江西部分校2026-2027学年高三上学期联考数学试题

高三数学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:集合与常用逻辑用语,不等式,函数。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.命题“Vx∈R,x2一4x十3>0”的否定是 A.Vx∈R,x2-4x+3≤0 B.]x∈R,x2-4x十3≤0 C.]xtR,x2-4x十3≤0 D.3x∈R,x2-4x+3<0 2.设全集U=(1,2,3,4),A=(1,2,3),B={2,3,4),则Cg(A∩B)= A.0 B.(2,3) C.1,4) D.(1,2,3,4) 3.已知幂函数f(x)=(a2一3)x在(0,十∞)上单调递减,则实数a的值为 A.2 B.√2 C.-2 D.-2 4已知x为实数,p:昌<x≤2,9:二<0,则力是g的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知某省的人口总数M约为2,该省省会人口总数N约为3“,则下列与兴的值最接近的数是 (参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477,lg7≈0.845) A.14 B.10 C.9 D.7 【高三数学第1页(共4页)】 9/2-G -3x2+4x-3,x≤1, 6.已知t>0且≠1,函数f(x)= 在R上单调递增,则实数t的取值范围是 (t,x>1 A.(1,2] B(1,] c[,+∞ n[2] 7.已知函数f(x)=3-x+11+|3r+x一11|,则f(x)的最小值是 A.6 B.8 C.9 D.18 8.设a,b∈R,若Vx∈(b,十∞),(1-e-a)n(x-b)≤0,则2a2-b的最小值为 A.-2 B.-1 C.0 D.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.若a>b>0,c∈R,则 A.a-c>b-c B.ac2>bc2 c<分 D.btcate a b 10.已知x>0,y>0,x十y=10,则 A.xy≤25 B.x2+y2≥50 C.√x+√y≥25 D士+≥ 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(2十x)十g(1-x)=3,g(x)-f(x一1)=5.若直线x=1 是g(x)图象的一条对称轴,且g(1)=2,则 A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.g(x)的图象关于点(2,4)对称 C.4是f(x)的一个周期 D.学g)=8102 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知f()-经牛是偶函数,则实数a的值为 13.若函数f(x)=2x2一5x十t有两个零点,其中一个零点在区间(0,1)内,另一个零点在区间(1,2)内,则 实数t的取值范围是 x3,x≥0, 14.若函数f(x)= 的图象与函数g(x)=|ax2-3x|的图象有4个不同的交点,则实数a的 (-2x,x<0 取值范围是 【高三数学第2页(共4页)】 9/2-G 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知p:Hx∈R,x2-6x+7≥m2-3m;q:3x∈R,m≤1-|x|. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若p,q中至少有一个为真命题,求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)一z平 (1)求f(x)+f()f(-2-x)+f(x)的值; (2)令器f()=a,求驾置f(-)的值(用含a的代数式表示). 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ax2一(a十3)x十b. (1)若关于x的不等式f(x)≥0的解集为[-2,一2],求实数a,b的值; (2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x)>0. 【高三数学第3页(共4页)】 9/2-G 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)十g(x)=e (1)求f(x)与g(x)的解析式: (2)若g(m)=3,求f(3m)的值; (3)若Vx∈(0,十c∞),2mef(x)≥e十me一1,求实数m的取值范围. 19.(本小题满分17分) 若定义域为D的函数f(x)满足:对Hx1,x2∈D,存在正整数k,使得|f(x1)一f(x2)|≤|x1一x2|, 则称f(x)为“阶利普希茨函数”.已知对任意闭区间ID,“阶利普希茨函数”f(x)在I上必有最 大值与最小值,记最大值为f(x)mx,最小值为f(x)i,规定d(f,I)=f(x)mx一f(x)in. (1)若f(x)=lnx十3x,D=(0,十∞),证明:f(x)不是“3阶利普希茨函数”; (2)若1=D=[0,2],f(x)为“2阶利普希茨函数”,且f(0)=0,d(f,I)=4,求f(x)的解析式; (3)若D=[0,十o∞),I=[0,t],其中t>0,f(x)为“阶利普希茨函数”,令g(t)=d(f,I).证明:“对 Ht∈(0,十∞),任意正数,t2(<t2≤t),g(t)一g(t)=d(f,[,t])恒成立”的充要条件是 “f(x)在D上单调”. 【高三数学第4页(共4页)】 9/2-G 高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B命题“Hx∈R,x2一4x十3>0”的否定是“3x∈R,x2-4x十3≤0”.故选B. 2.C因为A∩B={2,3},所以Cu(A∩B)={1,4.故选C. 3.D因为幂函数(x)=(a2-3)x在(0,十∞)上单调递减,所以a2-3=1且a<0,解得a=一2.故选D. 4.C由≤0,得(x一2)(2x-3)≤0且2-3≠0,所以是<≤2,又(号,2]三[号,2],所以p是g的必要不充分 条件.故选C 元A因为1g兴-gM-gN=26g2-14g326 0301-14X0.47≈1.148,所以兴≈10-m,而g14=lg2+1g7 1.146.所以兴≈10>101≈14.故法入 6.D因为函数f(x)在R上单调递增,所以 t>1, 解得<1<2故选D. 、-3+4t-3≤t, |2 3,x≥2, 7.D由题意知f(x)= 当x<2时,f(x)单调递减,当x≥2时,f(x)单调递增,所以f(x)mim=f(2) 2(-x+11),x<2, =18.故选D. 8.A由题意,得(ea-1)ln(x-b)≥0,令(ea-1)n(x-b)=0,得x=a或x=b+1,当x∈(b,b+1)时,ln(x-b)< 0,故ea-1≤0,所以b+1-a≤0,当x∈(b+1,+o∞)时,ln(x-b)>0,故e-a-1>≥0,所以b+1-a≥0,所以b+1-a =0,即a=b+1,所以2a2-b2=2(b十1)2-b=b+4b+2=(b+2)2-2,当b=-2时,2a2-2取得最小值-2.故 选A .AC对于A,因为>6:所以a->放A正确:对于B当=0时a=女,放B错误:对于C,。方6,因 为>b>0,所以b>0:b-a<0,士-古-6<0,即}<名,放C正确:对于D.因为告-古 a b ab a b -a)Cg+h+e,因为a>b>0,所以ab>0,b-a<0,当a+b十c<0时,生c_a=b-a)Ca+h+2>0,即生c ab a ab >,故D错误故选AC 10.ABD因为x≤(安) =25,当且仅当x=y=5时等号成立.故A正确;r+=(x十y)2-2xy=100-2x2100 -2 25=50,当且仅当x=y=5时等号成立,故B正确;((+√5)2=x+y十2√xy=10+2√xy≤10+x十y=20, 所以丘+5≤25,当且仅当x=y=5时等号成立,故C错误:+号=(+号)x+)=品(2+￥+号)≥ 品(2+2√2 号)=号,当且仅当x=y=5时等号成立,故D正确故选ABD 11.BCD因为f(2十x)十g(1一x)=3,所以f(2-x)十g(1十x)=3,因为直线x=1是函数g(x)图象的一条对称轴, 所以g(1-x)=g(1十x),所以f(2+x)=∫(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,易知f(x)不恒为0,故 A错误;因为g(x)-f(x-1)=5,所以g(x+3)-f(x十2)=5,所以g(x十3)十g(1-x)=8,所以g(x)的图象关 于点(2,4)对称,故B正确;因为g(x)=f(x一1)+5,所以g(x)与f(x)有相同的周期性,因为g(x十3)+ g(1-x)=8,g(1-x)=g(1十x),所以g(x十3)十g(1+x)=8,所以g(x十5)+g(x十3)=8,所以g(x十5)= g(x+1),即g(x+4)=g(x),所以4是g(x)的周期,所以4是f(x)的周期,故C正确:g(1)=2,g(2)=4,g(3)=6, g0=4,所以g1)+g2)+g3)+g64)=16,所以学g6)=506X16+R(2025)+g(2026)=8096+g1)+ g(2)=8102,故D正确.故选BCD. 120因为fx)是偶函数,所以f代一x)=fx),即号计-器中所以2ax=0恒成立所以a=0, 【高三数学参考答案第1页(共4页)】 9/2-G f(0)=t>0. 13.(2,3) 由零点存在定理,得f(1)=2-5十t<0,解得2<t<3,即实数t的取值范围是(2,3). f(2)=8-10+t>0. 14.(-∞,0)U(23,+o∞)由题意知x1ax-3|= 父xx≥0 有4个不同的根,显然x=0是此方程的一个根. 2|x|,x<0 (2,≥0 有3个不同的非0实根,即)广=a-3引的图象与)= x2,x≥0, 则方程|ax一3|= 的图象有3个不同的且 2,x<0 2,x<0 异于原点的公共点,当a<0时,当>名时,ar一3到=3-a,令3-a=,即r十a一3=0,显然该方程有且仅有 一个正根,如图1,所以a<0符合要求,当a>0时,令3-ax=2,解得x=1>0,令x2=ax-3,则x2一ax+3=0,令 a a2一12=0,得a=2√3,如图2,函数y=x2与y=a.x一3的图象相切,所以当a>23时,符合要求;当a=0时显然不符 合要求.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0)U(25,十o∞). y=ax-3 x2 图1 图2 15.解:(1)因为p为真命题,所以(x2-6x十7)mm≥m2-3m,… …2分 又x2一6x十7=(x-3)2一2,所以x2-6x十7的最小值为一2,… …4分 所以-2>m2一3m,即(m-1)(m-2)≤0,解得1≤m≤2,即实数m的取值范围是[1,2].…6分 (2)若g为真命题,则m≤(1一|x)mx, 又|x|≥0,所以1-|x|≤1,即(1-|x|)mx=1,所以m≤1.… 8分 因为p和q中至少有一个为真命题,所以有三种情况:p真q假,p假q真,p与q都为真命题. 1≤m≤2, 当p真q假时, 所以1<m≤2;… …9分 m>1, m<1或m>2, 当p假q真时, 所以m<1;… 10分 m≤1, |1≤m≤2, 当p,q均为真命题时, 所以m=1.… 11分 m≤1, 综上所述,实数m的取值范围是(一0∞,2].…13分 16.解:1)因为fx)=千 1 以+华)希乐1帝+市 x=x+1 …3分 因为f(x)=x千1' 所以(-2-0+x)=22十半+2出=2 x+1 6分 (2)因为fx)+f()=1,所以f(2)+f(号)=1.f3)+f(号)=1,f(4)+f()=1,…,f2027)+ /(2027)=1.所以驾f0+驾r()=2026.① 。。。 …9分 因为f(-2-x)+f(x)=2,所以f(-2)+f(0)=2,f(-3)+f(1)=2,f(-4)+f(2)=2,…,f(-2029)+ f2027)=2.所以f-0+学fi)=2X2028=4056.@ …12分 【高三数学参考答案第2页(共4页)】 9/2-G @-①.得罗r(-)-罩r(日)+f0+f1)=2030. 又0)=0,1)=合,所以罩f-》-a+0+司 =2030, 所以号r(-iD=2a+4059, 2 15分 17.解:1)因为关于x的不等式f)≥0的解集为[-2,-], 所以-2,-号是方程ar2-(a十3)x+b=0的两根,且a<0, 2分 a 根据韦达定理,得 4分 (-2) (-)=8 a= 7 解得 6分 b=-7 6 (2)因为f(1)=0,所以a-a-3+b=0,所以b=3, …8分 所以f(x)=a.x2-(a十3)x+3=(a.x-3)(x-1). 10分 当a=0时,f(x)=-3(x一1),所以f(x)>0的解集为(一0∞,1).… 11分 当a<0时,因为2<0<1,所以f(x)>0的解集为(各.1) … 12分 当a=3时,因为2=1,所以f(x)>0的解集为(-9,1DU1,十∞). 13分 当0<a<3时,因为2>1,所以f(x)>0的解集为(-o,1DU(2,+∞): a 14分 当a>3时,因为2<1,所以f(x)>0的解集为(-0,)U1,+∞).… 15分 18.解:(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=一g(x).…1分 因为f(x)十g(x)=e①,所以f(-x)十g(-x)=er,即f(x)-g(x)=er②.…2分 由①②,得f(x)=e+e 2 -,g(x)=e-er 2… …4分 (2)因为g(m)=ee”=3,所以e-em=6. 2 …5分 因为(m-em)2=e2m十e2m-2=36,所以e2m十e2m=38.…6分 因为(e"+em)2=e2m十e-2m+2=38十2=40,em+em>0,所以em+em=2√10.…7分 方i法-:f3m)=e=(c+c)(g-1+c)_2而X38-D=370.…10分 2 2 2 方法二:因为(e2m+em)(em+em)=76√10,所以em十e"十em十em=76√/10, 所以e+e=76V0-(e+e”)=74而,即f(3m)=e“=37V而. 10分 2 (3)因为2mef(x)≥e+me-1在x∈(0,十o∞)上恒成立,所以m(e+er-1)≥1-er在x∈(0,+∞)上恒成立. …1l分 因为心e12v e了-1与10所以w二e在∈0,m止恒成立13分 令t=e-1(t>0),则e=t+1, 所以DD币+币计1+1 1一∠ 1 号当且仅当=1即x=n2时,等 号成立,即(中) e-1 1 …16分 所以m心3,即实数m的取值范围是[号十∞): …17分 【高三数学参考答案第3页(共4页)】 9/2-G 19.(1)证明:不妨设x1,x2∈D,且1>x2, 因为y=lnx,y=3.x在(0,十o∞)上单调递增,所以f(x)在(0,十o∞)上单调递增,f(x1)>f(x2),…1分 所以|f(x)-f(x2)|-3|-x2|=f()-f(x2)-3(x-x2)=n-nx2>0,即|f(x)-f(x2)|> 3|x1-x2|, 所以对Hx,x2∈D,|f(x)一f(x2)≤3|一x2|不成立,即f(x)不是“3阶利普希茨函数”.…3分 (2)解:由d(f,I)=4知当x∈[0,2]时,f(x)mx-f(x)mm=4,即存在m,n∈[0,2],使得|f(m)-f(n)|=4, 由f(x)为“2阶利普希茨函数”,得|f(m)-f(n)|≤2|m-n≤4,所以4≤2|m一n≤4,即|m-n=2.…4分 不妨设m≥n,又m,n∈[0,2],所以m=2且n=0, 又|f(2)-f(0)|=4,f(0)=0,所以|f(2)|=4,即f(2)=4或f(2)=-4. …5分 由为份料情资欧有等时9外: |f(x)|≤2x, 当f(2)=4时,《 -2x<f(x)2x所以fx)=24 即 …7分 |4-f(x)|≤4-2x,2x≤f(x)≤8-2x, |f(x)|≤2x, 当24-41)4-24即2x8)2所以=2 综上所述,当f(2)=4时,f(x)=2x;当f(2)=一4时,f(x)=-2x.… …9分 (3)证明:先证充分性:f(x)在D上单调可以分为两种情况:f(x)在D上单调递增,f(x)在D上单调递减。 当f(x)在D上单调递增时,因为I=[0,t],所以g(t)=d(f,I)=f(x)mx一f(x)m=f(t)一f(0),g(4) f()-f(0),g(t2)=f(t2)-f(0),所以g(t2)-g()=f(t2)-f(t). yd(f,[t,t2])=f(x)max-f(x)min=f(t2)-f(t), 所以g(t2)-g()=d(f,[t,t2]).… …10分 当f(x)在D上单调递减时,因为I=[0,t],所以g(t)=d(f,I)=f(x)mx一f(x)m=f(0)f(t),g(t)= f(0)-f(),g(t2)=f(0)-f(2),所以g(t2)-g()=f(h)-f(t2). d(f,[ti,t2])=f(x)mx-f(x)min=f(t)-f(t2), 所以g(t2)-g(t)=d(f,[t,t2]). 综上所述,当f(x)在D上单调时,对Ht∈(0,十o),任意正数ti,t(t<t2≤t),g(t2)一g(t)=d(f,[t,t2])恒 成立,充分性得证. …12分 再证必要性:(反证法)假设f(x)在D上不单调,因为Ht∈(0,十∞),H4,t2∈(0,t],则必存在,to,2>0且4< <t2,使得f(t)<f(to)>f(t2)或f(t)>f(to)<f(t2).… …13分 当f(t)<f(t6)>f(t2)且f(t)是函数f(x)在区间[t1,t2]上的最大值时,设函数f(x)在区间[,to]上的最小 值为n1,在区间[to,t2]上的最小值为r2,设n,r2中最小值为min{n,r2},最大值为max{n,r2}. d(f,[t,to])=g(to)-g(t),d(f,[to,t2])=g(t2)-g(to),d(f,[t,to])+d(f,[to,t])=g(t2)- g(t), 又g(t2)-g(t)=d(f,[t,2]),所以d(f,[t,to])+d(f,[to,t2])=d(f,[t,t2]) d(f,[t,to ])=f(to)-n,d(f,[to,t2])=f(to)-r2,d(f,[t,t2])=f (to)-minri,r2}, 所以f(t)-n十f(t)-r2=f(to)-min{n,r2},即f(to)=n+2-min{n,r2}=max{n,r2}, 记f(t),f(t2)中最大值为max{f(t),f(t2)},则max{f(),f(t2)}≥max{n,r2}=f(to),与f(i)<f(to) >f(t归)矛盾。…15分 当f(t)>f(t6)<f(t2)且f(to)是函数f(x)在区间[1,t2]上的最小值时,设函数f(x)在区间[1,to]上的最大 值为R,在区间[to,t2]上的最大值为R2,设R,R2中最小值为min{R,R2},最大值为max{R1,R2}. 所以d(f,[i,t])=g(to)-g(i),d(f,[to,t2])=g(t2)-g(to),所以d(f,[ti,to])十d(f,[to,t2])= g(2)一g(4), 又g(t2)-g(t)=d(f,[,2]),所以d(f,[h,o])+d(f,[to,2])=d(f,[,2]). d(f,[t,to])=Ri-f(to),d(f,[to,t2)=R2-f(to),d(f,[t,t])=max(Ri,R2)-f (to), 所以R-f(to)十R2-f(to)=max{R1,R2}-f(tb),即f(to)=R1+R2一max{R1,R2}=min{R1,R2}, 记f(t),f(t2)中最小值为min{f(t),f(t2)},则min{f(t),f(t)}≤min{R,R}=f(to),与f(t)>f(to) <f(t2)矛盾. 综上所述,假设不成立,即f(x)在D上单调. 综上所述,“对Ht∈(0,十o∞),任意正数t,t2(t<t),g(t2)一g(t1)=d(f,[t1,t2])恒成立”的充要条件是 “f(x)在D上单调”.… …17分 【高三数学参考答案第4页(共4页)】 9/2-G