专题01 一元二次方程20大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题01 一元二次方程 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念 题型2 一元二次方程的解 题型3 一元二次方程的四种解法（重点） 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础 题型6 一元二次方程的实际应用基础 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（重点） 题型8 一元二次方程解的估算 题型9 配方法的应用（重点） 题型10 换元法解一元二次方程 题型11 根的判别式（重点） 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（重点） 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（重点） 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（难点） 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（难点） 题型18 韦达定理综合（难点） 题型19 一元二次方程的应用压轴（难点） 题型20 一元二次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念（共3小题） 【步骤】先判断是否整式方程，整理成标准形式，确定各项系数，注意二次项系数不为零。 【易错】容易忽略二次项系数不能为 0；移项变号出错，混淆一次项与常数项符号。 1．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式后，若二次项系数为正数，则一次项系数为__________． 3．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）将方程化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型2 一元二次方程的解（共3小题） 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 题型3 一元二次方程的四种解法（共6小题） 【步骤】观察方程特点，选合适解法求解，求出根后代入原方程检验取舍。 【易错】开平方漏正负号；配方时常数项漏乘；直接约去含未知数的式子丢根。 7．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 8．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况（共3小题） 【步骤】化为一般式，确定 a、b、c，算出 Δ，根据 Δ 正负判断方程实数根情况。 【易错】忽略二次项系数不为 0；计算 Δ 符号出错，混淆 Δ 三种情况结论。 10．（26-27九年级上·江苏·期中）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 11．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础（共3小题） 【步骤】化为一般式，确认 Δ≥0，套用韦达定理，变形代数式代入求值。 【易错】忽略方程有实根前提；看错两根和、积符号，代数式变形出错。 13．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 14．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 15．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 题型6 一元二次方程的实际应用基础（共3小题） 【步骤】审题设未知数，列一元二次方程，求解，检验根是否符合实际题意。 【易错】忘记舍去不符合实际的根；单位不统一，等量关系梳理出现偏差。 16．（25-26九年级上·江苏·期中）某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． (1)设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） (2)超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 17．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 18．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某草莓采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 草莓价格 不超过8人，30元/人；超过8人每增加1人，人均票价下降2元，但不低于儿童票价． 20元/人 30元/斤 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买． (1)周末，5个成人带领4个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8斤草莓，则该团需支付的总费用 元； (2)某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252元，求这次参加活动的共多少人？ 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数与系数条件，解方程求出参数，代入检验是否满足要求。 【易错】易漏掉二次项系数不为 0；忽略最高次数等于 2 这一核心条件。 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则______． 题型8 一元二次方程解的估算（共3小题） 22．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 23．（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 24．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 题型9 配方法的应用（共3小题） 25．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)试用配方法求出代数式的最小值． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断：一元二次方程________（填“是”或“否”）为“C方程”． (2)已知关于x的一元二次方程． ①当b、c满足什么关系时，该方程是“C方程”； ②若方程是“C方程”，求代数式的最小值． 27．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 题型10 换元法解一元二次方程（共3小题） 【步骤】设整体换元，转化为一元二次方程求解，回代求原未知数，检验结果。 【易错】忘记回代求原变量；换元后扩大取值范围，未检验产生增根。 28．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 29．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 30．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 题型11 根的判别式（共3小题） 31．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求的值； (2)求证：该方程有两个不相等的实数根； (3)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 32．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 33．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求m的取值范围． 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 34．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程两根之差为，求此时的值． 35．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 36．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设，是方程的两个根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 38．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)已知该方程的两个根为、，则的值_________． 39．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（共3小题） 【步骤】找准单价、销量变化，列出利润等量关系，解方程，舍去不合实际的解。 【易错】涨价降价对应销量增减搞反；忽略单价取值限制，未检验结果合理性。 40．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）某水果超市购进一批枇杷，进价为每斤24元．调查发现，当销售价为每斤40元时，平均每天能售出20斤，而当销售价每降价1元时，平均每天能多售出2斤． (1)当每斤枇杷的销售价降价6元时，每天销量可达___________斤，每天盈利___________元； (2)若水果超市要使这批枇杷的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每斤枇杷的销售价应是多少元？ 41．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）泰州斩获年苏超冠军，全城沸腾．级景区溱湖湿地公园乘势发力，以生态风光联动城市体育荣光，推出多重惠民活动，广邀各地游客打卡水乡湿地．推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过人，每张票价元；如果超过人，每增加一人，每张票价降低元，但每张票价不得低于元． (1)若某旅行社购入团体票张，共需________元； (2)若某旅行社支付团体票费用元，则该旅行社购买了多少张团体票？ 42．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）榆林作为陕北剪纸的重要传承地，其剪纸文创产品广受欢迎．某商家通过线上平台销售榆林特色陕北剪纸文创画，经过一段时间发现：当每幅剪纸画的售价是50元时，每天可售出该剪纸画20幅；而当售价在35元至50元范围内时，这种剪纸画的售价每降低1元，每天就会多售出2幅，设该陕北剪纸文创画每幅的售价为元． (1)请用含的代数式表示每天能售出该陕北剪纸文创画_____幅； (2)已知这种陕北剪纸文创画的制作成本是每幅15元，若要保证每天盈利900元， ①求该陕北剪纸文创画每幅的售价应为多少元？ ②为了助力榆林剪纸艺术传承，商家决定每销售1幅该陕北剪纸文创画便通过线上平台自动向剪纸艺术保护组织捐款0.8元，求商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款多少元？ 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题（共3小题） 【步骤】设动点时间，表示线段长度，根据几何关系列方程，验根并舍去不合理解。 【易错】忽略动点运动范围限制；线段表达式符号出错，漏检验根的实际意义。 43．（26-27九年级上·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 44．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 45．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（共3小题） 46．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 47．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 48．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（共3小题） 【步骤】化为一般式，配方写成顶点式，根据 a 的正负判断，求出对应最值。 【易错】配方漏乘系数；忽略自变量取值范围，盲目套用顶点求最值。 49．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 50．（25-26九年级上·江西九江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 51．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 题型18 韦达定理综合（共3小题） 52．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 53．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）材料：已知、均不为0，若分式的值为零，则或，因为，即，所以关于的方程的两个解为：，． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：，． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)方程的两个解为：　　　，　　　； (2)若方程的两个解为，，求的值； (3)若关于的方程的两个解，满足，求的值． 54．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 题型19 一元二次方程的应用压轴（共3小题） 55．（26-27九年级上·江苏·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 56．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 57．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某市是江苏旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 题型20 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 58．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 59．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 60．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 一元二次方程 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念 题型2 一元二次方程的解 题型3 一元二次方程的四种解法（重点） 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础 题型6 一元二次方程的实际应用基础 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（重点） 题型8 一元二次方程解的估算 题型9 配方法的应用（重点） 题型10 换元法解一元二次方程 题型11 根的判别式（重点） 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（重点） 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（重点） 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（难点） 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（难点） 题型18 韦达定理综合（难点） 题型19 一元二次方程的应用压轴（难点） 题型20 一元二次方程的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的相关概念（共3小题） 【步骤】先判断是否整式方程，整理成标准形式，确定各项系数，注意二次项系数不为零。 【易错】容易忽略二次项系数不能为 0；移项变号出错，混淆一次项与常数项符号。 1．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. A选项含有,两个未知数，不符合. B选项可整理为，满足全部条件，符合. C选项未说明，当时方程最高次数不为2，不符合. D选项没有等号，不是方程，不符合. 2．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式后，若二次项系数为正数，则一次项系数为__________． 【答案】 【分析】将原方程展开移项，整理为二次项系数为正的一元二次方程一般形式，即可得到一次项系数． 【详解】解：展开原方程左边，得移项整理为一般形式，得，此时二次项系数为，是正数，因此一次项系数为． 3．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）将方程化成一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据一元二次方程一般形式判断即可． 【详解】解：由， 整理得， ∴二次项系数为， 一次项系数为， 常数项为． 题型2 一元二次方程的解（共3小题） 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 题型3 一元二次方程的四种解法（共6小题） 【步骤】观察方程特点，选合适解法求解，求出根后代入原方程检验取舍。 【易错】开平方漏正负号；配方时常数项漏乘；直接约去含未知数的式子丢根。 7．（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 8．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)​， (4) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：，，，， ， ， 解得​，； （4）解：， ，即， 解得． 9．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)无实数根 (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， （3）解：∵， ∴， ∴方程无实数根； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 题型4 利用根的判别式直接判断根的情况（共3小题） 【步骤】化为一般式，确定 a、b、c，算出 Δ，根据 Δ 正负判断方程实数根情况。 【易错】忽略二次项系数不为 0；计算 Δ 符号出错，混淆 Δ 三种情况结论。 10．（26-27九年级上·江苏·期中）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 11．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知关于x的方程 (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)此方程有两个不相等的实数根 (2)解得或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程以及求出判别式是值来判断方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，代入数值进行计算，即可作答． （2）把代入，得到关于的一元二次方程，再运用公式法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根： （2）解：将代入方程，得：， 整理得：， 解得或 题型5 一元二次方程根与系数的关系基础（共3小题） 【步骤】化为一般式，确认 Δ≥0，套用韦达定理，变形代数式代入求值。 【易错】忽略方程有实根前提；看错两根和、积符号，代数式变形出错。 13．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 14．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 15．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 题型6 一元二次方程的实际应用基础（共3小题） 【步骤】审题设未知数，列一元二次方程，求解，检验根是否符合实际题意。 【易错】忘记舍去不符合实际的根；单位不统一，等量关系梳理出现偏差。 16．（25-26九年级上·江苏·期中）某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． (1)设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） (2)超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件商品应降价5元 【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每件商品降价x元，用x表示出平均每天的销售量与每件商品的利润； （2）利用总利润=每件商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要让顾客得到更多实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是件，每件商品的利润是元． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让顾客得到更多实惠， 答：每件商品应降价5元． 17．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2)剪去的小正方形的边长为 【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，矩形性质理解，正方形性质理解等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键． （1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长为（），宽为，高为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设剪去的小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为，根据礼盒的侧面的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为， 则礼盒底面的长为（），宽为，高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ， ∴（）， 即该长方体礼品盒的体积为， 故答案为：； （2）设小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 18．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某草莓采摘园收费信息如下表： 成人票 儿童票 草莓价格 不超过8人，30元/人；超过8人每增加1人，人均票价下降2元，但不低于儿童票价． 20元/人 30元/斤 采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买． (1)周末，5个成人带领4个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8斤草莓，则该团需支付的总费用 元； (2)某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252元，求这次参加活动的共多少人？ 【答案】(1)470 (2)这次参加活动的共9人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），用成人总票价加上儿童总票价，再加上草莓的总价即可； 对于（2），先判断总人数超过了8人，再设超出的人数为x人，根据总票价相等列出方程，求出解，再根据题意得出答案． 【详解】（1）解：因为， 所以（元）. 故答案为：470； （2）解：（元），，总人数超过了8人 设超出的人数为x人，根据题意，得 解得：， 当时，单价：（元），，所以舍去， 则， 所以总人数为9人． 提升·进阶突破 题型7 根据一元二次方程的定义求参数（共3小题） 【步骤】依据定义列次数与系数条件，解方程求出参数，代入检验是否满足要求。 【易错】易漏掉二次项系数不为 0；忽略最高次数等于 2 这一核心条件。 19．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 题型8 一元二次方程解的估算（共3小题） 22．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 23．（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 24．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 题型9 配方法的应用（共3小题） 25．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)试用配方法求出代数式的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由如下： ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)代数式的最小值为 【分析】（1）将代入方程，整理得出，从而可得，即可得出结果； （2）利用配方法计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断：一元二次方程________（填“是”或“否”）为“C方程”． (2)已知关于x的一元二次方程． ①当b、c满足什么关系时，该方程是“C方程”； ②若方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)否 (2)①；②最小值为 【分析】（1）求出方程的根，结合新定义，进行判断即可； （2）①根据新定义把代入方程，进行求解即可；②结合①中的结论，利用配方法求出最小值即可. 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵，方程的根为和， ∴一元二次方程不是“C方程”． （2）解：①∵该方程是“C方程”， 即为方程的解， ， ， ∴， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 27．（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2）解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 题型10 换元法解一元二次方程（共3小题） 【步骤】设整体换元，转化为一元二次方程求解，回代求原未知数，检验结果。 【易错】忘记回代求原变量；换元后扩大取值范围，未检验产生增根。 28．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】 ， 【分析】将待求方程变形为，通过换元转化为已知根的原方程，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， 令， 则方程转化为， ∵已知方程的两个根为，， ∴，， 即或， 解得，． 29．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 30．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 题型11 根的判别式（共3小题） 31．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求的值； (2)求证：该方程有两个不相等的实数根； (3)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)或者； (2)证明：， 方程有两个不相等的实数根； (3)的值为5或4 【分析】（1）把代入原方程求解即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （3）利用公式法可求出方程的解，得出的长，然后分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 整理得， 解得或； （2）略； （3）解：一元二次方程的解为，即，， ， ． 当，，且时，是等腰三角形，则； 当，，且时，是等腰三角形，则，解得， 当时三边为5、6、5，当时三边为4、5、5，均满足三角形三边关系， 综合上述，的值为5或4． 32．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 33．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明：∵， ， ∴方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，理解题意，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出一元二次方程根的判别式，根据判别式大于等于 0 证明即可； （2）先用因式分解法解一元二次方程，或，由题意可知，然后解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 或， ∵方程有一个根为非负数， ， ． 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 34．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程两根之差为，求此时的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中， ，，， ． 对任意实数，，即， 方程总有两个实数根． (2)或 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根； （2）通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为的条件列绝对值方程，求解得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：将方程左边因式分解，得， 解得，， 方程两个根的差为， ，即， 化简得， 或， 解得或. 35．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 【答案】 3 【分析】一元二次方程有两个相等实数根，则判别式，代入已知条件变形计算即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ． （1）当，时，得， 代入，得， 整理得， 解得， ； （2）当，，时， 代入，得， 展开整理得， 因式分解得， ， 移项得， 由题意， ． 36．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【答案】(1) 证明：方程中，，，， ∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)2017 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出的值，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵该方程有一个根为1， ∴，即， ∴． 题型13 一元二次方程根与系数的关系综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）设，是方程的两个根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算即可求解． 【详解】（1）解：，是方程的两个根， ； （2）解：，是方程的两个根， ； （3）解：，， ． 38．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)已知该方程的两个根为、，则的值_________． 【答案】(1) 证明：一元二次方程中，，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）求出其根的判别式的值即可判断； （2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，，再整体代入所求代数式即可． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系可知，，， ∴． 39．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】(1) ① (2) 的值为或 (3) ，， 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【详解】（1）解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； （2） 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； （3）设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 【点睛】本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用． 题型14 一元二次方程的应用之销售问题（共3小题） 【步骤】找准单价、销量变化，列出利润等量关系，解方程，舍去不合实际的解。 【易错】涨价降价对应销量增减搞反；忽略单价取值限制，未检验结果合理性。 40．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）某水果超市购进一批枇杷，进价为每斤24元．调查发现，当销售价为每斤40元时，平均每天能售出20斤，而当销售价每降价1元时，平均每天能多售出2斤． (1)当每斤枇杷的销售价降价6元时，每天销量可达___________斤，每天盈利___________元； (2)若水果超市要使这批枇杷的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每斤枇杷的销售价应是多少元？ 【答案】(1)32；320 (2)每斤枇杷的销售价应是35元 【分析】（1）根据降价幅度计算增加的销量，再结合每斤利润计算总盈利； （2）设每斤枇杷的销售价降价x元，根据“总利润=每斤利润×销售量”列一元二次方程，结合“让顾客得到实惠”的条件选取合适的解，计算得到最终销售价． 【详解】（1）解：（斤）， （元）， ∴当每斤枇杷销售价降价6元时，每天销量可达32斤，每天盈利320元； （2）解：设每斤枇杷的销售价降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要让顾客得到实惠， ∴， ∴， 答：每斤枇杷的销售价应是35元． 41．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）泰州斩获年苏超冠军，全城沸腾．级景区溱湖湿地公园乘势发力，以生态风光联动城市体育荣光，推出多重惠民活动，广邀各地游客打卡水乡湿地．推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过人，每张票价元；如果超过人，每增加一人，每张票价降低元，但每张票价不得低于元． (1)若某旅行社购入团体票张，共需________元； (2)若某旅行社支付团体票费用元，则该旅行社购买了多少张团体票？ 【答案】(1) (2)旅行社一共购买了张团体票 【分析】（1）根据题意计算购入团体票张优惠后的票价，再和元比较，进而得出共需支付的费用． （2）设旅行社一共购买了张团体票，首先计算出当团体人数大于等于时，票价达到最低为元，再根据不能被整除，得出的取值范围，根据票价票数总价列方程，解得满足题意的的值． 【详解】（1）解：∵某旅行社购入团体票张， ∴每张票价：（元）， ，按每张票价元， ∴共需花费：（元）； 故答案为：； （2）解：设旅行社一共购买了张团体票， ∵（人）， （人）， ∴当团体人数大于等于时，票价达到最低为元， ∵，， ∴不能被整除， ∴，                             根据题意可列方程：， 解得：， ∵， ∴． 答：旅行社一共购买了张团体票． 42．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）榆林作为陕北剪纸的重要传承地，其剪纸文创产品广受欢迎．某商家通过线上平台销售榆林特色陕北剪纸文创画，经过一段时间发现：当每幅剪纸画的售价是50元时，每天可售出该剪纸画20幅；而当售价在35元至50元范围内时，这种剪纸画的售价每降低1元，每天就会多售出2幅，设该陕北剪纸文创画每幅的售价为元． (1)请用含的代数式表示每天能售出该陕北剪纸文创画_____幅； (2)已知这种陕北剪纸文创画的制作成本是每幅15元，若要保证每天盈利900元， ①求该陕北剪纸文创画每幅的售价应为多少元？ ②为了助力榆林剪纸艺术传承，商家决定每销售1幅该陕北剪纸文创画便通过线上平台自动向剪纸艺术保护组织捐款0.8元，求商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款多少元？ 【答案】(1) (2)①该陕北剪纸文创画每幅的售价应为元；②商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款元 【分析】本题考查一元二次方程在销售问题中的应用，关键是根据售价与销量的关系列出代数式，再结合盈利条件建立方程求解． （1）根据售价从元降到元，降价了元，每降1元多售出2幅，因此多售出幅，结合原有销量幅，得到总销量； （2）①根据“每幅利润销量总盈利”列出方程，求解后结合售价范围确定符合条件的售价； ②根据确定的售价算出销量，再乘以每幅的捐款额元，得到每天的捐款总额． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价元， 多售出幅， 每天能售出幅； （2）解：①每幅利润为元，销量为幅， 根据题意，得， 整理得：， 因式分解：， 解得，， ， 不符合条件，取， 答：该陕北剪纸文创画每幅的售价应为元； ②当时，销量为（幅）， 每天捐款为（元）， 答：商家每天通过销售该陕北剪纸文创画捐款元． 题型15 一元二次方程的应用之动态几何问题（共3小题） 【步骤】设动点时间，表示线段长度，根据几何关系列方程，验根并舍去不合理解。 【易错】忽略动点运动范围限制；线段表达式符号出错，漏检验根的实际意义。 43．（26-27九年级上·河南开封·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （3）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 44．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 45．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， 利用分割法得到，列出方程，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点，    ∵平行四边形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由题意，，，则， ∴， ∴， ∴ ， 解得； 此时，， ∴点与点重合，即， 故当时，的面积为12； （3）解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：，， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或． 拔高·压轴破难 题型16 一元二次方程的含参问题综合（共3小题） 46．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 47．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 48．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）若时，代数式的值为，则称是这个代数式的“自反值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和是的“自反值”． (1)代数式的“自反值”是_____； (2)若代数式（a为常数）只有一个“自反值”，求的值； (3)若代数式（，为常数，）对于任意常数恒有两个“自反值”，则的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2)0，4， (3) 【分析】本题主要考查了新定义、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“自反值”的定义列出关于x的方程求解即可； （2）根据“自反值”的定义可得，然后分和，分别根据列出关于a的方程求解即可； （3）根据“自反值”的定义列出关于x的方程，然后根据根的判别式列出关于b的不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ， ， ． 所以代数式的“自反值”是，． （2）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程只有一个解， ∴当时，可得一元一次方程，有1个解（符合题意）； 当时，可得一元二次方程，有1个解， ∴，整理得：，解得：或． 综上，a的值为0，4，． （3）解：由题意可得：，整理得：， ∵方程对于任意常数恒有两个解， ∴，即；， ∴对于任意常数恒成立， ∵， ∴要使对于任意常数恒成立，则，解得：． 综上，a的取值范围为． 题型17 利用一元二次方程的配方法求最值（共3小题） 【步骤】化为一般式，配方写成顶点式，根据 a 的正负判断，求出对应最值。 【易错】配方漏乘系数；忽略自变量取值范围，盲目套用顶点求最值。 49．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 50．（25-26九年级上·江西九江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2022． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 51．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 题型18 韦达定理综合（共3小题） 52．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 53．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）材料：已知、均不为0，若分式的值为零，则或，因为，即，所以关于的方程的两个解为：，． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：，． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)方程的两个解为：　　　，　　　； (2)若方程的两个解为，，求的值； (3)若关于的方程的两个解，满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，分式的值为零的条件，解题时要熟练掌握并能根据所给信息列出关系式是关键． （1）根据题意，由方程，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，由方程的两个解分别为m，n，则，，进而可得，将通分即可求解； （3）将方程转化为，进而求出，，代入，求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）由题意，方程的两个解分别为m，n，   则，，                           ， ； （3）由题意，方程为， ， 即． ，或，．           ，或，．                     或               又， 或． 或．                              又，，不合题意．                                综上所述，． 54．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【答案】(1)7 (2)①A；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，由此即可得到答案； （2）①将方程变为，从而得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，即可得出答案； ②根据题意可得是一元二次方程的两个不相等的实数根，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数，满足，， ∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）①解：方程两边同除以得： ， ∵， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 即，故A正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，即， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 题型19 一元二次方程的应用压轴（共3小题） 55．（26-27九年级上·江苏·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 56．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 57．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某市是江苏旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图）， ①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）； ②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？ ③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米． 【答案】(1) (2)①米；②米；③， 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可； （2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可； ②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可； ③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为， 根据题意可知， 整理得， 即， 解得：（负值舍去）； （2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆， ∵总篱笆长为34米， ∴， 解得：米； ②由①知米，米， ∵所围成花圃面积为105平方米， ∴， 解得，． 根据墙的最大可用长度可知：， 解得， 即； ③由题意可知， 解得：， 花圃面积平方米， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值108平方米． 题型20 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 58．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 59．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 60．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， $