【答案】B 【解答】解：对于A，根据分数指数幂的运算法则， 可得，当a＝1时，， 当a≠1时，，故A错误． 对于B，m8＝2，故，故B正确． 对于C，a+a﹣1＝3，则a+a﹣1+2＝3+2＝5， 因为a＞0，所以，故C错误． 对于D，，故D错误． 故选：B． 11．若10a＝20，10b＝5，则a+b＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．10 【答案】C 【解答】解：因为10a＝20，10b＝5， 所以10a•10b＝10a+b＝100＝102， 所以a+b＝2． 故选：C． 12．将4x2+1分别加上下列各项，其中不能化成（a+b）2形式的是（　　） A．4x B．﹣4x C．4x4 D．16x 【答案】D 【解答】解：选项A，4x2+1+4x＝（2x+1）2； 选项B，4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2； 选项C，4x2+1+4x4＝（2x2+1）2； 选项D，4x2+1+16x不能运用完全平方公式． 故选：D． 13．若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 【答案】C 【解答】解：1＜a＜2， 则1﹣a+2﹣a＝3﹣2a． 故选：C． 14．已知实数x，y满足2x＝4y+4，则x﹣y的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：令x﹣y＝t，则x＝y+t， 则由2x＝4y+4，得到（2y）2﹣2t2y+4＝0， 令m＝2y＞0，则m2﹣2tm+4＝0，存在正根， 又， 所以只需Δ＝（﹣2t）2﹣16≥0， 解得：t≥2，当x＝3，y＝1时，取等号， 所以x﹣y的最小值为2． 故选：B． 15．已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（　　） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：由x﹣1＝0，解得x＝1，又f（1）＝2，所以函数y＝ax﹣1+1过定点为A（1，2）， 代入直线y＝mx+n中，得m+n＝2， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． 故选：C． 16．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线y＝3但又不与该直线相交，则函数f（x）有（　　） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3 【答案】B 【解答】解：∵函数的图象过原点， ∴，∴a＝﹣b， ∵∈（0，1]， ∴x→∞时，（）|x|→0，此时，f（x）→b， ∵函数图象无限接近于直线y＝3但不相交， ∴b＝3， ∵b＝﹣a，∴a＝﹣3， ∴f（x）＝﹣3（）|x|+3＝﹣3•3﹣|x|+3＝﹣31﹣|x|+3， ∵|x|≥0，1﹣|x|≤1，∴31﹣|x|∈（0，3]， ∴﹣31﹣|x|∈[﹣3，0）， ∴f（x）＝﹣31﹣|x|+3∈（0，3]， ∴函数f（x）无最大值，有最小值0． 故选：B． 17．已知指数函数f（x）＝（a﹣1）bx的图像经过点（2，4），则ab＝（　　） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解答】解：由指数函数f（x）＝（a﹣1）bx的图象经过点（2，4）， 可得，解得， 所以ab＝4． 故选：A． 18．若函数y＝2x﹣m+m（m为常数）的图象恒过的点的纵坐标为3，则m＝（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：由题意函数y＝2x﹣m+m（m为常数）的图象恒过的点的纵坐标为3， 令x﹣m＝0可得x＝m， 当x＝m时，由题意可得y＝20+m＝1+m＝3，解得m＝2． 故选：A． 19．已知实数，下列关系式：①a＞b；②c＞d；③a+b＞2；④cd＞2．其中成立的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵a＝log23＞1，b＝log32＜1，∴a＞b，故①正确； c＝30.2＝90.1＞80.1＝20.3＝d，故②正确； 由换底公式可得，，∴ab＝1． 又∵a＞1＞b，∴，故③正确； cd＝30.2×20.3＝90.1×80.1＝720.1＜10240.1＝2，故④错误． ∴成立的关系式有3个． 故选：C． 20．函数y＝（2a2﹣3a+2）ax是指数函数，则a的值为（　　） A． B．1 C． D．1 或 【答案】A 【解答】解：∵函数y＝（2a2﹣3a+2）ax是指数函数， ∴2a2﹣3a+2＝1，解得：a，a＝1（舍）， 故选：A． 21．若函数y＝（m2﹣2m﹣2）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D． 【答案】C 【解答】解：∵函数y＝（m2﹣2m﹣2）•mx是指数函数， ∴， 解得m＝3， 故选：C． 22．下列选项正确的是（　　） A．命题“∃x＞0，x2+x+1≥0”的否定是∀x＜0，x2+x+1＜0 B．满足{1}⊆M⊆{1，2，3}的集合M的个数为4 C．已知x＝lg3，y＝lg5，则lg45＝2x+y D．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（2，4），则 【答案】BC 【解答】解：对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变， 所以命题“∃x＞0，x2+x+1≥0”的否定是∀x＞0，x2+x+1＜0， 故选项A错误； 对于B，满足{1}⊆M⊆{1，2，3}的集合M的个数为23﹣1＝4， 故选项B正确； 对于C，x＝lg3，y＝lg5，所以lg45＝lg5+lg9＝lg5+2lg3＝2x+y， 故选项C正确； 对于D，已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（2，4）， 所以a2＝4，a＝2，所以，故选项D错误． 故选：BC． 23．已知集合，，则A∩B＝（　　） A． B． C． D．（0，+∞） 【答案】C 【解答】解：因为集合[）， （0，1）， 所以A∩B＝[）． 故选：C． 24．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象恒过定点P，则P的坐标为　 　 ；若f（x）在[1，3]上的值域为[1，4]，则a的值为　　 ． 【答案】（1，1）；2． 【解答】解：由指数函数的性质，令x﹣1＝0，得x＝1，所以f（1）＝a0＝1，得P（1，1）． 当a＞1时，f（x）＝ax﹣1在[1，3]上是增函数， 值域是[1，a2]，所以，解得a＝2； 当0＜a＜1时，f（x）＝ax﹣1在[1，3]上是减函数， 值域是[a2，1]，不符合题意， 所以a＝2． 故答案为：（1，1）；2． 25．设x、y、z∈R，若，则下列结论中不可能成立的是（　　） A．y＜x＜z B．x＜y＜z C．x＜z＜y D．z＜y＜x 【答案】D 【解答】解：在同一坐标系中分别作出函数f（x）＝10x，g（x），h（x）＝log3x的图象，如图所示： 若直线y＝k与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为x，y，z， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系． 由图可知，有三种不同的情况：当直线y＝k在①位置时，y＜x＜z； 当直线y＝k在②位置时，x＜y＜z； 当直线y＝k在③位置时，x＜z＜y； 所以选项D错误． 故选：D． 26．已知函数f（x）＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则m+n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：令x﹣3＝0，得x＝3，且f（3）＝a0+1＝2， 所以f（x）过定点（3，2），即m＝3，n＝2， 所以m+n＝5． 故选：D． 27．函数f（x）＝ax﹣b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　） A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 【答案】D 【解答】解：由指数函数的单调性知函数为递减函数，则0＜a＜1， ∵f（0）＝a﹣b＜1，∴﹣b＞0，即b＜0， 故选：D． 28．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）＝（4x﹣4﹣x）|x| B． C．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| 【答案】C 【解答】解：令， 易知g（x）+g（﹣x）＝0，h（x）＝h（﹣x），u（x）＝u（﹣x），n（x）＝n（﹣x）， 即g（x），h（x），u（x），n（x）分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数， 由图象可知f（x）为奇函数，且在x＝0处无定义，故排除A， 显然对于BD选项，f（x）＝0无根，故BD排除； 对于C选项，f（﹣x）＝（4﹣x﹣4x）log2|x|＝﹣（4x﹣4﹣x）log2|x|，为奇函数， 且f（x）＝0可得x＝1和x＝﹣1，故C成立． 故选：C． 29．函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵y＝e﹣|x﹣1|， ∴函数函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是： 故选：B． 30．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．则（　　） A．f（x）的解析式为 B．若（m＞0且m≠1），则实数m的取值范围为 C．函数g（x）＝f（x）﹣1的零点为1，﹣1 D．方程f2（x）﹣2mf（x）+1＝0有四个不同的实数根，求m的取值范围为 【答案】BCD 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）过原点，则f（0）＝0，则有a+b＝0①， 又当x→+∞时，（）|x|→0，则（）|x|+b→b， 而图象无限接近直线y＝2，则b＝2， 由①②知a＝﹣2，b＝2，即f（x）的解析式为f（x）＝﹣2（）|x|+2，A错误； 对于B，由A的结论，f（x）＝﹣2（）|x|+2，其定义域为R， 且f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数， 在[0，+∞）上，f（x）＝﹣2×（）x+2，易得f（x）在[0，+∞）上为增函数， 若，则f（|logm|）＜f（1），则有|logm|＜1，即﹣1＜logm1， 解可得：0＜m或m＞2，即m的取值范围为（0，）∪（2，+∞），B正确； 对于C，函数g（x）＝f（x）﹣1，若g（x）＝0，即f（x）＝1， 则有﹣2（）|x|+2＝1，解可得x＝±1，即函数g（x）＝f（x）﹣1的零点为1，﹣1，C正确； 对于D，由A的结论，f（x）＝﹣2（）|x|+2， 由于0＜（）|x|≤1，易得f（x）的值域为[0，2）， 设t＝f（x），则有t2﹣2mt+1＝0， 方程f2（x）﹣2mf（x）+1＝0有四个不同的实数根，则方程t2﹣2mt+1＝0有两个不同的根，且两个根都在区间（0，2）上， 则有，解可得1＜m，即m的取值范围为（1，），D正确． 故选：BCD． 31．已知正数a，b满足2a+3a＝3b+4b，则（　　） A．b＜a＜2b B．a＜b＜2a C．2b＜a＜3b D．2a＜b＜3a 【答案】A 【解答】解：因为a，b为正数，故a＜2a，b＜2b， 因为2a+3a＝3b+4b＝3b+22b， 故3b＜32b，22b＞2b， 故2a+3a＞3b+2b，且2a+3a＝3b+22b＜32b+22b， 故3b+2b＜2a+3a＜32b+22b 设s（x）＝2x+3x，因为y＝2x，y＝3x均为R上的增函数， 故s（x）为R上的增函数，而s（b）＜s（a）＜s（2b），故b＜a＜2b＜2a， 故A正确，BCD错误． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 指数与指数函数 内 容 导 航 知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质 知识点3 底数对指数函数图象的影响 知识点4 指数函数的单调性 知识点5 比较指数幂大小 题型1 有理数指数幂与根式的互化 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 题型3 指数函数的特征及解析式 题型4 由指数函数的解析式求解参数 题型5 指数函数的定义域 题型6 指数函数的值域 题型7 指数函数图象特征与底数的关系 题型8 指数函数及指数型复合函数的图象 题型9 指数函数的单调性与最值 题型10 指数函数的实际应用 知 识 点 通 关 知识点1 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ；；. 知识点2 指数函数的图象和性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 过定点 过定点，即时， 函数值 的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 与的图象关于轴对称 知识点3 底数对指数函数图象的影响 函数和的图象如图所示 观察上图，有如下结论. 当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”. 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 必记结论 1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分 a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 （1）y＝ax,（2）y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 知识点4 指数函数的单调性 方法技巧 复合函数的单调性判断方法 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数； 知识点5 比较指数幂大小 方法技巧 比较指数幂大小的方法 （1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）． （2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）． （3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）． 考 点 演 练 题型1 有理数指数幂与根式的互化 【典例1】A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则： ①一张Ai型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张A（i+1）型号纸张； ②一张A0型号的纸张面积是1平方米； ③所有Ai型号的纸的长宽比相等．现从A0到A9，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（单位：米）（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式的化简运算错误的是（　　） A． B． C．lg3+lg7＝1 D． 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 【典例1】某物质R是人类生命活动中不可缺少的物质，已知R的相对分子质量为150，其中含碳元素40%，含氢元素6.7%，其余为氧元素。则R的化学式为（　　） A．C5H10O2 B．C6H14O4 C．C5H10O5 D．C6H12O6 【变式1】（2025春•北仑区校级期中）由碳、氧两种元素组成的气体，碳与氧的质量之比为1：4，则该气体可能是（　　） A．由CO或CO2单独组成的纯净物 B．由CO和CO2共同组成的混合物 C．由CO和O2等质量组成的混合物 D．由CO2和O2共同组成的混合物 题型3 指数函数的特征及解析式 【典例1】已知函数g（x）＝（x﹣2）m+7（m＜0）的图象恒过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则log8f（4）＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式1】已知函数y＝ax﹣2+15（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，幂函数y＝f（x）的图象过点A，则不等式f（3x﹣1）＞f（2x）的解集为（　　） A．（﹣∞，1） B． C．（1，+∞） D． 题型4 由指数函数的解析式求解参数 【典例1】函数y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，则有（　　） A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 【变式1】若函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，则f（）的值为（　　） A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣2 题型5 指数函数的定义域 【典例1】已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数的定义域为（　　） A．[0，1] B．[﹣1，0] C． D． 【变式1】已知集合，，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R． （1）若（∁RA）∩B； （2）若A∪C＝R，求m的取值范围． 题型6 指数函数的值域 【典例1】已知函数的最小值为1，则a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【变式1】函数的值域是（　　） A．（0，9] B．（﹣∞，9] C． D．[9，+∞） 题型7 指数函数图象特征与底数的关系 【典例1】下列函数中，是偶函数且在（﹣∞，0）上单调递减的是（　　） A． B． C．y＝x﹣1 D．y＝x4 【变式1】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．y＝log2（x+1） B． C．y＝（x﹣1）2 D． 题型8 指数函数及指数型复合函数的图象 【典例1】若a，b，c满足ax＝by＝cz（a＞1，b＞1，c＞1），且，xyz≠0），则有序实数组（a，b，c）可能是（　　） A．（2，3，4） B．（3，2，4） C．（3，2，12） D．（2，3，12） 【变式1】若直线与函数y＝|ax﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值不可以是（　　） A． B． C． D．3 题型9 指数函数的单调性与最值 【典例1】设a＝3.7﹣0.3，b＝3.70.3，c＝log3.70.3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【变式1】已知，，，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 题型10 指数函数的实际应用 【典例1】某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为E（n）＝Ae﹣kn+30，其中A，k为常数，A＞0，k＞0，n∈N．已知E（0）＝100，E（100）＝80，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（　　） （参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7≈1.95） A．120 B．150 C．170 D．180 【变式1】牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，环境温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt．已知环境温度为26℃，一块面包从温度为130℃的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至52℃，则欲温度降至39℃，大约还需要（　　） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 过 关 验 收 1．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（　　） A．（x≠0） B． C．（xy≠0） D．（y＜0） 2．已知a＞0，则化为（　　） A． B． C． D． 3．若10a＝4，10b＝25，则（　　） A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＝4 D． 4．下列运算正确的有（　　） A．lg2+lg5＝1 B． C． D．log28＝4 5．若实数x、y、z满足1+2x＝3y＝5z，则x、y、z的大小关系不可能是（　　） A．x＞y＞z B．y＞z＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y 6．已知2a＝15，8b＝3，则2a﹣3b＝（　　） A．25 B．5 C． D． 7．下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m2＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 8．设a，b是正数，且ab＝ba，b＝3a，则a＝（　　） A． B．2 C． D．3 9．命题p：若，则；命题q：，则（　　） A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假 10．下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m8＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 11．若10a＝20，10b＝5，则a+b＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．10 12．将4x2+1分别加上下列各项，其中不能化成（a+b）2形式的是（　　） A．4x B．﹣4x C．4x4 D．16x 13．若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 14．已知实数x，y满足2x＝4y+4，则x﹣y的最小值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 15．已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（　　） A．4 B．1 C．2 D． 16．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线y＝3但又不与该直线相交，则函数f（x）有（　　） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值﹣3 D．最小值﹣3 17．已知指数函数f（x）＝（a﹣1）bx的图像经过点（2，4），则ab＝（　　） A．4 B．1 C．2 D． 18．若函数y＝2x﹣m+m（m为常数）的图象恒过的点的纵坐标为3，则m＝（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 19．已知实数，下列关系式：①a＞b；②c＞d；③a+b＞2；④cd＞2．其中成立的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．函数y＝（2a2﹣3a+2）ax是指数函数，则a的值为（　　） A． B．1 C． D．1 或 21．若函数y＝（m2﹣2m﹣2）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D． 22．下列选项正确的是（　　） A．命题“∃x＞0，x2+x+1≥0”的否定是∀x＜0，x2+x+1＜0 B．满足{1}⊆M⊆{1，2，3}的集合M的个数为4 C．已知x＝lg3，y＝lg5，则lg45＝2x+y D．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（2，4），则 23．已知集合，，则A∩B＝（　　） A． B． C． D．（0，+∞） 24．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图象恒过定点P，则P的坐标为　 　 ；若f（x）在[1，3]上的值域为[1，4]，则a的值为　　 ． 25．设x、y、z∈R，若，则下列结论中不可能成立的是（　　） A．y＜x＜z B．x＜y＜z C．x＜z＜y D．z＜y＜x 26．已知函数f（x）＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象过定点（m，n），则m+n＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 27．函数f（x）＝ax﹣b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　） A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 28．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　） A．f（x）＝（4x﹣4﹣x）|x| B． C．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| 29．函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（　　） A． B． C． D． 30．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．则（　　） A．f（x）的解析式为 B．若（m＞0且m≠1），则实数m的取值范围为 C．函数g（x）＝f（x）﹣1的零点为1，﹣1 D．方程f2（x）﹣2mf（x）+1＝0有四个不同的实数根，求m的取值范围为 31．已知正数a，b满足2a+3a＝3b+4b，则（　　） A．b＜a＜2b B．a＜b＜2a C．2b＜a＜3b D．2a＜b＜3a 学科网（北京）股份有限公司 $