第二章 《一元二次方程》巩固卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版数学九上《一元二次方程》单元巩固卷，通过基础题、综合题及文化情境题，覆盖方程解法、根的判别式、实际应用等核心知识，适配单元复习，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|配方法、新定义运算、韦达定理|结合黑土地产量增长率等现实情境| |填空题|6/18|根与系数关系、天元术文化|融入古代数学文化素材| |解答题|6/72|方程求解、几何面积、利润问题|世乒赛纪念品销售等综合应用，梯度设计|

第二章 《一元二次方程》巩固卷-北师大版数学九上同步分层训练 一、选择题（每题3分，共30分） 1．用配方法解方程 时，方程变形正确的是(　　) A． B． C． D． 2．对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆ 例如： 则方程2☆x=3的根的情况为 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 (　　) A．K>2 B．k<2 C．k≤2且k≠1 D．k<2且k≠1 5．已知方程 的一根为 则方程的另一根为(　　) A． B． C． D．3 6．若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　) A．3 B．5 C．-15 D．15 7．关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（　　） A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4 8．深耕黑土地，守护大粮仓.某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000 kg水稻，到2025年平均每公顷产8470 kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为(　　) A．7000(1+2x)=8470 B． C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=8470 D．7000×2(1+x)=8470 9．李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（　　） 李白醇酒 李白街上走，揭壶去买酒． 遇店加一倍，见花喝一斗． 三遇店和花①，喝光壶中酒． 试问壶中原有酒几斗？ A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 10．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=　 　. 12．中国古代数学家李冶的测圆海镜是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，测圆海镜是高次幂在上，低次幂在下，如图中的天元式表示多项式，则图表示的多项式的二次项系数为　 　． 13． 如果关于的一元二次方程的一个根是0，那么的值为　 　． 14． 关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是　 　． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 15．对于一元二次方程下列说法正确的是　 　． ①若4a+2b+c=0，则 ②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 ax+c=0必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则 定是 的一个根； ④若x0是一元二次方程 的根，则 ． 16．某种商品平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，每降价1元，每天可多售出5件.若每天要盈利2400元，则该商品每件应降价　 　元. 三、解答题（共6题，共72分） 17．解方程： （1） （2） （3） （4）。 18．已知关于x的一元二次方程 （1）判断方程根的情况； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积. 19．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出件，每件盈利元． 每天可售出件，每件盈利元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天均可多售出件现两店每件衬衫同时降价元． 任务解决 （1）任务：降价后，甲店每天的销售量为　 　件用含的代数式表示； （2）当时，求甲店每天的盈利； （3）当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为元． 20．某校在一次数学活动中组织学生设计矩形花圃，花圃的一边可利用长为8 米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长 20 米。下面是小高和小周两位同学设计的方案(篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计)。 （1）如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD 的一边AD靠墙(AD≤8米)，另三边用篱笆围成.设AB的长为x米。 ①求BC的长(用含x的代数式表示)。 ②当花圃ABCD 面积为42平方米时，求x的值。 （2）如图2是小周同学设计的方案，花圃 EFGH的一边 EH 由围墙(EM)和部分篱笆(MH)组成，另三边由剩余的篱笆围成。问花圃EFGH面积能达到50平方米吗?请通过计算说明。 21．成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价） 类别价格 A款纪念品 B款纪念品 进货价（元/件） 20 15 销售价（元/件） 35 27 （1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数； （2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少? （3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？ 22．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为x1，x2，则 材料2：已知实数m，n满足 且m≠n，则m，n是方程 的两个不相等的实数根. （1）材料理解：一元二次方程 的两个根为x1，x2，则 　 　，　 　； （2）应用探究：已知实数a，b满足： 且a≠b，求 的值； （3）思维拓展：已知实数m，n满足： 求 的值. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， ． 故选：D． 【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方，左边写为完全平方形式解答即可. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故答案为：A. 【分析】根据新定义，将转化为一元二次方程的一般式，再计算根的判别式的值，判断根的情况解答． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：设一元二次方程为 由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c ∴b=-7，c=10 ∴方程为： 故选B. 【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：已知方程(k-1)x2-6x+9=0是一元二次方程且有实数根，需同时满足： ∵二次项系数不为0，k-1≠0， ∴k≠1， ∆=b2-4ac=(-6)2-4(k-1)×9≥0， 36-36(k-1)≥0， 36-36k+36≥0， 72-36k≥0， -36k≥-72， k≤2， 综上，k的取值范围是k≤2且k≠1. 故选：C. 【分析】一元二次方程需满足二次项系数不为0，且有实数根则判别式∆≥0，据此列出条件求解. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：设方程的另一个根为C， 故答案为： A. 【分析】设方程的另一个根为C，再根据根与系数的关系即可得出结论. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根， ∴， ∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15. 故答案为：D. 【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， 若使有实数根，则， 解得，， 所以， 故答案为：A． 【分析】根据根与系数的关系可得，，然后根据，整体代入求出m的值，再根据根的判别式求出m≤1，解答即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵2023年为初始年份，每公顷产量7000kg，年平均增长率为， ∴2024年每公顷产量为； 2025年在2024年的基础上继续增长， ∴2025年每公顷产量为； 又∵2025年实际每公顷产量为8470kg， ∴可列方程 故答案为：B 【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用。依据增长率的递推逻辑，先推导2024年的产量表达式，再以此为基础推导2025年的产量表达式，结合2025年的实际产量建立等量关系，得到对应的一元二次方程，其中两年增长对应指数为2，是列方程的核心依据。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗 由题意可得： 解得：x= 故答案为：B 【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：设花卉带的宽度为xcm，根据题意得 故答案为：D. 【分析】 设花卉带的宽度为xcm，根据草坪的面积为总面积的，列方程即可 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方 ∴设方程的两个根为t，t2 ∴t+t2=， 解得： ∴ 故答案为： 【分析】根据题意设方程的两个根为t，t2，根据根与系数的关系可得t+t2=，，解方程可得t值，再代入即可求出答案. 12．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示， 该多项式的二次项系数为． 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，即可得到图2中最上方一行表示二次项系数，根据算筹记数规则写出数值即可． 13．【答案】 【解析】【解答】解：把代入方程，得， 解得：； ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 【分析】把代入方程得到，根据一元二次方程的定义得到a≠3，求出a的值解答即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：由表格中x=-5和x=1时代数式值为零， 可得方程a(x+p)2+q=0的两个根为x1=-5，x2=-1， 则x+p=-5或-1， 那么在方程 中， x+p-1=-5或-1， 所以解为. 故答案为：. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的确定，先根据表格里面函数的两组x值得到到方程a(x+p)2+q=0对应的两个根，最后利用换元法把目标方程a(x+p-1)2+q=0转化为已知根的方程，给根整体加1就能得到目标方程的解. 15．【答案】①④ 【解析】【解答】解：①若4a+2b+c=0，则b2-4ac≥0，当x=2时，代入方程得a·22+b·2+c=4a+2b+c=0，说明方程有一个根为x=2，因此判别式b2-4ac≥0，①正确； ②若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax+c=0必有两个不相等的实数根，方程 ax+c=0是一元一次方程(a≠0)，只有一个实数根，不可能有两个根，②错误； ③若2026是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定是cx2+bx+a=0 的一个根，把x=2026代入ax2+bx+c=0，得a·20262+b·2026+c=0；当c=0时，方程cx2+bx+a=0变为bx+a=0，不一定是它的根，③错误； 若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2 ∵x0是方程的根， ∴，即， 展开右边：，④正确； 故答案为：①④. 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断. 16．【答案】4 【解析】【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得： （44-x）（40+5x）=2400 解方程得 x=4或x=32， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴x=32不合题意舍去， 故每件服装应降价4元； 故答案为：4. 【分析】根据每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=2400列出方程式，求解即可. 17．【答案】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 解得：， （4）解： 解得：， 【解析】【分析】（1）利用直接开平方法化为两个一次方程，求出x的值解答即可； （2）先移项，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方那个的形式，然后开方解方程即可； （3）左边写为平方的形式，然后直接开平方解答即可； （4）得到a，b，c的值，求出b2-4ac的值，然后代入求根公式计算即可. 18．【答案】（1）解：∵在方程中， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解： 不妨设AB=k+1，AC=k+2， ①当BC=5为斜边时，有，即 解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4 则直角三角形的面积为： ②当AC=k+2为斜边时，有即 解得：k=11.此时AB=12，AC=13 则直角三角形的面积为： 综上， k=2时，△ABC面积为6； k=11时，△ABC面积为30 【解析】【分析】(1)先根据一元二次方程判别式公式代入a，b，c展开化简，算出Δ=1>0，依据判别式判定规则，得到方程有两个不相等实数根； (2)先因式分解求出方程两根k+1，k+2，作为三角形两条边长；再分两类讨论斜边：第一类BC=5是斜边，列勾股方程求解并舍去负根，算出面积6；第二类较长边k+2是斜边，再次列勾股方程求得k=11，算出面积30． 19．【答案】（1） （2）当a=5时，甲店每件盈利为40-5=35元，销售量为20+2×5=30件， ∴甲店每天的盈利为35×30=1050（元）. （3）设每件衬衫降价a元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 根据题意列方程得：（40-a）（20+2a）+（30-a）（32+2a）=2244， 整理得：a2-22a+121=0， 即（a-11）2=0， 解得a1=a2=11， ∴ 衬衫降价11元. 【解析】【解答】 （1）每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价a元． 已知甲店原每天售出20件，每件降价1元多售出2件，现降价a元，因此多售出2a件， ∴降价后甲店每天的销售量为（20+2a）件 【分析】 （1）根据原销量加上降价增加的销量，列出含a的代数式； （2）根据总盈利=每件盈利×销售量，代入a=5计算得到甲店盈利； （3）根据总盈利为甲乙两店盈利之和，设未知数列出一元二次方程，解方程得到降价金额. 20．【答案】（1）①在矩形ABCD中， AB=CD=x， 所以BC=20-2x. ②因为花圃面积为42平方米，所以x(20-2x) =42， 解得x=3或x=7， 当x=3时，20-2x=20-2×3=14>8，不合题意，舍去. 当x=7时，20-2x=20-2×7=6<8，符合题意. 所以x=7. （2）不能达到50平方米，理由如下： 设MH=a，则FG=EH=8+a， 假设面积能到50平方米， 则(8+a)(6-a)=50，即 因为根的判别式=4-4×1×2=-4<0 所以不能达到50平方米. 【解析】【分析】（1）①根据列式解答； ②根据矩形面积公式列方程求出x的值并检验解答即可； （2）设MH=a，表示EF长，根据面积公式列方程，整理为一般式后，根据根的判别式判断方程根的情况解答即可． 21．【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款纪念品分别购进20件和30件. （2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元. （3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元， 由题意可知：， 解出： ，， 当时，元；当时，元 故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元. 【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可； （2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答； （3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可. 22．【答案】（1）2； （2）解：由题意得，实数a，b满足 且a≠b 因此a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得a+b=5， ab=1， 所以 （3）解：将方程 变形可得 又 分两种情况讨论： ①当m=2n时， ②当m≠2n时，m和2n是一元二次方程 的两个不相等的实数根根据根与系数的关系可得 由2mn=-3，得 综上， 的值为2或 【解析】【解答】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， 故答案为：2；； 【分析】（1）直接根据根与系数的关系解答即可； （2）由题可知是方程的两个不相等实根，根据根与系数的关系得到 a+b=5， ab=1，然后提取公因式后整体代入计算即可； （3）第二个方程变形为，可得m、2n是方程的两个根，分和两种情况，分别计算即可． 学科网（北京）股份有限公司 $