精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期10月九年级数学阶段测试卷 满分：100分钟，限时：90分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有  （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 3. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b的值为（ ） A. －3 B. －1 C. 2 D. 5 6. 已知点、、在函数上．则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）一题多解法 A. B. C. D. 8. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 10. 若，是方程的两个实数根，则 ______________． 11. 若关于的函数是二次函数，则___________． 12. 二次函数在的范围内有最小值_______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程： （1） （2） 14. 已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 15. 某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． （1）求第二季度的销售量； （2）求第三、四季度的销售量的平均增长率． 16. 如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 17. 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 18. 已知二次函数. （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月九年级数学阶段测试卷 满分：100分钟，限时：90分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有  （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】首先明确一元二次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0．逐个分析题干中的方程：若方程符合上述全部判定标准，则属于一元二次方程．若方程存在分母含未知数、整理后最高次低于2、未明确二次项系数不为0的情况，则不属于一元二次方程．统计符合条件的方程数量，匹配对应选项． 【详解】要判断一元二次方程，需紧扣初中定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0，逐个分析： ①：符合所有要求，是一元二次方程． ②：没有说明，若则二次项消失，不一定是一元二次方程． ③：展开化简后得，未知数最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． ④：分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程． ⑤：符合所有要求，是一元二次方程． 综上，一共有2个一元二次方程． 2. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，等腰三角形定义，先解方程得到或，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三边长，最后计算周长，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴或， 若腰长为，底边为，则，不满足三角形三边关系，故不成立； 若腰长为，底边为，则 和 均成立，满足三角形三边关系； ∴三边长为，，， ∴周长为， 故选：． 3. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键在于明确增长次数与时间间隔的关系． 根据平均增长率的计算公式来列方程求解即可． 【详解】根据题意，全球相关信息量每五年平均增长率为， 从2015年到2025年共10年，其中有2个5年， ． 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】判断一元二次方程根的情况的核心方法是计算判别式Δ，确定该方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c．代入一元二次方程判别式公式计算判别式的值．依据判别式的取值与根的对应关系：如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根，对应判断根的情况． 【详解】本题方程  中对应系数：，，， 代入根的判别式计算：， ∵ ， ∴这个一元二次方程没有实数根． 5. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b的值为（ ） A. －3 B. －1 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∴a+b-1=1， ∴a+b=2， ∴1-a-b=1-（a+b）=1-2=-1． 故选B． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 6. 已知点、、在函数上．则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线开口向上，对称轴为x=-1．根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：由函数y＝2(x+1)2−可知， 该函数的抛物线开口向上，且对称轴为x=-1． ∵A（1，y1）、B（−，y2）、C（-2，y3）在函数y＝2(x+1)2−上的三个点， 且三点的横坐标距离对称轴的远近为： A（1，y1）、C（-2，y3）、B（−，y2）， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．也可求得A（1，y1）的对称点（-3，y1），使三点在对称轴的同一侧． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）一题多解法 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：分和两种情况，可排除D选项和A选项，当，时，可排除C选项，由此即可得到答案； 方法二：分别讨论每个选项中一次函数与二次函数的系数，得到和的正负，进行判断即可得到答案． 【详解】解：方法一：当时，二次函数图象的开口向上，一次函数图象经过第一、第三象限，排除D选项； 当时，二次函数图象的开口向下，一次函数图象经过第二、第四象限，排除A选项； 当，时，二次函数图象的顶点在轴的负半轴上，一次函数图象经过第一、第二、第三象限，排除C选项． 故B选项符合要求； 方法二：A．由一次函数的图象，知，，由二次函数的图象，知，，故A选项不符合题意； B．由一次函数的图象，知，，由二次函数的图象，知，，故B选项符合题意； C．由一次函数的图象，知，，由二次函数的图象，知，，故C选项不符合题意； D．由一次函数的图象，知，，由二次函数的图象，知，，故D选项不符合题意． 8. 已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 1或﹣5 B. ﹣1或5 C. 1或﹣3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果． 【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了根的判别式，根据根的情况得，又，从而得出且，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 10. 若，是方程的两个实数根，则 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程的根与系数的关系，可得， ∴． 11. 若关于的函数是二次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，且， 解得，且， 故， 故答案为：． 12. 二次函数在的范围内有最小值_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出二次函数图像的对称轴为直线，对称轴在的范围内，利用二次函数的增减性求得最小值即可． 【详解】解：， 则二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， 在时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 在时，y随x的增大而减小， ∴当时，， ， 故在范围内最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴, ∴． 【小问2详解】 解：， ， ，即， ∴或， ∴，． 14. 已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1）k＜4；（2）m=0或． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案； （2）根据解方程，可得x2﹣4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：（1）由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得 ∆=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0， 解得k＜4； （2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得 x2﹣4x+3=0， 解得x1=1，x2=3， 一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根， 当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0， 当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得， 综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，m=0或． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 15. 某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． （1）求第二季度的销售量； （2）求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】（1）第二季度的销售量为50万辆 （2）第三、四季度销售量的平均增长率为 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）设第三、四季度销售的平均增长率为x．根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：(万辆)， 答:第二季度的销售量为50万辆； 【小问2详解】 解：设第三、四季度销售的平均增长率为x， 依题意,得， 解得， (不合题意,舍去)， 答:第三、四季度销售量的平均增长率为． 16. 如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是． （1）当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面处？ （2）求小球在运动过程中的最大高度． 【答案】（1）当小球运动的时间是时，小球回落到地面处 （2）小球再运动过程中点额最大高度为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果． （1）求出时的值即可； （2）求出的顶点坐标即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ， 当小球运动的时间是时，小球回落到地面处； 【小问2详解】 解：， 当时，最大，为， 小球再运动过程中点额最大高度为． 17. 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为xm，面积为ym2． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？ （3）能围成比63m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）y=-3x2+30x．（2）AB的长为7m．（3）能．最大面积为m2． 【解析】 【详解】解：（1）y=x（30-3x）,即y=-3x2+30x； （2）当y=63时，-3x2+30x=63,解得：x1=3,x2=7； 当x=3时，30-3x=21>10（不合题意舍去）， 当x=7时，30-3x=9<10,符合题意， 所以，当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2. （3）能. ∵y=-3x2+30x=-3（x-5）2+75， 由题意：0<30-3x≤10, 得≤x<10, 又当x>5时y随x的增大而减小， 所以当x=时面积最大，最大面积为． 18. 已知二次函数. （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）C点坐标为：（0，3），D（2，－1）；（3）P（，0）． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可． （2）把m=2，代入求出二次函数解析式，利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可． （3）根据两点之间线段最短的性质，当P、C、D共线时PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）， ∴代入得：，解得：m=±1． ∴二次函数的解析式为：或． （2）∵m=2， ∴二次函数为：． ∴抛物线的顶点为：D（2，－1）． 当x=0时，y=3， ∴C点坐标为：（0，3）． （3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短． 过点D作DE⊥y轴于点E， ∵PO∥DE， ∴△COP∽△CED． ∴，即， 解得： ∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $