第03讲 等式与不等式的性质（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义围绕等式与不等式性质专题，覆盖两个实数大小比较、不等式性质等核心考点，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训的逻辑架构展开，通过考点梳理构建知识网络，方法归纳提炼解题技巧，真题实战强化应用能力，帮助学生系统突破乘除变号等易错点。 讲义特色在于分层设计与素养导向，如“作差法比较大小”结合加油情境培养数学眼光，“同向相加求范围”通过易错警示发展数学思维，设置基础演练、能力进阶、真题实战三级练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第03讲 等式与不等式的性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 两个实数大小的比较 知识2 不等式的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 用不等式（组）表示不等关系 考点02 作差法比较两数（式）的大小 考点03 利用不等式的性质判断命题真假 方法技巧 不等式正误判断两种方法 考点04 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点05 利用不等式的性质求取值范围 方法技巧 同向相加求范围易错警示 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 不等式比较大小 全国Ⅰ卷T8 考情解读 不等式与不等式性质为高考基础考点，一般不单独命题，常融合集合运算、函数单调性出题，多选择填空。重点考查不等式五条核心性质，侧重乘除负数变号等易错点；题型基础居多，也会在导数、数列大题中用作放缩工具，侧重灵活变形应用。 备考策略 1．立足课本熟记不等式八条基本性质，区分易错变形条件，规避乘负变号、开方失误。 2．熟练借助性质比较代数式大小、简单不等式证明，常态化变式刷题巩固。 3．结合实际应用题，提炼不等关系列式，融合函数综合训练，提升建模与综合运用能力。 知识・归纳梳理 知识1 两个实数大小的比较 作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 知识2 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难・核心突破 考点01 用不等式（组）表示不等关系 典例1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 典例2．从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 【考法预测1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【考法预测2】某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【详解】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 【考法预测3】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 考点02 作差法比较两数（式）的大小 典例1．甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 典例2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【考法预测1】若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 【考法预测2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 【考法预测3】已知，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 因为，所以， 若，则，即， 若，则，即， 所以“”是“”的充要条件. 考点03 利用不等式的性质判断命题真假 典例1．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 典例2．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 方法技巧 不等式正误判断两种方法 （1）直接法：依托不等式基本性质推导论证，命题成立则严谨证明，命题错误只需列举一处反例即可推翻结论。 （2）特殊值法：选取特殊值验证，取值遵循三点：符合题干限定条件、数值简便易算、选取数值具备代表性，快速甄别命题对错。 【考法预测1】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 【考法预测2】（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 【考法预测3】（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 考点04 利用不等式的性质证明简单的不等式 典例1．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 典例2．已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 【考法预测1】（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. 【考法预测2】设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【考法预测3】（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 考点05 利用不等式的性质求取值范围 典例1．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 典例2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 方法技巧 同向相加求范围易错警示 利用同向不等式相加求范围易出错：多次连用不等式性质时，各次取等条件不一致，会累积误差，致使所求范围偏大。 规避方法：一是逐项核查每次变形中等号成立的条件；二解题优先选用等量关系式约束变量，减少不等式叠加。 【考法预测1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 【考法预测2】（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 【考法预测3】设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】结合定义及可得或即或， 所以； 结合定义及，可得或即或， 所以； 综上，且. 故选：A. 拔高・分层集训 基础演练 1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 2．（2025·26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 3．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，时，ABD显然错误； 由可得，由不等式性质可得，，故C正确. 4．（2026·上海·三模）“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 5．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 6．若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 7．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 9．已知，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 若，则，又，则，因此，故， 若，则，由于，则，故，则， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 10．（2026·安徽芜湖·二模）（多选）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 11．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，又因为， ，即． 12．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 13．已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 14．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 能力进阶 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误； 对于B，当时，，，此时，故B错误； 对于C，， 因为，所以，即，又因为，所以， 因此，即，故C正确； 对于D，余弦函数在上单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，故D错误. 2．（新情境）若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，，则，A不是； 对于B，令，， 则，B不是； 对于C，令，， 则，C不是； 对于D，令，， 则，D是. 3．（新载体）设直角三角形的两直角边长为，斜边长为．记该三角形绕边长为的边旋转所得的几何体体积为，则满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，易得， 直角三角形斜边上的高为，绕斜边旋转后得到两个同底圆锥的组合，底面半径为，高之和为， 则， 对于A，，因，则，故A错误； 对于B， ，故，即B错误； 对于C，，即，故C错误； 对于D，，故正确. 4．（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 5．（2026·安徽滁州·三模）（新角度）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 6．（新考法）已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 【答案】C 【详解】对于选项A：若取，则， 三个数都为正数，不是“两正一负或两负一正”，A错误； 对于选项B：同选项A的举例，不存在0，B错误； 对于选项C：因为 ， 因为平方非负，且，因此， 若全不为正数，则，与矛盾，因此三个数中至少有一个正数，C正确； 对于选项D：时三个数均为正数，没有负数，D错误； 7．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 8．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由； (3)请从（2）中抽象出一个不等式，写出这个不等式，并利用这个不等式比较下列三个值的大小：. 【答案】(1)20 (2)变好了，理由见解析 (3) 【详解】（1）设窗户面积为，则地板面积为，则由题意可知：， 解之得，即窗户面积至少20平方米； （2）设窗户面积和地板面积分别为平方米，同时增加平方米， 则原窗户面积与地板面积的比与新的面积比分别为， 作差得，即，采光效果变好了； （3）由上可知： 易知， 则； 同理，即， 所以，则. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 3．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 4．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 【答案】/ 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式的性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 两个实数大小的比较 知识2 不等式的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 用不等式（组）表示不等关系 考点02 作差法比较两数（式）的大小 考点03 利用不等式的性质判断命题真假 方法技巧 不等式正误判断两种方法 考点04 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点05 利用不等式的性质求取值范围 方法技巧 同向相加求范围易错警示 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 不等式比较大小 全国Ⅰ卷T8 考情解读 不等式与不等式性质为高考基础考点，一般不单独命题，常融合集合运算、函数单调性出题，多选择填空。重点考查不等式五条核心性质，侧重乘除负数变号等易错点；题型基础居多，也会在导数、数列大题中用作放缩工具，侧重灵活变形应用。 备考策略 1．立足课本熟记不等式八条基本性质，区分易错变形条件，规避乘负变号、开方失误。 2．熟练借助性质比较代数式大小、简单不等式证明，常态化变式刷题巩固。 3．结合实际应用题，提炼不等关系列式，融合函数综合训练，提升建模与综合运用能力。 知识・归纳梳理 知识1 两个实数大小的比较 作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 知识2 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难・核心突破 考点01 用不等式（组）表示不等关系 典例1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 典例2．从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【考法预测1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【考法预测3】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 考点02 作差法比较两数（式）的大小 典例1．甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 典例2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测1】若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【考法预测2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【考法预测3】已知，，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点03 利用不等式的性质判断命题真假 典例1．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 方法技巧 不等式正误判断两种方法 （1）直接法：依托不等式基本性质推导论证，命题成立则严谨证明，命题错误只需列举一处反例即可推翻结论。 （2）特殊值法：选取特殊值验证，取值遵循三点：符合题干限定条件、数值简便易算、选取数值具备代表性，快速甄别命题对错。 【考法预测1】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【考法预测2】（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 考点04 利用不等式的性质证明简单的不等式 典例1．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 典例2．已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【考法预测1】（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【考法预测2】设，，，证明：． 【考法预测3】（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 考点05 利用不等式的性质求取值范围 典例1．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 同向相加求范围易错警示 利用同向不等式相加求范围易出错：多次连用不等式性质时，各次取等条件不一致，会累积误差，致使所求范围偏大。 规避方法：一是逐项核查每次变形中等号成立的条件；二解题优先选用等量关系式约束变量，减少不等式叠加。 【考法预测1】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】设，定义运算“”和“”如下：若，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 拔高・分层集训 基础演练 1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三下·北京·阶段检测）已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·三模）“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 5．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 6．若，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．随的值变化而变化 7．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．已知，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·安徽芜湖·二模）（多选）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，，则的取值范围是________． 12．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 13．已知，，，判断M，N的关系? 14．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 能力进阶 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（新情境）若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（新载体）设直角三角形的两直角边长为，斜边长为．记该三角形绕边长为的边旋转所得的几何体体积为，则满足的关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（2026·安徽滁州·三模）（新角度）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（新考法）已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 7．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 8．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由； (3)请从（2）中抽象出一个不等式，写出这个不等式，并利用这个不等式比较下列三个值的大小：. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $