第17讲 三角恒等变换（11个核心题型归纳）讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换高考核心考点，涵盖两角和差、二倍角、辅助角等公式及变式，按“公式梳理-题型归纳-综合应用”逻辑架构知识点。通过教材知识梳理、方法技巧指导、真题例题精讲及分层巩固练习，帮助学生系统构建知识网络，突破公式应用难点。 资料突出题型分类与方法迁移，如“角的拼凑”题型引导学生建立已知角与目标角的代数关系，培养数学思维中的推理能力；辅助角公式应用强调符号表达与模型构建，提升数学语言的精准性。设置基础到综合的分层训练，配合即时反馈，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第17讲 三角恒等变换 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材知识梳理】 1．两角和与差的三角公式 （1）基本公式 ①____________________________ ②___________________________ ③． （2）公式变形 ①，(辅助角公式)其中，． 或，其中 ②． ③． ④． ⑤． 2．二倍角公式 （1）基本公式 ①______ ． ②__________________ ③ ． （2）公式变形 ①降幂公式： ； ； ． 升幂公式：． ②半角公式：；；． 3．和差化积公式： （1）． （2）． （3）． （4）_________________________． 4．积化和差公式： （1）． （2）． （3）． （4）____________． 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 两角和差公式的直接应用 核心知识 方法技巧 1.看清角度符号区分公式内部加减号正弦同名同号余弦异名异号 2.已知两个角三角函数值直接代入公式计算和或差的三角函数 3.特殊角（）直接代入对应三角函数值 4.计算时优先判断角范围确定最终三角函数正负 【经典例题1】（25-26高二下·福建福州·期末）已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为第二象限角，，则__________. 【巩固练习2】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______． 【题型2】 两角和差公式的逆用 核心知识 对和差公式反向变形 方法技巧 1.观察式子结构匹配和差公式右侧形式逆向合并为单一三角函数 2.正切逆用经常用于化简分式结构注意存在的条件 3.出现常数可转化为特殊角三角函数参与逆用合并 4.化简求值优先逆用公式减少项数 【经典例题1】（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【巩固练习2】（2026·湖南长沙·模拟预测）___________． 【巩固练习3】（2025·浙江金华·二模）已知，则________. 【题型3】 两角和差公式中角的拼凑 核心知识 常用角度拼凑关系 方法技巧 1.目标角拆分为已知角的和或差优先寻找最简单的拼凑形式 2.先确定目标角与条件角之间的代数关系再套用和差公式 3.拼凑完成后留意角的范围用于判断三角函数符号 4.多个角度条件时统一使用拼凑后的角进行转化 【经典例题1】（2026·湖南怀化·三模）已知，，则__________． 【经典例题2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 【巩固练习1】（25-26高三上·湖北·期中）已知，为锐角，，，则_____. 【巩固练习2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知满足，则的值为_____． 【巩固练习3】（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型4】 给值求值型 核心知识 综合运用两角和差公式角的拼凑同角三角函数关系 已知部分角三角函数值求解另外角度的三角函数 方法技巧 1.第一步先拼凑目标角与已知角的关系式 2.利用同角平方关系求出所需中间三角函数值 3.根据角所在象限确定三角函数正负号 4.优先化简再代入数值减少重复计算 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河南郑州·二模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·陕西榆林·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】 给值求角型 核心知识 已知三角函数等式或三角函数值求解角的大小 依托和差公式算出目标角三角函数值结合角范围锁定角度 方法技巧 1.先求出目标角的某一个三角函数值（优先选择在区间单调的函数） 2.精准锁定目标角的取值范围缩小范围避免多解 3.优先选择余弦或正切判断角度余弦在单调不易出现增根 4.算出函数值后对照特殊角写出最终结果 【经典例题1】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【巩固练习2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6】 二倍角公式的直接应用 核心知识 方法技巧 1.根据题干条件灵活选用余弦二倍角三种形式 2.看到优先逆向写成 3.注意二倍角的相对性如 4.开方运算必须结合角范围判断符号 【经典例题1】（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·山东济南·模拟预测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·四川自贡·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】 万能公式 核心知识 令 适用条件 方法技巧 1.已知可将统一化为关于的有理分式 2.三角分式求值可转化为代数分式运算 3.选择万能公式前检验是否存在 4.多用于齐次式、分式型三角求值 【经典例题1】（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【经典例题2】（2026·陕西·三模）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·浙江金华·三模）已知，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 【巩固练习3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型8】 降幂公式的应用 核心知识 方法技巧 1.遇到正弦、余弦平方项优先使用降幂公式将次数降为一次 2.降幂同时角度翻倍是化简三角函数解析式的核心手段 3.化简必考降幂 4.降幂后一般继续结合辅助角公式整理 【经典例题1】（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高三下·广东茂名·阶段检测）已知函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型9】 辅助角公式的应用 核心知识 其中 也可写成 方法技巧 1.正弦余弦一次齐次式统一合并为单一三角函数 2.提取系数不能遗漏 3.求解函数最值、单调区间、周期、对称轴常用辅助角 4.书写时注意不强制求出具体值除非题目要求 【经典例题1】（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河南濮阳·一模） （    ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习3】（2026·四川遂宁·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型10】 和差化积/积化和差公式的应用 核心知识 积化和差 和差化积 方法技巧 1.乘积形式想要转化为和差结构选用积化和差 2.两个正弦或余弦相加相减想要合并乘积选用和差化积 3.高考大题不作强制记忆要求多用于复杂化简、三角不等式 4.注意公式前面正负号不要混淆 【经典例题1】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【巩固练习2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【题型11】 三角恒等变换的综合应用 核心知识 综合使用和差公式二倍角降幂辅助角角的拼凑同角公式 完成三角式化简、求值、求函数性质 方法技巧 1.通用化简顺序切化弦→降幂→角拼凑→和差合并→辅助角整理 2.先化简解析式再研究函数周期、最值、单调区间 3.求值类题目先确定角范围全程留意三角函数符号 4.多公式叠加时分步运算不要一次性多层变形避免符号出错 【经典例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·湖南怀化·二模）（多选）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 【巩固练习1】（2025·山东聊城·模拟预测）（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 【巩固练习3】（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 课后过关检测 一、单选题 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2023·四川成都·三模）已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 9．（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·福建福州·模拟预测）已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 17．（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 18．（2026·江苏·一模）求值：___________． 19．（2026·湖南永州·三模）已知，，则_________． 20．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则______，______. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第17讲 三角恒等变换 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 【教材知识梳理】 1．两角和与差的三角公式 （1）基本公式 ①____________________________ ②___________________________ ③． （2）公式变形 ①，(辅助角公式)其中，． 或，其中 ②． ③． ④． ⑤． 2．二倍角公式 （1）基本公式 ①______ ． ②__________________ ③ ． （2）公式变形 ①降幂公式： ； ； ． 升幂公式：． ②半角公式：；；． 3．和差化积公式： （1）． （2）． （3）． （4）_________________________． 4．积化和差公式： （1）． （2）． （3）． （4）____________． 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 两角和差公式的直接应用 核心知识 方法技巧 1.看清角度符号区分公式内部加减号正弦同名同号余弦异名异号 2.已知两个角三角函数值直接代入公式计算和或差的三角函数 3.特殊角（）直接代入对应三角函数值 4.计算时优先判断角范围确定最终三角函数正负 【经典例题1】（25-26高二下·福建福州·期末）已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，， ，，则，， 因此. 【经典例题2】（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， . 【巩固练习1】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为第二象限角，，则__________. 【答案】 【详解】因为为第二象限角，由可得， 所以，则. 【巩固练习2】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即， 由点在的终边上，可得， 根据三角函数的定义： ，， 所以 . 【巩固练习3】（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______． 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线． 由题意可知，，，． 故． 所以点的横坐标为． 故答案为： 【题型2】 两角和差公式的逆用 核心知识 对和差公式反向变形 方法技巧 1.观察式子结构匹配和差公式右侧形式逆向合并为单一三角函数 2.正切逆用经常用于化简分式结构注意存在的条件 3.出现常数可转化为特殊角三角函数参与逆用合并 4.化简求值优先逆用公式减少项数 【经典例题1】（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式. 【经典例题2】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】 . 故选：D. 【巩固练习1】（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据结合两角和差的正切公式运算求解. 【详解】因为， 整理可得. 【巩固练习2】（2026·湖南长沙·模拟预测）___________． 【答案】/ 【详解】， 又 ， 所以， 所以 ． 【巩固练习3】（2025·浙江金华·二模）已知，则________. 【答案】/ 【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 即，所以. 故答案为： 【题型3】 两角和差公式中角的拼凑 核心知识 常用角度拼凑关系 方法技巧 1.目标角拆分为已知角的和或差优先寻找最简单的拼凑形式 2.先确定目标角与条件角之间的代数关系再套用和差公式 3.拼凑完成后留意角的范围用于判断三角函数符号 4.多个角度条件时统一使用拼凑后的角进行转化 【经典例题1】（2026·湖南怀化·三模）已知，，则__________． 【答案】 【分析】由，可得，然后由，可得，据此可得，最后由两角和的余弦公式可得答案. 【详解】由，可得. 又， 从而， 则. 【经典例题2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 【答案】/ 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 【巩固练习1】（25-26高三上·湖北·期中）已知，为锐角，，，则_____. 【答案】 【分析】由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， ， 所以.. ， 故答案为： 【巩固练习2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知满足，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】根据切弦互化得，进而整理得，再根据展开整理得，最后利用展开求解即可. 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 【巩固练习3】（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系式求出，，再由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， 则 ， 所以，， . 【题型4】 给值求值型 核心知识 综合运用两角和差公式角的拼凑同角三角函数关系 已知部分角三角函数值求解另外角度的三角函数 方法技巧 1.第一步先拼凑目标角与已知角的关系式 2.利用同角平方关系求出所需中间三角函数值 3.根据角所在象限确定三角函数正负号 4.优先化简再代入数值减少重复计算 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 【经典例题2】（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 【巩固练习1】（2026·河南郑州·二模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切化弦可得，再由，求出和的值，即可求出. 【详解】解：由，则，即①， 因为，所以②， 联立①②解得，， 所以. 【巩固练习2】（2026·陕西榆林·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对式子进行平方，再相加化简得，进而可得，再回代化简可得，然后用和差公式求解即可． 【详解】因为，所以①； 又因为，所以②. ①+②得，所以. 又因为，所以，即. 把代入，得， 则，即. 把，得， 则，即. 所以. 【巩固练习3】（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件分别利用两角和差公式展开，两式相比弦化切得解. 【详解】由题意可得，. 两式相比得，即， 整理得. 【题型5】 给值求角型 核心知识 已知三角函数等式或三角函数值求解角的大小 依托和差公式算出目标角三角函数值结合角范围锁定角度 方法技巧 1.先求出目标角的某一个三角函数值（优先选择在区间单调的函数） 2.精准锁定目标角的取值范围缩小范围避免多解 3.优先选择余弦或正切判断角度余弦在单调不易出现增根 4.算出函数值后对照特殊角写出最终结果 【经典例题1】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以 ，选D. 【经典例题2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 【巩固练习1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为 所以 则. 故选：A. 【巩固练习2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即 ， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 【巩固练习3】（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 【题型6】 二倍角公式的直接应用 核心知识 方法技巧 1.根据题干条件灵活选用余弦二倍角三种形式 2.看到优先逆向写成 3.注意二倍角的相对性如 4.开方运算必须结合角范围判断符号 【经典例题1】（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用齐次式的处理方法求，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求和，最后利用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】因为，所以，整理得. 所以 ， . 所以 . 【经典例题2】（2026·山东济南·模拟预测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 【巩固练习1】（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正、余弦公式， 两角和的正切公式求解. 【详解】因为 ， 所以，. 【巩固练习2】（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值. 【详解】因为为锐角，则，，， ， 整理可得， 即，解得或， 因为，故. 【巩固练习3】（2026·四川自贡·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦的二倍角公式得：. 【题型7】 万能公式 核心知识 令 适用条件 方法技巧 1.已知可将统一化为关于的有理分式 2.三角分式求值可转化为代数分式运算 3.选择万能公式前检验是否存在 4.多用于齐次式、分式型三角求值 【经典例题1】（2023·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将用替换后，解方程解出即可. 【详解】因为， 可得， 可得， 解得，因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【经典例题2】（2026·陕西·三模）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得. 【详解】已知，且，因此是第四象限角，即， 得，该区间是第二象限，因此. 由同角三角函数基本关系​，代入， 所以， 结合是第四象限角，，得. 由半角公式，代入​得， 结合，，因此. 【巩固练习1】（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 【巩固练习2】（2026·浙江金华·三模）已知，则（   ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【详解】，所以， ， 当时，， 当时，， 所以或. 【巩固练习3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 【题型8】 降幂公式的应用 核心知识 方法技巧 1.遇到正弦、余弦平方项优先使用降幂公式将次数降为一次 2.降幂同时角度翻倍是化简三角函数解析式的核心手段 3.化简必考降幂 4.降幂后一般继续结合辅助角公式整理 【经典例题1】（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 【经典例题2】（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简题干中的两个等式，可得出、的关系，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，所以， 即，故. 故选：A. 【巩固练习1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式得到答案. 【详解】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B 【巩固练习2】（24-25高三下·广东茂名·阶段检测）已知函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式化简函数，再结合辅助角公式及正弦函数的有界性列出不等式求出最大值. 【详解】函数的定义域为R， 令，整理得， 则，即，当且仅当时取等号， 则，所以所求最大值为. 故选：B 【巩固练习3】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 【题型9】 辅助角公式的应用 核心知识 其中 也可写成 方法技巧 1.正弦余弦一次齐次式统一合并为单一三角函数 2.提取系数不能遗漏 3.求解函数最值、单调区间、周期、对称轴常用辅助角 4.书写时注意不强制求出具体值除非题目要求 【经典例题1】（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据辅助角公式，，其中，， 当，时，取得最小值，， 所以. 【经典例题2】（2026·福建泉州·三模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式可得，结合特殊角的三角函数值求得，代入即可求解. 【详解】由， 所以,则， 即，所以 【巩固练习1】（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由，得， 即，所以. 所以 . 【巩固练习2】（2026·河南濮阳·一模） （    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由诱导公式和辅助角公式化简即可得出答案. 【详解】 . 故选：C. 【巩固练习3】（2026·四川遂宁·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 【题型10】 和差化积/积化和差公式的应用 核心知识 积化和差 和差化积 方法技巧 1.乘积形式想要转化为和差结构选用积化和差 2.两个正弦或余弦相加相减想要合并乘积选用和差化积 3.高考大题不作强制记忆要求多用于复杂化简、三角不等式 4.注意公式前面正负号不要混淆 【经典例题1】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 【经典例题2】（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 【巩固练习1】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 【巩固练习2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 【巩固练习3】（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式求出，再根据结合两角和差的余弦公式化简即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 【题型11】 三角恒等变换的综合应用 核心知识 综合使用和差公式二倍角降幂辅助角角的拼凑同角公式 完成三角式化简、求值、求函数性质 方法技巧 1.通用化简顺序切化弦→降幂→角拼凑→和差合并→辅助角整理 2.先化简解析式再研究函数周期、最值、单调区间 3.求值类题目先确定角范围全程留意三角函数符号 4.多公式叠加时分步运算不要一次性多层变形避免符号出错 【经典例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A.，所以 ，A正确. B.，B错误. C.，C正确. D.. 因为， 所以原式，D错误. 【经典例题2】（2026·湖南怀化·二模）（多选）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正弦函数性质可得或，分类讨论，结合三角恒等变换运算求解即可. 【详解】因为， 则或， 即或． 若，则； 若，则， 可得，， 则， 若，解得； 若，解得． 【巩固练习1】（2025·山东聊城·模拟预测）（多选）在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 【巩固练习2】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】由 ， 选项A：因为， 所以直线是函数的图象的一条对称轴，故A正确； 选项B：将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 要使为奇函数，则，解得， 而，则的最小值为，故B正确； 选项C：令，则，解得， 当时，或， 所以函数在区间上只有2个零点，故C错误； 选项D：当时，令， 因为在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D正确． 【巩固练习3】（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 【答案】BCD 【分析】由两角和与差的三角函数公式、正余弦定理逐项分析计算即可. 【详解】选项A：由，得， 两式相加得，整理得， 即，解得或， 因为锐角中，，所以，，故A错误； 选项B：由选项A得，，则， 所以，即， 整理得，即，因为，所以， 所以， 则，故B项正确； 选项C：由锐角的面积为，得，得， 设的外接圆半径为，则， 又，， 则，解得， 所以，，， 所以，故C项正确； 选项D：由选项C得，的周长为，故D正确. 故选：BCD. 课后过关检测 一、单选题 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解. 【详解】. 故选：C 2．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解. 【详解】因为， 所以． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】得到角和角的终边相同，从而得到与有关的关系式，即可求出答案. 【详解】，， 故角和角的终边相同，故，， 则. 4．（2023·四川成都·三模）已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程，求出，，，再逐项验证即可得到答案. 【详解】由题意：，得：， 所以或，， 又，所以，，. 故A正确； ，故B错误； ，故C正确； .故D正确. 故选：B 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用和差化积公式化简，再利用二倍角的正切公式，建立方程，即可求解. 【详解】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以 ，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以. 故选：B 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 8．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解，再由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 9．（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，判断结果. 【详解】A、利用二倍角公式， 可得：，A错误.     B、利用余弦和角公式， 得：因此原式为：，B错误. C、利用正切和角公式，令， 则，C正确. D、利用递推积化和差公式，结合，得：. D错误. 故选：C. 10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及得到与同正或同负，进而判断出为第一象限角，即；根据两角和差的余弦公式得到；根据同角的三角函数关系得到，进一步分情况讨论求解即可. 【详解】因为，，所以. 又，，，所以与同正或同负. 当与同负时，为第二象限角，，与矛盾，舍去. 当与同正时，为第一象限角，满足条件，所以，则. 因为， ， 所以. 由，，得. 若，则（舍去，因为）. 若，则. 因为，所以. 11．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 12．（2026·福建福州·模拟预测）已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用同角三角函数关系得出，再应用两角差正弦公式计算得出，求出角应用特殊角求解． 【详解】因为角α为锐角，且，所以． 因为，，所以． 又，所以， 所以 ， 所以，，； 二、多选题 13．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意利用可判断A选项；由和判断的取值范围，进而易得，可判断B选项；先求，然后利用可判断C选项；由可判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以,故A错误； 对于B：，则又， 所以，所以，故B正确； 对于C：由，可得， ， 又，所以，故C错误； 对于D：根据C选项知， 所以,故D正确. 故选：BD． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的正切公式及二倍角公式即可判断C；利用商数关系化切为弦，再结合平方关系及二倍角公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 15．（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据可判断A；根据及即可判断B；根据两角和的正弦公式可判断C；代入可判断D. 【详解】， 解得，又，所以，故A正确； 联立及，解得， 所以，故B错误； 同理根据及，解得， 所以，故C正确； 因， 所以.故D错误. 三、填空题 16．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 17．（2026·北京大兴·三模）函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 / 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 18．（2026·江苏·一模）求值：___________． 【答案】 【详解】 . 19．（2026·湖南永州·三模）已知，，则_________． 【答案】/ 【详解】由题设，所以， 结合，可得，且，即， 所以 . 20．（2024·安徽阜阳·一模）已知，则______，______. 【答案】 【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到，再利用倍角公式化简转化即可得解. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得， 即，解得； 因为 ， ， 所以， 所以． 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $