第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用讲义- 2027届高三数学一轮复习

第09讲　函数的对称性和周期性的综合应用 【知识梳理】 一、函数图象的对称轴与对称中心 1．轴对称：（对定义域内一切 成立） 的图象关于直线 对称 。特别地， 即关于 轴对称（偶函数）。 2．中心对称： 的图象关于点 对称。特别地， 即关于原点对称（奇函数）。 3．两条常用转化： 图象关于直线 对称； 图象关于点 对称。 4. 中心对称的判定与三个常用模型 判定（或求）对称中心的通法只有一步：计算 ，看它是否为常数。若恒等于常数 ，则中心就是 ；若不是常数，则不存在中心对称。解题时可先由解析式的结构猜出横坐标 a（如分母的零点、分子的对称位置），再代入验证。 模型一（奇函数 + 常数）：若 是奇函数，则 的图像关于点 中心对称（因为 ）。如 的中心是 ； 的中心是 。记一句话：奇函数图像上下平移，对称中心跟着移动同样的高度。 模型二（分式型）： 的图像是双曲线，关于点 中心对称——它就是 向右平移 a、向上平移 b 的结果，中心 随之移到 。如 的中心是 。判断时先把函数"分离常数"成 的形式，平移量一目了然。 模型三（指数分式型）：（a>0 且 a≠1）的对称中心是 ，因为 更一般地， 的中心是 。这类"两项相加出常数"的结构，是求中心的最快通道。 二、两个函数图象之间的对称关系 1． 与 关于 轴对称； 与 关于 轴对称； 与 关于原点对称。 2． 与 关于直线 对称； 与 关于直线 对称。 3． 与 关于直线 对称（两图象的对称）； 与其反函数 关于直线 对称。 4．图象平移： 的图象由 向左平移 个单位（）得到； 向上平移 个单位。平移与对称常结合使用。 三、函数的周期性 1．定义：若对定义域内任意 ，都有 （），则 是周期函数， 为周期；最小正周期若存在则唯一。 2．由对称关系推周期（核心四条，设 ）： 3．由“双对称”推周期（设 ）：两条对称轴 、 周期 ；两个对称中心 、 周期 ；一条对称轴 与一个对称中心 周期 。 4．对称性与奇偶性的联动：若 关于直线 对称且为奇函数，则 是周期函数，周期 ；若 关于点 对称且为偶函数，同理周期 。 四、易错提醒 1． 给出的是周期 ，而 给出的是对称轴 ，两式形式相近、含义完全不同，是本讲最大的易错点。 2．周期函数不一定有最小正周期（如常数函数、狄利克雷函数）。 3．利用周期性化简自变量时，要注意函数值必须有定义（分段函数尤其要检查所在段）。 图 1　对称轴 、对称中心与周期 的关系示意 【题型归纳与方法点拨】 题型一　函数的对称性及应用 【方法点拨】把条件式化为“”或“”的标准形式，直接读出对称轴或对称中心；求函数值时把自变量通过对称性“折”到已知区间。 【例1】（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，及函数的对称性逐一判断即可． 【详解】由， 对于①，由，则分母对全体实数都成立，所以的定义域为，故①正确； 对于②，由，则，则，所以的值域为，故②正确； 对于③，由是增函数，则是减函数，所以是增函数，故③错误； 对于④，由，则，所以的图象关于点对称，故④正确． 综上描述正确的个数是3． 【例2】（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 【变式训练1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【变式训练2】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】通过对称性的概念可判断BC.通过特殊点判断AD. 【详解】令，， 对于A，，，显然，A错误， 对于B，，B错误， 对于C，，即两函数图象关于原点对称，C正确， 对于D，，当时，得点， 点关于直线对称点为， 当时，，故D错误. 【变式训练3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】AD 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，结合函数单调性可判断D；求出和的值进行比较可判断C；利用周期性可判断B. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称，错误； 对于B，因为，， 所以，错误. 对于D，因为， 因为6是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，正确； 故选：AD 【题型强化练1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】对指数函数化简变形，利用函数对称的代数判定规则直接求解对称轴. 【详解】将函数进行指数变形，得， 设，代入，可得， 因此，第二个函数即为. 由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称， 此处，即，可得两函数图象关于直线对称. 【题型强化练2】（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】根据函数的对称性得到，并得到，，得到答案 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②，由①－②可得， 用替换可得， 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 【题型强化练3】（2026·四川宜宾·一模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】判断出函数与的对称中心，根据两函数图象交点的对称性计算即可. 【详解】由可得，，所以函数关于点对称. 函数的定义域为. 因为， 所以函数关于点对称. 因此函数与函数的图象的交点也关于点对称. 若是两函数图象的交点，则一定是两函数图象的交点， 那么，. 所以. 【题型强化练4】（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断出两函数的图象都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数的定义域为上单调递增，作出两函数的图象，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图象关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图象关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 【题型强化练5】（2026·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为4 C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇函数推中心对称、偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，推出函数递推关系 和周期T=4；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证所有选项，最终确定正确答案. 【详解】 是奇函数 ，函数关于点 中心对称， 是偶函数 ，令 ，得，函数关于直线 轴对称，得， 对于A，由 ，令 ，得，所以，故A 错误； 对于B， ，把 换成 ，得，因 ， 则有，再把 换成 ，得， 两式相减，可得，即的一个周期为 4，故B正确； 对于C，由上分析已得，故 C正确； 对于D，已知 ，周期为 4，， 由，得，又因， ， 得，由 的周期为4，得， 则函数在一个周期内的和是， 因为，所以，故D 错误. 题型二　函数的周期性的应用 【方法点拨】先把条件式化为四大标准周期关系之一，求出周期 ，再用 把大自变量化到小范围内计算；注意验证 是否在定义域内。 【例1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 【例2】（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【变式训练1】（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】B 【分析】先根据函数性质得到，再通过对已知等式进行赋值和变形，推导出函数的递推关系，进而求出的值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 由， 用代替可得， 因为是奇函数，， 则， 用代替可得， 所以， 函数满足， 则， ，令得， 所以. 【变式训练2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【答案】D 【分析】利用定义计算可得 A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D. 【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立， 则，整理得， 则有且恒成立，由，则由可得， 此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误； 对B：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数， 但，不满足在上严格递增，故B错误； 对C：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则， 当时，， 即对任意整数，都有， 当时， ， 故当时，， 故满足在处取得最小值，但，故C错误； 对D：由题意可得， ， 因为为非常值函数，所以存在使得， 由恒成立，可得和对任意正整数成立， 若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立， 故必有，即或， 若，则，则为周期函数，且周期为； 若，则， 故， 则为周期函数，且周期为； 综上可得为周期函数，故D正确. 【变式训练3】（2025·山东·一模）（多选）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【分析】令得，由即可判断A；令，得，再求得，根据奇偶性定义判断B；由递推式得，进而有，应用错位相减法求判断D；由，假设为的最小正周期，而不能恒成立判断B. 【详解】令，则，而， 所以，A对； 令，则，令，则， 令，则，故，故是奇函数，C对； 由 ， 由，则，故， 所以， 所以， 所以，D错. 假设为的最小正周期， 由，则，故， 显然，对于，，，不能恒成立， 即不能恒成立，与前提矛盾，B错. 故选：AC 【题型强化练1】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为，且，，则（） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件变换先计算周期，算出一个周期内的值，然后根据周期性求结果即可. 【详解】因为，由， 令，则， 即①， 所以②， ①②相加得：， 所以， 所以函数的一个周期为6， 令，则， 令，则， 又， 所以， ， 所以 所以由周期性得： ， 故选：D. 【题型强化练2】（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 【题型强化练3】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则 ； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以 ， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以 ，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 【题型强化练4】（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 【题型强化练5】（2026·陕西西安·一模）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 【答案】CD 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 题型三　对称性与奇偶性、周期性的综合应用 【方法点拨】“一条对称轴 + 一个对称中心 周期 ”是综合题的枢纽；先把所有条件翻译成“对称轴/对称中心/周期”三类信息，再串联求值。 【例1】（2026·福建漳州·模拟预测）若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查周期与奇偶性，先利用求出函数的周期，再利用是偶函数即可求解. 【详解】由于，故， 所以，函数的周期为， ， 因为是偶函数，所以，故 即，所以. 【例2】（2025·江苏泰州·模拟预测）（多选）是定义域为的偶函数，且函数为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调增区间为 B．函数有个零点 C． D． 【答案】BC 【分析】推导出函数的对称性和周期性，数形结合可判断AB选项；利用对数的运算性质以及函数的周期性、对称性可判断CD选项. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且函数为奇函数， 则，即，可得， 函数的图象关于点对称，所以， 又因为函数是定义域为的偶函数，所以，即①， 用替代①中的可得， 所以，故函数是周期为的周期函数， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上的单调递增区间为， 又因为函数是周期为的周期函数，故函数的单调递增区间为，A错； 由可得， 由图可知，函数的图象与函数的图象有个交点， 故函数有个零点，B对； 因为，故，则， 所以，且，即， 所以， 所以 ，C对； 因为函数的图象关于点对称，所以， ， ， ，， 所以 ， 因为，故，D错. 【变式训练1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 【变式训练2】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 【变式训练3】（2026·江苏南通·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项运用偶函数的性质，再进行变式；对于B选项先利用中心对称求出再代入解析式中求出k；对于C选项联立轴对称和中心对称从而推导出周期；对于D选项先计算出一个周期的函数值，再看求和取了几个周期. 【详解】对于A，由题可得，即，令， 则，故，因此，则A选项正确； 对于B，由题可得，则， 令，则，，因为，所以， 解得，故B选项错误. 对于C，已知，，则， 令，则，即， ，所以，故C选项正确； 对于D，已知时，，则， 因为，令，解得，又因， 所以函数的周期，， 所以， 故，因此D选项正确. 【题型强化练1】（2026·山东聊城·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两个函数关系式消去，推导得出的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出，再代入关系式求出，最终计算目标值. 【详解】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 【题型强化练2】（2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 【题型强化练3】（2026·河北衡水·二模）若偶函数满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解. 【详解】因为，用代替得， 即，又因为函数为偶函数，则， 则，所以的一个周期为2， 因为，且， 当时，，则. 【题型强化练4】（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 【题型强化练5】（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（    ） A．是周期函数 B．直线是图象的一条对称轴 C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据函数递推关系推导周期，结合偶函数性质分析对称轴，再利用函数性质求解特殊点函数值，最后计算求和判断选项. 【详解】选项A：由，将替换为得 ，故是周期为4的周期函数，A正确； 选项B：因为是偶函数，故 ，又周期为4，所以， 即，故直线是的对称轴，B正确； 选项C：由偶函数得 ，又，且，故， 解得，故 ，C错误； 选项D：计算得，周期为4， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲　函数的对称性和周期性的综合应用 【知识梳理】 一、函数图象的对称轴与对称中心 1．轴对称：（对定义域内一切 成立） 的图象关于直线 对称 。特别地， 即关于 轴对称（偶函数）。 2．中心对称： 的图象关于点 对称。特别地， 即关于原点对称（奇函数）。 3．两条常用转化： 图象关于直线 对称； 图象关于点 对称。 4. 中心对称的判定与三个常用模型 判定（或求）对称中心的通法只有一步：计算 ，看它是否为常数。若恒等于常数 ，则中心就是 ；若不是常数，则不存在中心对称。解题时可先由解析式的结构猜出横坐标 a（如分母的零点、分子的对称位置），再代入验证。 模型一（奇函数 + 常数）：若 是奇函数，则 的图像关于点 中心对称（因为 ）。如 的中心是 ； 的中心是 。记一句话：奇函数图像上下平移，对称中心跟着移动同样的高度。 模型二（分式型）： 的图像是双曲线，关于点 中心对称——它就是 向右平移 a、向上平移 b 的结果，中心 随之移到 。如 的中心是 。判断时先把函数"分离常数"成 的形式，平移量一目了然。 模型三（指数分式型）：（a>0 且 a≠1）的对称中心是 ，因为 更一般地， 的中心是 。这类"两项相加出常数"的结构，是求中心的最快通道。 二、两个函数图象之间的对称关系 1． 与 关于 轴对称； 与 关于 轴对称； 与 关于原点对称。 2． 与 关于直线 对称； 与 关于直线 对称。 3． 与 关于直线 对称（两图象的对称）； 与其反函数 关于直线 对称。 4．图象平移： 的图象由 向左平移 个单位（）得到； 向上平移 个单位。平移与对称常结合使用。 三、函数的周期性 1．定义：若对定义域内任意 ，都有 （），则 是周期函数， 为周期；最小正周期若存在则唯一。 2．由对称关系推周期（核心四条，设 ）： 3．由“双对称”推周期（设 ）：两条对称轴 、 周期 ；两个对称中心 、 周期 ；一条对称轴 与一个对称中心 周期 。 4．对称性与奇偶性的联动：若 关于直线 对称且为奇函数，则 是周期函数，周期 ；若 关于点 对称且为偶函数，同理周期 。 四、易错提醒 1． 给出的是周期 ，而 给出的是对称轴 ，两式形式相近、含义完全不同，是本讲最大的易错点。 2．周期函数不一定有最小正周期（如常数函数、狄利克雷函数）。 3．利用周期性化简自变量时，要注意函数值必须有定义（分段函数尤其要检查所在段）。 图 1　对称轴 、对称中心与周期 的关系示意 【题型归纳与方法点拨】 题型一　函数的对称性及应用 【方法点拨】把条件式化为“”或“”的标准形式，直接读出对称轴或对称中心；求函数值时把自变量通过对称性“折”到已知区间。 【例1】（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数，有如下描述：①的定义域为；②的值域为；③是减函数；④的图象关于点对称．其中描述正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【变式训练1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式训练3】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 【题型强化练1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【题型强化练2】（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【题型强化练3】（2026·四川宜宾·一模）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【题型强化练4】（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图象的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型强化练5】（2026·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为4 C． D． 题型二　函数的周期性的应用 【方法点拨】先把条件式化为四大标准周期关系之一，求出周期 ，再用 把大自变量化到小范围内计算；注意验证 是否在定义域内。 【例1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例2】（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【变式训练1】（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【变式训练2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【变式训练3】（2025·山东·一模）（多选）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（    ） A． B．为周期函数 C．是奇函数 D．若，则 【题型强化练1】（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为，且，，则（） A．1 B．0 C． D． 【题型强化练2】（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【题型强化练3】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【题型强化练5】（2026·陕西西安·一模）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 题型三　对称性与奇偶性、周期性的综合应用 【方法点拨】“一条对称轴 + 一个对称中心 周期 ”是综合题的枢纽；先把所有条件翻译成“对称轴/对称中心/周期”三类信息，再串联求值。 【例1】（2026·福建漳州·模拟预测）若函数对任意都有，是偶函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏泰州·模拟预测）（多选）是定义域为的偶函数，且函数为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调增区间为 B．函数有个零点 C． D． 【变式训练1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【变式训练2】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·江苏南通·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练1】（2026·山东聊城·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型强化练2】（2026·山东聊城·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【题型强化练3】（2026·河北衡水·二模）若偶函数满足，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【题型强化练4】（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【题型强化练5】（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（    ） A．是周期函数 B．直线是图象的一条对称轴 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $