江西省南昌市南昌中学2026-2027学年高三上学期10月测试数学试题

南昌中学2026-2027学年度上学期10月测试 高三数学试卷（答案) 命题：高三数学备课组审题：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的. 1-8 CBCDAB BAB 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9AC 10ABC 11ABD 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12.60 13.（-∞，司U[1,+∞)14.4 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15.(13分) 解：1D:f0=5=cos6- 2 0s9≤70= 6 .T=π，0>0→0=2 (2) 4(受0,0(04)是2A的中点6= 2 P2-55 Pmv-2cow+?上≤6≤r 6 6-2亚或-3万 3 4 16.(15分) 解：(1)因为FF=4→2c=4,所以c=2,又c2=2a2,所以a2=2 所以双曲线C的方程为：x2-y=2. (2)因为A,B均在C的右支上，且△ABF的周长为162， 所AB+AF+|BR=16V2→AB+AF+2W2+BF+2W2=16N2→AB|=6W2 第 如图： 因为F(2,0),设直线1：x=ty+2,代入x2-y2=2得：(y+2)-y2=2, 整理得：（t-1)y2+4y+2=0.设A(,),B(x,y), 因为4B的在C的右支上，所以f-10:月之<0，所1<1 4t y1+y3= t-1 所以(04-⅓=(+⅓厂-4%y7 16f24×216-8(t-1_8+1 -1f-1e- 以8=+FM-25.65→-号 1-t2 所以t=士 所以直宜战的程为：X=±号12，年x生-2万=0 ,√2 y 17.(15分) 解：(1)证明：设PD的中点为K,连接AK,CK, 因为AB/CD,AB=2DC=2V3.AGOBD=H,所以=8=2. 又因为G为△PAD的重心，所以架=2所以架=铝所以GH/1CK, 又因为GHt平面PDC,CKc平面PDC,所以GH/平面PDC (2)因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PEC平面PAD, 所以PE1平面ABCD,因为三棱锥G-PCD的体积为，所以三棱锥A-PCD的体积为3y3, 2 ~底面ABCD为梯形，AB/CD,△ABD为正三角形， .∠ADC=120°，AD=2V3, 1 -PcD=Vp-AGD三3 SAACD·PE=专·(5AD·DC·sin120) =吉xx2V3xV3x)PE=号P8-,所以PB=3 以E为坐标原点，EA,EB,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如 图， 则平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0), 1页 P003).B03,0).c(-3y,0:则BF=(0,-33: c=(--0 设平面PBC的法向量为元=(x,y,Z), BP元=0，即 -3y+3z=0 BC.元=0 2x-y=0'令x=-1, 3V33 航=(-1vv:osm,0=赢-得-， 7 设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角为6， 则cos9=lcos元，=牙 所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为I 7 18.(17分) 解：(1)事件“第2件恰好是最后一件次品等价于次品在第2次被抽到。 法一：不放回抽样，次品等可能出现在第1、2、3、4任意位置，因此p(2,1 法二：分步计算验证：第1件抽到正品，第2件抽到次品p2,1)× (2)不放回抽样：每次抽到次品的概率相等，k=2,共n件，9(，2)= n' 求p(i,2),即满足在前i-1次共抽到1个次品，第i次抽到第2个次品，i的取值范围为2≤i≤n. 2. （n-2)H p(6,2)= 1 C ==2m-×1=2-,2≤i≤n: n-i+1 n! n-i+1 n(n-1)' (n-i+1)(i-1) 当i=1时， 00-2:所以pt2)- n(n-1) (3)不放回抽样：每次抽到次品的概率相等；9(k)=《: n 求p(i,k),即满足在前i-1次共抽到k-1个次品，第i次抽到第k个次品，i的取值范围为k≤i≤n. k！(n-k) (i-1 pk-空S兰x1=k-'产-a-x,1-&--处_生， Cin-i+1 n! k≤i≤n; n! n-i+l (n-i+1)(i-1)加 k!(n-k)! p(ik)=0,i<k.所以p(,k)= k≤i≤n i<k s0-2t-2袋是2C-总e+c+G+4c -急G+c-c+c出c+c-c）-总-1c-总c- 19.(17分) m的取值范围. 解：（1)若m=-1,则/)=血x-2+1,了)=1-2 ,x∈(0，+0)， 令f(x)>0→x∈ ·f()在 1V2 0, 单调递增，在 单调递减，从而f(:)在 32 单调递增，在 2 /2_1-h2 调递减，则(心)m=22 又r)-g-3r0=0f=f传-g-n3 20令0令g=,则创- g()在 单调递增，在 又知当x>1时，8(>0恒废立，且8 0,故)有两个不同的零点，得到方程-m=血x+ = 有两个不等正积，侧直线)=-m与g(创的图象有两个交点。故0<加<号即m（号0 11 (i)根据(i),不妨设。<x< e 则由fx)=f(飞)=0→m=血+1+() 第2页 a1-a)1-r+)=ht+1→血+1=- Int x2( 今)=号c.则付- -是-2 (e2-1月 ,再令0-1-2hrf>1 则g6=20）04日在(1，+o)单调递减，。 3 e<0-0台rg<0哈A0在化，m)单调送减，又-n小坚h空=hih万 一t≥V5,则h(0在[V反，+∞)单调递减，→)≤h()=血5，即mx十1≤InV反 →<5≤5，又由()式知m=血5+1 第3页 南昌中学2026-2027学年度上学期10月测试 高三数学试卷 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．设，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，，，则公比（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则（ ） A． B． C． D． 8．数列中，，，数列是首项为4，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为（ ） A．4 B．20 C．25 D．100 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的有（ ） A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； B．设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； C．设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越弱； D．数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 10．在棱长为1的正方体中，点是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A． B．若点在正方形内（含边界），且，则点的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点，使得异面直线与所成的角为 11．已知是上的连续函数，满足，有，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．为偶函数 C．的一个周期为3 D．是的一个对称中心 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的常数项为______． 13．已知平面向量与满足，，且在方向上的投影向量为．若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________． 14．设非空集合，满足，，当时，，当时，，若为偶函数，则集合的元素个数最大可能值为_______． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15．（13分）已知函数的图象与轴交于点，且最小正周期为 （1）求和； （2）若，点是图象上一点，是的中点，当，，求 16．（15分）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且．过的直线与交于，两点． （1）求的方程；（2）若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为梯形，，，，，且为正三角形，，分别为，的中点，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18．（17分）一批零件共件，其中有件次品，质检人员不放回逐一抽取检验，直到把所有次品全部检出停止检验。设检验停止时一共抽取了件零件．记为第件被抽检零件是次品的概率，表示第件恰好是最后一件次品的概率． （1）当，时，求； （2）求和； （3）求，，． 19．（17分）已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）已知函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $