精品解析：内蒙古自治区赤峰第八中学2025-2026学年九年级上学期第二次适应性测试数学试卷

2025年赤峰八中九年级上学期第二次适应性测试数学卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程x2+3x+3=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 3. 如图，已知圆周角∠ACB=130°,则圆心角∠AOB=（ ） A. 130° B. 115° C. 100° D. 50° 4. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，此时点E在AB边上，则旋转角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. D. 8. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 已知点与点关于原点对称，则_____． 10. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人. 11. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 12. 如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为______． 三、解答题（共64分） 13. 用适当的方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 14. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2； （3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）． 15. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/件） 60 65 70 销售量（件） 1400 1300 1200 （1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 16. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； （2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若CE=2，AC=8，阴影部分的面积为 ． 17. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8 请解决以下问题： （1）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； （2）求h关于d的函数表达式； （3）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 18. 如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，求证：； （2）当，时，求的面积； （3）当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年赤峰八中九年级上学期第二次适应性测试数学卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 2. 关于x的方程x2+3x+3=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：∵x的方程x2+3x+3=0， ∴， ∴方程没有实数根， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 3. 如图，已知圆周角∠ACB=130°,则圆心角∠AOB=（ ） A. 130° B. 115° C. 100° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，由圆内接四边形的性质求出∠ADB=50°，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，如图所示： ∵∠ACB=130°， ∴∠ADB=180°-∠ACB=50°， ∴∠AOB=2∠ADB=100°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 4. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，此时点E在AB边上，则旋转角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据互余得到∠B=90°-α，再根据旋转的性质得CB=CE，∠BCE等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得∠CEB=∠B=90°-α，然后根据三角形的内角和定理计算出∠BCE=180°-2∠B=2α，于是得到旋转角为2α． 【详解】∵∠ACB=90°，∠A=α， ∴∠B=90°-α， ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC， ∴CB=CE，∠BCE等于旋转角， ∴∠CEB=∠B=90°-α， ∴∠BCE=180°-2∠B=2α， ∴旋转角为2α． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，等腰三角形的性质． 6. 如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OF、OD，如图，设⊙O的半径为r，利用勾股定理计算出BC＝5，再证明四边形ADOF为正方形，则AD＝AF＝OD＝OF＝r，所以BD＝3−r，CF＝4−r，根据切线长定理得到BD＝BE＝3−r，CF＝CE＝4−r，所以3−r＋4−r＝5，然后解方程即可． 【详解】解：连接OE、OD，如图， 设⊙O的半径为r， ∵∠A＝90°，AC＝4，BC＝5， ∴AB＝， ∵F点、D点为切点， ∴OF⊥AC，OD⊥AB， 而∠A＝90°， ∴四边形ADOF为矩形， 而OF＝OD， ∴矩形ADOF为正方形， ∴AD＝AF＝OD＝OF＝r， ∴BD＝AB−AD＝3−r，CF＝AC−AF＝4−r， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆（与三边都相切），切点分别为D，E，F， ∴BD＝BE＝3−r，CF＝CE＝4−r， 而BE＋CE＝BC， ∴3−r＋4−r＝5，解得r＝1， 即⊙O的半径为1． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质． 7. 已知关于的一元二次方程为的根为则关于的一元二次不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式化为，求出解集即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的根为 不等式可化为， 解得或， 关于的一元二次不等式的解集为或． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化． 8. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC＝BC；③∠DAE＝∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC=EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号． 【详解】解：∵C为的中点，即， ∴OC⊥BE，BC＝EC，选项②正确； 设AE与CO交于F，∴∠BFO＝90°， ∵AB为圆O的直径， ∴AE⊥BE，即∠BEA＝90°， ∴∠BFO＝∠BEA， ∴OC∥AE，选项①正确； ∵AD为圆的切线， ∴∠DAB＝90°，即∠DAE+∠EAB＝90°， ∵∠EAB+∠ABE＝90°， ∴∠DAE＝∠ABE，选项③正确； 点E不一定为中点，故E不一定是中点，选项④错误， 则结论成立的是①②③， 故选：C． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标的特点．根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人. 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人， 则根据题意可知：， 解得：x=7或x=-9(舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染给7个人． 11. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 12. 如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（共64分） 13. 用适当的方法解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 14. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2； （3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）． 【答案】（1）作图见试题解析，A1（2，﹣4）；（2）作图见试题解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2； （3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）； （2）如图，△A2BC2为所作； （3）BC==，所以C点旋转到C2点所经过的路径长=． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换,轴对称变换,勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点. 15. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/件） 60 65 70 销售量（件） 1400 1300 1200 （1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式； （2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可； （3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， ， 解得，， ∴与之间的函数表达式为； （2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得， （x-50）(-20x+2600)=24000 解得，，， ∵批发商场想尽量给客户实惠， ∴， 故这种衬衫定价为每件70元； （3）设售价定为x元，则有： = ∵ ∴ ∵k=-20＜0， ∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）． 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答． 16. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：CD平分∠ACE； （2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若CE=2，AC=8，阴影部分的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）直线ED与⊙O相切，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，由，得到∠BAD=∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE，即可证明CD平分∠ACE； （2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥BC，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线； （3）作OH⊥BC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=4，则CH=HE−CE=2，于是有∠HOC=30°，得到∠COD=60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCD−S△OCD进行计算即可求得结果． 【详解】（1）证明：， ， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ， ， ，即CD平分∠ACE； （2）解：直线ED与⊙O相切，理由如下： 连接OD， ， ， ， ∴OD∥BC， ， ， 直线ED与⊙O相切； （3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形， ∴OD=EH， ∵CE=2，AC=8， ∴OD=OC， 则，CH=HE−CE=2， 在中，，则 ∴， ∴阴影部分的面积=S扇形OCD−S△OCD ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及的知识点主要有圆周角定理、切线的判定定理、扇形的计算，熟练掌握圆的相关性质和定理是解题的关键． 17. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8 请解决以下问题： （1）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； （2）求h关于d的函数表达式； （3）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】（1） （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． （1）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （2）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （3）令函数值为0，求出值，然后作差看是否符合定义即可． 【小问1详解】 解：由得， 抛物线对称轴为直线， ∴当时，高度最大，最大值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：令，即， 解得， 令，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴该运动员能完成空中动作． 18. 如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，求证：； （2）当，时，求的面积； （3）当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1） 证明：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； （2）6 （3） ，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证； （2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积； （3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $