江西省南昌市第三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

南昌三中2024—2025学年度上学期10月考试 高三数学试卷 命题：徐晓东 审题：黄文强 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 已知集合 2. 已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3．过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点B，C．若直线BC经过原点，则直线BC斜率为 A． B． C． D． 4. 已知 5． 给出下列说法，正确的是 A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 已知的值域为，则a的取值范围是 C. 已知函数，则函数的值域为 D. 已知函数满足，且，则 6．已知函数，对于有四个结论：①为偶函数；②的最小正周期是π：③在上单调递增；④的最小值为．则四个结论正确的是 A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 7.已知tanα＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝ 8. 已知函数在上恰有3个零点， 则的取值范围为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列四个选项，正确的有 A． P(tan，cos)在第三象限，则是第二象限角 B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为 C．若角的终边经过点(，2)(≠0)，则sinα＝ D． 10．设函数，则 A．的值域为 B．在单调递增 C．曲线关于直线对称 D．若且，则 11．对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 13.已知，且恒成立，则实数的取值范围为 ． 14．已知函数有3个极值点， 则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知函数且的图象过点和点 (1)求m,n的值； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求的解析式. 16．（15分） 如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．（15分） 已知点，，平面上的动点P满足直线PB与PA的斜率之差为1．记P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若P在直线右侧，直线PA与x轴，y轴分别交于点D,E，直线PB与x轴，y轴分别交于点F,G，求四边形DEFG面积的最小值． 18．（17分） 已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)探究在区间内的零点个数，并说明理由. 19．（17分） 对给定的点集，定义，使取得最小值的点P称为S的重心． （1）求集合的重心； （2）若，且不共线，证明：S的重心和的重心重合； （3）已知：若均为正数，则． 若凸n边形的周长为，，证明：． 南昌三中2024—2025学年度上学期10月考试 高三数学试卷参考答案 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A A D C C D ABD. AB BD 2. 已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 3．过曲线上一点作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线于点，．若直线经过原点，则其斜率为 A． B． C． D． 5． 给出下列说法，正确的是 A. 若函数在定义域上为奇函数，则 B. 已知的值域为，则a的取值范围是 C. 已知函数，则函数的值域为 D. 已知函数满足，且，则 6．已知函数，对于有四个结论：①为偶函数；②的最小正周期是π：③在上单调递增；④的最小值为．则四个结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】C 6.【解析】对于①，因为， 所以，故①正确；对于②，， 所以不是的周期，故②错误；对于③，当时，，所以，又，所以，所以由正弦函数的单调性可得在上不是单调的，故③错误；对于④，由于，所以是的一个周期，又时，，则，又，所以，；当时，，则，又，所以，；综上可得，所以的最小值为，故④正确； 故选：C. 7.已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A. B.或 C．－ D.或或－ 7. 【解析】因为tan α＝>0，且α∈(0，π)，所以α∈(0，)，2α∈(0，π)， 所以tan 2α＝＝＝>0，所以2α∈(0，)． 因为tan β＝－<0，且β∈(0，π)，所以β∈(，π)，所以2α－β∈(－π，0)， 又tan(2α－β)＝＝＝1，所以2α－β＝－.故选C. 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围为 （D） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 下列四个选项，正确的有(　　) A．P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第二象限角 B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为 C．若角α的终边经过点(a，2a)(a≠0)，则sin α＝ D．sin 3cos 4tan 5>0 【答案】ABD【解析】对A：由题可得tan α<0，则α属于第二或者第四象限； cos α<0，则α属于第二或者第三象限或角的终边落在x轴的负半轴上；故α属于第二象限，A正确；对B：设扇形OAB的圆心角为α(α>0)，半径为R，圆心角对的弧长为l， 则lR＝4，l＋2R＝10，解得l＝2，R＝4，又l＝αR，即2＝4α，解得α＝，B正确； 对C：根据题意可得sin α＝＝＝±，故C错误； 对D：因为3∈(，π)，4∈(π，π)，5∈(，2π)，故sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0， 故sin 3cos 4tan 5>0，D正确．故选ABD. 10．设函数，则 A．的值域为 B．在单调递增 C．曲线关于直线对称 D．若且，则 11．对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【解析】由，可得，即， 若，可得，符合题意， 若，可得，不符合题意， 若，可得，不符合题意， 若，可得，不符合题意， 综上所述，，可得， 故只需判断四个选项中的是否为最大值即可． 对于A，B，由题知，而， ，所以． （点拨：函数为减函数，为减函数）， 对于A，；对于B，，故A错误，B正确． 对于C，D， （将0.9转化为，方便构造函数）构造函数， 则，因为，所以单调递减，因为，所以， 即，所以．（若找选项中的最大值，下面只需判断与的大小即可） ， 构造函数，则， 因为，所以，令，则， 当时，单调递减，因为， 所以，即单调递减，又，所以， 即，所以． 综上，．对于C，；对于D，，故C错误，D正确． （提醒：本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断， 即， 构造函数， 则， 因为，所以单调递增，因为，所以， 即，所以）故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】.【解析】因为函数的定义域是，所以，故， 因为有意义，所以，所以， 所以函数的定义域为.故答案为：. 13.已知，且恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】【解析】因为，所以，所以，因为， 当且仅当，即，即时取得等号，所以有最小值为3，因为恒成立，所以，即，解得，故答案为: . 14．已知函数有3个极值点，，（），则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数，所以，当时，，，令得，所以，当时，，，令得 所以，令，则 所以，当时，时，，时，， 所以，函数在和上单调递增，在上单调递减； 因为函数有3个极值点，，（）， 所以，函数与有三个交点，因为，当时，当时，， 作出函数与图象如图， 由图可知，函数与有三个交点，则满足 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知函数f(x)＝msin 2x＋ncos 2x，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2). (1)求m，n的值； (2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π )个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的解析式. 【答案】(1)m＝，n＝1　(2)g(x)＝2cos 2x 15.【解析】(1)因为y＝f(x)的图象过点和点，所以即解得 (2)由(1)可知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，由题意，可得g(x)＝2sin.设y＝g(x)图象上的最高点为(x0，2)，由题意可知 ＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．代入y＝g(x)，得sin＝1.所以2φ＋＝2kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π ，所以φ＝，所以g(x)＝2sin＝2cos 2x. 16．（15分）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且， 连接、、. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）因为平面，又平面， 所以.又，且， 所以平面.因为，所以平面. （5分） （2）作，垂足为.则.又，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，， 所以.由（1）知平面，所以.又， 所以.在中，. 在中，. 由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.     则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为， 由，得可取.   （12分） 设平面的法向量为，由，得，可取.     因此，，.依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为. （15分） 17．（15分）已知点，，平面上的动点P满足直线PB与PA的斜率之差为1．记P的轨迹为． （1）求C的方程； （2）若P在直线右侧，直线PA与x轴，y轴分别交于点，，直线PB与x轴，y轴分别交于点，，求四边形DEFG面积的最小值． 18．（17分）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数a的值； (2)探究在区间内的零点个数，并说明理由. 【解析】（1）由题可知，由处的切线方程为， 把点代入得． （6分） （2）由（1）可知，令， 当时，，则在区间上单调递增．，由零点存在定理可知，存在，使得，即当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增，又，由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点． （13分） 当时，；当时，： 在区间上单调递增．又，由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，综上可得，在区间有且仅有两个零点． （17分） 19．（17分） 对给定的点集，定义，使取得最小值的点P称为S的重心． （1）求集合的重心； （2）若，且，，不共线，证明：S的重心和的重心重合； （3）已知：若，，…，均为正数，则 ． 若凸n边形的周长为，，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$