精品解析：江苏省启东中学2026～2027学年第一学期第一次月考高一数学试题

江苏省启东中学2026~2027学年第一学期第一次月考 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题为特称量词命题， 其否定为：. 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为且. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，，取，则不成立； 选项B，，取，则不成立； 选项C，，，则， ，，则， 所以成立； 选项D，，取，，，则不成立. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断命题真假，再根据充分与必要条件的定义即可判断选项. 【详解】充分性：因为，所以.所以充分性成立 必要性：取，满足，但是不满足，故必要性不成立. “”是“”的充分不必要条件. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原不等式化为，得，即， 转化为不等式组，解得. 所以原不等式的解集为. 6. 设，，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值0 D. 最小值0 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式求得函数的最大值，再判断等号成立条件即可. 【详解】 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 7. 已知函数，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次函数配方确定对称轴与最值，再结合值域的上下界求出对应自变量的临界值，进而确定区间右端点的取值范围. 【详解】，这是开口向上的二次函数，对称轴为 ，顶点为 ，即函数最小值为 ， ，令 ，即，得 或 ， 因为 时值域为 ，所以要取到最小值 ，必须满足 ；要保证函数最大值不超过 ，必须满足 ， 因此，即的取值范围是 . 8. 使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡．两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设定参数，根据平衡条件计算两次称量的物品质量，计算总质量并利用基本不等式判断范围. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为，（不妨设）， 设第一次称得物品甲质量为，则，解得， 设第二次称得物品甲质量为，则，解得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不一定成立，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算即可求解. 【详解】由题可知： 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，， ，所以， 则，故D错误. 10. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由作差法判断AD，由基本不等式及不等式的性质判断B，举反例判断C． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，故B正确； 对于C，因为，取， 所以，，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，即，故D正确． 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得当时，，进而分析判断各选项即可. 【详解】由题意，当时，. 对于A，设，由，得，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，取，则，而， 故B错误； 对于C，由，得，则， 所以，故C正确； 对于D，由，得，则， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有____名同学没有参加过比赛 【答案】19 【解析】 【分析】由题意画出韦恩图，即可求解. 【详解】如图所示： ∵两项比赛都参加的有6名同学，有12名同学参加排球赛，有20名同学参加田径赛， ∴只参加排球赛的同学有6名，只参加田径赛的由14名同学，两项至少参加一项的有6+6+14=26名同学，由于45-26=19． 因此这个班共有19名同学两项比赛均没有参加. 故答案为：19 13. 已知函数，若，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分段函数，分类讨论即可求得. 【详解】当时，解得，舍去； 当时，解得或，因为，所以. 综上：. 14. 若不等式对任意都成立，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断参数 ，再根据两个一次、二次因式在 上的符号匹配规律，得出二者零点重合的约束条件，建立 的关系式，最后用基本不等式求解 的最小值. 【详解】设 ，， 若 ，当 时，，，则 ，不满足不等式对任意 恒成立，因此 ， 的零点为 ，由 可知：当 时，；当 时，， 要使 对任意 恒成立，需满足：当 时，；当 时，， 因此 是二次函数 的零点，即 ，且对称轴 ， 将 代入 ，得，即，整理得，代入对称轴条件 ，即 ，化简得 ，由 可知该式恒成立， 所以， 因为 由基本不等式得，当且仅当 ，即 时取等号， 综上， 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得到，再根据并集的运算即可求解； （2）由题意可知，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 当时，，解得，即， 由解得，所以， 所以． 【小问2详解】 因为若“”是“”成立的必要条件，所以， 显然不为空集，所以， 解不等式得，， 由（1）知，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 给定函数，，． （1）若，求实数的值； （2），用表示，中的最大者，记为． （ⅰ）用解析法表示函数； （ⅱ）写出一个使成立的的值．（不需写出求解过程）． 【答案】（1）0或1 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【小问1详解】 由得，，即 解得或，所以实数的值为0或1． 【小问2详解】 （i）因为， 当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上， （ii）（答案不唯一，范围内任意值均可） 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 【解析】 【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可； (2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可. 【小问1详解】 设， 由，得 又 ，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由已知，即， 即， ①当时，原不等式即为：，解得； ②当时，解得； ③当时，解得 综上，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 18. （1）已知，，证明：； （2）一般认为，居民住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则采光效果是变好了还是变坏了？为什么？ （3）已知，，是三角形的三边，比较与2的大小，并说明理由； 【答案】（1）证明：， 因为，，所以，， 所以，即． （2）采光效果变好了,原因见解析； （3），理由如下： 因为，，是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理，， 所以． 即. 【解析】 【详解】（1）略 （2）采光效果是变好了，理由如下： 设地板面积为，窗户面积为，窗户面积和地板面积同时增加， 由题意，，由（1）知， 即窗户面积与地板面积的比值变大，所以采光效果变好了． （3）略 19. 设集合是有限集，，，且，都有，则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若集合具有性质，证明：． 【答案】（1）集合具有性质． （2） （3）证明：因为集合具有性质，且， 所以，即， 同理，…，， 根据不等式的同号相加性，将上面5个不等式相加得， 所以． 【解析】 【分析】（1）对分别两两组合进行上述性质的运算看是否满足即可. （2）分别进行性质并通过求解不等式计算取值范围. （3）利用性质得到不等式，并通过累加证明不等式. 【小问1详解】 因为，，， 所以对任意，，当时，都有， 所以集合具有性质． 【小问2详解】 因为集合具有性质，所以， 解第一个不等式得， 第二个不等式可化为，即， 所以， 当时，成立， 所以实数的取值范围． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2026~2027学年第一学期第一次月考 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 6. 设，，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值0 D. 最小值0 7. 已知函数，，若的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡．两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有____名同学没有参加过比赛 13. 已知函数，若，则_______． 14. 若不等式对任意都成立，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围． 16. 给定函数，，． （1）若，求实数的值； （2），用表示，中的最大者，记为． （ⅰ）用解析法表示函数； （ⅱ）写出一个使成立的的值．（不需写出求解过程）． 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 18. （1）已知，，证明：； （2）一般认为，居民住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，则采光效果是变好了还是变坏了？为什么？ （3）已知，，是三角形的三边，比较与2的大小，并说明理由； 19. 设集合是有限集，，，且，都有，则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若集合具有性质，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $