精品解析：江苏省启东中学2025～2026学年高一上学期第二次月考数学试题

江苏省启东中学2025~2026学年度第一学期第二次月考 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. R B. C. D. 3. 已知，则下列一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 函数为定义在上的减函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，当时，，则（　　） A. B. C. D. 7. 函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2 10. 已知，则（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数，若关于的方程有3个实数解，则（　　） A. B. C. D. 关于的方程有3个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 13. 若为偶函数，则__________． 14. 已知，，，则的最小值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围： （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的最值和单调区间． 17. 若函数的定义域为R，且，. （1）求的值; （2）判断的奇偶性并证明； （3）若在上单调递减，求不等式的解集. 18. 手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. （1）求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； （2）求，的值. 19. 已知是非零常数，函数（无理数）． （1）当时，称为双曲正弦函数，记为；当时，称为双曲余弦函数，记为.证明：； （2）若为偶函数且在上单调递增， ①写出一组符合条件的的值，并说明理由； ②关于的不等式的解集，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025~2026学年度第一学期第二次月考 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，再根据并集的概念计算即可. 【详解】由，即. 所以. 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. R B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是. 故选：D. 3. 已知，则下列一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则；若，则；若，则.所以A错误； 对于B，若.则.所以B错误； 对于C，因为，所以不同时为零，所以， 又，所以，即，所以C正确； 对于D，若，则；若，则.所以D错误. 故选：C. 4. 函数为定义在上的减函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 5. 在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求解出，然后结合圆的垂径定理，借助三角函数即可完成求解. 【详解】 由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以 故选：C 6. 已知函数满足，当时，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用，得到函数的周期为，进而利用周期化简求 的函数值. 【详解】因为， 所以 所以函数的周期为，所以 故选：A. 7. 函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式、同角关系，将函数化为单一三角函数（如）的表达式，再将函数转为二次函数，明确的范围由的范围决定，根据开口、对称轴，确定其最值，求出值域边界对应的值；最后结合三角函数的取值/单调性，将的范围对应的范围，确定区间端点. 【详解】 令（）， 则， 其对称轴为，顶点处（）取得最大值， 令，解方程，得或（即最小值为4的对应值）， 要使取到最大值5，需包含在内，即，对应； 要使的最小值为4，需的范围包含或， 且不出现负数（否则），故（时为负）， 综上，的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】由求出，利用计算和，从而得到选项A和B的正误；求出和的值，取常用对数可以得到选项C和D的正误. 【详解】，，， ，故选项A正确； ，故选项B错误； ，，， ，故选项C正确； ，，， ，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式，结合已知条件，可求得的值，并确定其符号，从而确定的范围，判断A；求出的值，结合诱导公式判断B；由二倍角的余弦公式求得，判断C；根据，判断D. 【详解】由，得. 所以. 因为，所以. 所以，所以. 所以. 所以，，. 所以A，B，D正确，C错误. 故选：ABD. 11. 已知函数，若关于的方程有3个实数解，则（　　） A. B. C. D. 关于的方程有3个实数解 【答案】AC 【解析】 【分析】画出的图像，结合图像，得到，可判定A不正确；根据题意，求得，结合指数函数的性质，可判定B不正确；分别求得且，可判定C正确；求得，设，得到，结合对数函数的性质和一元二次方程的性质，可判定D错误. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 对于A，因为方程有3个实数解， 即函数与的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得，故A正确； 对于B，当时，，可得其对称轴为，所以， 当时，由，即，解得，即， 因为，可得，则， 所以，故B错误； 对于C，当时，由，可得，所以， 当时，由，即，即， 则，故C正确； 对于D，当时，由， 可得在上为单调递减函数，且，即， 设，则， 由方程，即，其中， 当时，可得，即，解得，方程有唯一解； 当时，可得，则，解得， 因为，当，此时不满足，舍去； 当，此时满足，所以此时有唯一的解， 综上可得，方程只有两个实数解，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 【答案】（答案不唯一．满足即可） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质选择符合题意的即可. 【详解】当时,幂函数在上单调递增， 又，满足题意. 故答案为：（答案不唯一．满足即可） 13. 若为偶函数，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先得到，利用得到方程，求出. 【详解】， 定义域为R， 由题意得， 即， 故，解得. 故答案为：1 14. 已知，，，则的最小值是____________. 【答案】4 【解析】 【分析】变形可得，则，展开化简，结合基本不等式，即可得答案 【详解】因为， 所以，则， 所以， 则， 因为，所以，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得或（舍）， 所以的最小值是4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围： （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法把集合具体化，再根据可得答案； （2） “” 是 “” 的必要条件，等价于 ，再根据集合间的关系列不等式可得答案. 【小问1详解】 由 ，解得 ，故集合 ， 其中 ，且  恒成立， 因此  总是非空区间，集合 ， 若 ，则 或，解得或， 因此，实数  的取值范围为 . 【小问2详解】 “” 是 “” 的必要条件，等价于 ， 即满足： ，解得 . 因此，实数  的取值范围为  16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的最值和单调区间． 【答案】（1） （2）的最小值为，最大值为的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦与余弦公式、辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数周期公式可求； （2）根据正弦函数的性质可求的最值和单调区间. 【小问1详解】 ，     故的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 令，即时，故在递增； 令，即时，故在递减. 综上，的最小值为，最大值为， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 若函数的定义域为R，且，. （1）求的值; （2）判断的奇偶性并证明； （3）若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】（1）； （2） 因为的定义域为，关于原点对称． 令，所以，所以． 综上，为上的偶函数． （3）. 【解析】 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，从而得到，结合其定义域即可得到其奇偶性； （3）转化为，再结合其奇偶性和单调性即可列出不等式，进而求解即可. 【小问1详解】 令，则， 因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以求即可． 由（2）得为上的偶函数，且在上单调递减， 所以，解得． 则不等式的解集为． 18. 手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为的模拟充电实验中，手机电量（单位：）与充电时间（单位：）近似满足：当时，；当时，；当时，.其中，，设为该旧电池开始充电的时刻，，.已知单调递增，当手机检测到电池已经充满电时，系统会自动断开充电连接，以避免电池损耗或其他安全问题. （1）求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间； （2）求，的值. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）由时的解析式，代入得开始充电时的电量；由时的解析式，令，解得充满电的时间； （2）由的解析式，代入，，联立解方程组即可求得，的值. 【小问1详解】 由题意，开始充电的时刻为，此时，将代入得.故该旧电池开始充电时的电量为. 充满电即电量达到，即， 由于，已知单调递增， 故充满电的时刻必大于60.此时，  令，得，，即. 又，符合定义域，故充满电的时间是. 【小问2详解】 易知， 即. ，化简得. 联立，解得，. 经检验，此时满足单调递增的要求，故，. 19. 已知是非零常数，函数（无理数）． （1）当时，称为双曲正弦函数，记为；当时，称为双曲余弦函数，记为.证明：； （2）若为偶函数且在上单调递增， ①写出一组符合条件的的值，并说明理由； ②关于的不等式的解集，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意，， 所以，得证； （2）①（答案不唯一），理由为： 因为为偶函数，所以，即， 所以，所以，即， 此时，任取且， 所以. 因为，所以， 所以，所以， 要使在上单调递增，则，可以取，（答案不唯一）； ② 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算求证即可； （2）①利用指数函数的单调性及函数单调性的定义求解即可； ②利用函数的单调性转化为，再由解集为的子集，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知，， 所以原不等式可化为. 又因为是单调递增的函数，且， 所以原不等式可化为. 由题意，即， 当时，上式恒成立，即不等式的解集为R，不符合题意； 当时，解得，即不等式的解集. 因为，所以，所以或， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $