第03讲 等式与不等式的性质讲义-2027届高三数学一轮复习（天津）

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式的性质核心考点，涵盖符号法则、比较大小、不等式性质等天津高考必考内容，按“知识点梳理-题型突破-方法总结”逻辑架构知识体系。通过考点解析、作差法等方法指导、天津模拟真题训练等环节，帮助学生系统掌握性质应用，突破比较大小等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义特色在于分层设计例题与变式训练，如通过作差法比较大小例题及多维度变式，培养学生数学思维与推理能力。结合天津高考命题规律，强调符号语言规范与性质条件分析，助力学生在有限时间内提升逻辑判断与证明能力，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考效率提供实用指导。

一轮复习精准覆盖 上好一堂课 第03讲 等式与不等式的性质 本节内容是天津高考卷的必考内容，需要理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小。一般考查不等式的性质，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分。不等式法则会渗透到函数填空压轴题或大题证明类的问题中。 知识点1 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号 符号语言：；a<0,b<0 ②两个同号实数相乘，积的符号 符号语言：；a<0,b<0 ③两个异号实数相乘，积的符号 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 题型1 利用不等式法则判断命题真假 例1-1.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-1】（2025·天津·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a,b ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 题型2 作差法比较两数(式)的大小 例2-1.设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与有关 【变式训练2-1】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例2-2. 证明 【变式训练2-2】证明: 知识点2 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1)对称性： (2)传递性： (3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b， 运算性质有： (1)可加法则： (2)可乘法则： (3)可乘方性： 题型3 利用不等式的性质比较大小（有范围） 例3-1（2025天津静海·联考）设为实数，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】已知，则一定有（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2022天津·联考）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变载体】实数满足：，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型4 利用不等式的性质比较大小（全体实数） 例4-1下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【变式训练4-1】（2025天津河东·调研）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练4-2】对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4-3设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若则 【变式训练4-3】如果，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【变式训练4-4】（2025天津·模拟预测）已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 方法技巧 对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础. (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系. (3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用. 答案解析部分 知识点1 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立. 例1-1.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练1-1·】（2025·天津·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 例2-1.设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【分析】直接作差配凑即可判断大小关系. 【详解】，则. 故选：A. 【变式训练2-1】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方数的非负性判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】因为，即， 所以，当且仅当时取等号，故B错误，C正确； 又，即，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 当，时，，故D错误； 故选：C 知识点2 不等式性质 题型3 利用不等式的性质比较大小（有范围） 例3. 【答案】C 【变式训练3-1·】已知，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，再利用作差法即可得解. 【详解】因为，则 对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确. 对于D，取，则，故D错误； 故选：C. 【变式训练3-2】（2022天津·联考）如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可判断AC；利用作差法即可判断BD. 【详解】因为，所以，，故AC错误； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以，故B错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 【变式训练3-3】实数满足：，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误. 【详解】对A：因为，，所以，故A成立； 对B：因为，，所以，故B成立； 对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立； 对D：因为，，所以，故D成立. 故选：C 题型4 利用不等式的性质比大小（全体实数） 例4-1下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据反例可判断ACD的正误，根据不等式的性质可判断B的正误， 【详解】对于A，取成立，当，故A错误； 对于B，因为，故成立，故B正确； 对于C，取成立，时，，故C错误； 此时，，故D错误， 故选：B. 【变式训练4-1·】（2025天津河东·调研）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的性质可判断B；取特值可判断A，C，D. 【详解】A选项，当，时，，但是，故A错误； B选项，当时，所以，故B正确； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，当，，，时，，则，故D错误. 故选：B. 【变式训练4-2】对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质确定C正确，举反例得到ABD错误，得到答案. 【详解】对选项A：取，，满足，，错误； 对选项B：当时，，错误； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：取，，满足， 此时，，，错误； 故选：C. 【例4-3·】设，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质判断C；利用赋值法判断ABD； 【详解】令，所以，故A错； 令，所以，故B错； 若，则，所以，故C对； 令，则，故D错； 故选：C 【变式训练4-4】（2025天津·模拟预测）已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断；对于D，举反例判断． 【详解】对于A，利用不等式的对称性易知，若，则，故A正确： 对于B，，说明，则，故B正确： 对于C，利用不等式的可加性易知，若，，则，故C正确： 对于D，取，，，，满足条件，但，故D错误． 故选：D． 方法技巧 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $