专题13.3 分式方程 讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册

专题13.3 分式方程 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式方程的概念，能识别分式方程与整式方程 · 掌握解分式方程的一般步骤，能正确去分母并验根 · 理解增根产生的原因，会检验分式方程的根 · 能根据实际问题中的数量关系列出分式方程 · 能运用分式方程解决工程、行程、销售等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 分式方程与整式方程的区别：分母是否含未知数 判断一个方程是否为分式方程，只看分母是否含未知数 概念辨析例题：下列方程中，是分式方程的是（　　）A. =1 B. =1 C. +=1 解析：A分母为常数是整式方程；B分母含未知数x是分式方程；C分母为常数是整式方程。选B ☆ 2.解分式方程 基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程 步骤：①方程两边同乘最简公分母 ②解整式方程 ③检验 ④写结论 增根：使最简公分母为0的根，必须舍去 检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若为0则是增根 概念辨析例题：解方程：= 解析：两边同乘x(x-2)：x=3(x-2)，x=3x-6，2x=6，x=3。检验：x(x-2)=3×1=3≠0，所以x=3是原方程的解 ☆ 3.列分式方程解应用题 步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=效率×时间）、销售问题（总价=单价×数量） 验根要双检：检验是否为增根，检验是否符合实际意义 注意单位统一（如分钟换算为小时） 概念辨析例题：A、B两地相距15km，甲骑自行车从A到B，出发40分钟后乙乘汽车从A出发，结果同时到达。已知汽车速度是自行车的3倍，求自行车速度。 解析：设自行车速度为x km/h，则汽车速度为3x km/h。-=，解得x=15。检验符合题意 📋 知识总结表 核心概念 方法/步骤 注意事项 分式方程 分母含未知数的方程 与整式方程区分 去分母 两边同乘最简公分母 不要漏乘不含分母的项 解整式方程 按一元一次方程解法 注意符号变化 验根 代入最简公分母 为0则是增根须舍去 应用题 审设列解验答 双验：增根+实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】解分式方程（第1-16题） · 去分母时不要漏乘 · 解完整式方程后必须验根 · 增根使最简公分母为0 1．（2025春•静安区校级月考）把分式方程的两边同时乘以3（x+2）（x﹣2），约去分母，得（　　） A．6x+3x+6＝1 B．6x+3x+6＝x2﹣4 C．6x﹣3x+6＝x2﹣4 D．6x﹣3x﹣6＝x2﹣4 【考点】解分式方程． 【分析】根据解分式方程去分母的方法求解即可． 【解答】解：约去分母，得6x﹣3（x+2）＝x2﹣4，即为6x﹣3x﹣6＝x2﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式解题的关键， 2．（2023春•浦东新区校级月考）分式方程经过“去分母”和“去括号”步骤后得到的方程是（　　） A．2﹣3x﹣3＝1 B．2﹣3x﹣1＝1 C．2﹣3x+3＝x2﹣1 D．2﹣3x﹣3＝x2﹣1 【考点】解分式方程． 【分析】分式方程变形后，两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母，去括号得到结果，即可作出判断． 【解答】解：分式方程变形得：2﹣3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）， 去括号得：2﹣3x﹣3＝x2﹣1， 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 3．（2026•海南）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x 【考点】解分式方程． 【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，最后检验即可． 【解答】解：方程两边同乘（x+1），得2＝x+1， 移项，得x＝2﹣1， 合并同类项，得x＝1， 检验：把x＝1代入x+1≠0， ∴x＝1是分式方程的解． 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 4．（2025秋•隆回县期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（　　） A．2（x﹣5）﹣1＝4（x﹣6） B．2（x﹣5）﹣1＝2 C．2（x﹣5）+1＝4（x﹣6） D．2（x﹣5）+1＝2 【考点】解分式方程． 【分析】方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【解答】解：原方程可改写为：， 确定最简公分母为2（x﹣6），两边同乘2（x﹣6），得：2（x﹣5）+1＝4（x﹣6）． 故答案选：C． 【点评】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母， 5．（2025秋•张店区期末）对于两个不相等的实数P，q，我们规定符号max{p，q}表示P，q中的较大值，如：max{2，5}＝5，按照这个规定，方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝6 C．x＝2或x＝6 D．x＝2或x＝﹣6 【考点】解分式方程． 【分析】根据新规定分情况解方程即可． 【解答】解：当，即x＞0时，， 方程两边同乘x（3﹣x），得2（3﹣x）＝x， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x（3﹣x）≠0， 所以分式方程的解是x＝2； 当，即x＜0时，， 方程两边同乘x（3﹣x），得﹣2（3﹣x）＝x， 解得x＝6， 检验：当x＝6时x（3﹣x）≠0， 所以分式方程的解是x＝6； 此时6＞0，不符合题意，舍去 综上，方程的解为x＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，理解新规定运算法则是解题的关键． 6．（2025秋•宝山区校级期末）解分式方程：　3　 ． 【考点】解分式方程． 【分析】首先将分式方程的分母因式分解，找到最简公分母，然后两边同时乘以最简公分母，将方程化为整式方程，解整式方程后检验根是否使原方程的分母为零，从而确定增根和有效根． 【解答】解：原方程变形可得： ， （x﹣3）+2x＝x（x﹣1）， 即3x﹣3＝x2﹣x， x2﹣x﹣3x+3＝0， 即x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得x＝1或x＝3， 检验：当x＝1时，分母x（x﹣1）＝0，是增根； 当x＝3时，分母x（x﹣1）＝3×2＝6≠0，且x﹣1＝2≠0，即x＝3是方程的根． 故答案为：3． 【点评】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程． 7．（2026•徐汇区二模）分式方程的解是x＝2　 ． 【考点】解分式方程． 【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：把原方程变形为：， 方程两边同时乘x（x+2），得x2﹣1＝3， ∴x2＝4， ∴x＝±2， 检验：把x＝2代入x（x+2）≠0，把x＝﹣2代入x（x+2）＝0， ∴x＝2是分式方程的解，x＝﹣2是分式方程的增根． 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 8．（2025春•杨浦区校级月考）方程的解是 x＝0或x　 ． 【考点】解分式方程． 【分析】直接去分母后比较麻烦，观察方程两边的特点，先变形再方程通分转化为整式方程求解即可． 【解答】解：原方程可化为：， 通分得：， 化简得：， ∴当x＝0时，方程两边都为0，等式成立， 当x≠0时，（x+1）（x+2）＝（x+3）（x+4）， 去括号得：x2+3x+2＝x2+7x+12， 解得：x， 经检验，x＝0，x都是原方程的解， 故答案为：x＝0或x． 【点评】本题考查了求解较复杂的分式方程，观察方程的特点转化为整式方程，是解题的关键． 9．（2026•松江区校级模拟）方程0的解为x＝2　 ． 【考点】解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得， 2x+x﹣6＝0， 解得x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 故答案为：x＝2． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 10．（2024秋•浦东新区校级期末）对于代数式m和n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x+1）⊗（x﹣2），则2A﹣B＝　﹣9　 ． 【考点】解分式方程． 【分析】根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组 ，即得答案． 【解答】解：∵， ， ∴， ∴2A﹣B＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键． 11．（2024秋•宝山区期末）通过教材中分式单元的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和，如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似地，解方程， 这个方程的解是x＝ 　﹣2024．　 ． 【考点】解分式方程；分式的定义． 【分析】依据阅读材料的方法，原方程先拆项变形，求解即可． 【解答】解：， 1， ， x＝﹣2024， 经检验，x＝﹣2024是原方程的解， 故答案为：﹣2024． 【点评】本题考查了分式的加减混合运算，解分式方程，掌握分式单元的阅读材料的方法是解题的关键． 12．（2026•虹口区三模）解方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2， 整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0， 解得：x＝2或x＝﹣5， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， 当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2026•崇明区二模）解方程：． 【考点】解分式方程． 【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可． 【解答】解：原方程变形为， 去分母考点：x+1﹣4（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣3）， x+1﹣4x+8＝x2﹣5x+6， x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是原分式方程的解． ∴x＝﹣1． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 14．（2026•长宁区校级模拟）解方程： 【考点】解分式方程． 【分析】因为3x﹣9＝3（x﹣3），所以可确定方程的最简公分母为3（x﹣3）．确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程两边同乘3（x﹣3） 得2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3） 解得x＝3 经检验x＝3是原方程增根， ∴原方程无解． 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． （3）去分母时要注意符号的变化． 15．（2025秋•宝山区校级月考）解分式方程： （1）1； （2）； （3）． 【考点】解分式方程． 【分析】（1）先变形，再方程两边同乘1﹣3x将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，再方程两边同乘6（x﹣2）将分式方程化为整式方程求解即可； （3）方程两边同乘（x+1）（3x+4）将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）1， 方程可化为， 方程两边同乘1﹣3x，得x﹣2+7＝1﹣3x， 解得x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，1﹣3x≠0， 所以原分式方程的解是x＝﹣1； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘6（x﹣2），得3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2）， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，6（x﹣2）＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解； （3）， 方程两边同乘（x+1）（3x+4），得（2x+3）（3x+4）＝（6x+7）（x+1）， 解得x， 检验：当x时，（x+1）（3x+4）≠0， 所以分式方程的解是x． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 16．（2025秋•浦东新区校级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）填空：分式与互为“　5　 阶分式”； （2）已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； （3）已知分式、，且B与5C互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【考点】解分式方程；分式的加减法． 【分析】（1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得B+5C＝2，即，据此去分母求出M即可． 【解答】解：（1）求出分式与的和可知： ， ∴分式与互为“5阶分式”； 故答案为：5； （2）由条件可知， ∴ ； （3）∵、，且B与5C互为“2阶分式”， ∴， ∴， ∴（2x+1）（x+4）+5M＝2（x+4）（x﹣2）， ∴2x2+x+8x+4+5M＝2（x2+2x﹣8）， ∴2x2+9x+4+5M＝2x2+4x﹣16， ∴5M＝﹣5x﹣20， ∴M＝﹣x﹣4． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． 【考点2】由实际问题抽象出分式方程（第17-26题） · 找准等量关系 · 注意单位统一 · 设未知数后用代数式表示相关量 17．（2025秋•宝山区校级月考）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则x表示（　　） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【解答】解：∵第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ∴． 对比乐乐所列方程 ， 可得 x﹣6＝a，即 x＝a+6， ∴x表示第二次分钱的人数． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18．（2025秋•浦东新区校级月考）某校八年级学生到距学校15km的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发40min后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为xkm/h．根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据一部分学生骑自行车先走，出发40min后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【解答】解：已知汽车的速度是自行车速度的3倍， 设自行车的速度为xkm/h，则汽车的速度为3xkm/h，， ； 故选：D． 【点评】本题考查根据实际问题列分式方程，正确进行计算是解题关键． 19．（2026春•浦东新区校级月考）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为x人，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设原计划人数为x人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少4个的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 【解答】解：根据题意列出方程为， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是关键． 20．（2025秋•黄浦区校级月考）古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，结合35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可． 【解答】解：由题意可得，． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 21．（2026•松江区二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为x千米/小时，可列方程为　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】依据题意，设骑自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为（x+30）千米/小时，根据时间＝路程÷速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【解答】解：由题意，设骑自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为（x+30）千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． ∴可列方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 22．（2025春•上海校级月考）甲乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走x千米，则可列方程：　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据甲、乙速度间的关系，可得出乙每小时走（x﹣1）千米，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早到15分钟，可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵甲比乙每小时多走1千米，且设甲每小时走x千米， ∴乙每小时走（x﹣1）千米． 根据题意得：， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．（2025秋•普陀区校级月考）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为（x+1）万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【解答】解：根据题意得， 故答案为：． 【点评】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程． 24．（2025春•松江区期末）一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程 　（）×31　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得， （）×31， 故答案为：（）×31． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 25．（2025春•长宁区校级期中）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时…，设实际每天铺设管道x米，则可得方程15，那么题中用“…”表示的缺失的条件为 　实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题意和方程，可知缺失的条件为实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成． 【解答】解：∵实际每天铺设管道x米，则可得方程15， ∴缺失的条件为实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成， 故答案为：实际比原计划每天多铺设管道10米，结果提前15天完成． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的缺失条件． 26．（2025春•闵行区校级月考）甲乙两人骑自行车，从相距60千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲从A地出发至2千米时，想起有东西忘在A地，既返回去取，又立即从A地向B地行进，甲乙两人恰好在AB的中点相遇．已知甲的速度比乙的速度快2.5千米/小时．求甲乙两人的速度？ 设乙的速度是x千米/小时，则所列方程是　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得， ， 化简，得：， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【考点3】分式方程的应用（第27-41题） · 行程/工程/销售三类模型 · 双验根 · 结果要符合实际意义 27．（2024秋•杨浦区校级月考）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出6L来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（　　） A．6L B．9L C．12L D．18L 【考点】分式方程的应用． 【分析】设甲容器的容积为xL，则乙容器的容积为2xL，根据从两容器中各取出6L来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，列出分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：设甲容器的容积为xL，则乙容器的容积为2xL， 由题意得：， 解得：x1＝9，x2＝0， 经检验x1＝9，x2＝0都是原方程的根，但x2＝0不符合题意，舍去， ∴甲容器原有酒精9L， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 28．（2026春•虹口区校级月考）某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（　　）千米/时． A．11 B．12 C．13 D．14 【考点】分式方程的应用． 【分析】设橡皮船在静水中起初的速度为x千米/小时，根据“时间＝路程÷速度”可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x的值，经检验后即可得出结论． 【解答】解：设橡皮船在静水中起初的速度为x千米/小时，由题意得： 1， 整理得x2﹣5x﹣84＝0， 解得：x1＝12，x2＝﹣7（舍去）， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意． 所以橡皮船在静水中起初的速度为12千米/小时， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据数量关系找出关于x的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键． 29．（2025•徐汇区二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（　　） A．2千米/小时 B．3千米/小时 C．4千米/小时 D．5千米/小时 【考点】分式方程的应用． 【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时， 依题意，得：， 整理，得：x2+x﹣12＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣4， 经检验，x1＝3，x2＝﹣4是原方程的解，x1＝3符合题意，x2＝﹣4不符合题意，舍去． 所以学生返回时步行的速度为3千米/小时， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 30．（2025秋•闵行区校级期中）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（　　） A．实际每天铺设管道的长度 B．实际施工的天数 C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的天数 【考点】分式方程的应用． 【分析】根据方程中的实际意义求解即可． 【解答】解：由方程可得， 方程中x表示实际每天铺设管道的长度． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程的实际应用题，能正确分析题目中的等量关系是解题的关键． 31．（2025秋•浦东新区期末）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为　60m ． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设原计划每天铺设管道的长度为xm，由时间关系列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设原计划每天铺设管道的长度为xm， 由题意得：8， 解得：x＝60或x＝﹣5（舍去）， 经检验，x＝60是所列方程的解， 即原计划每天铺设管道的长度为60m， 故答案为：60m． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 32．（2025秋•黄浦区校级月考）小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表： 区间段 区间近似里程（km） 区间设计最高时速（km/h） 相应所用时间（h） A﹣B 48 v t1 B﹣C 88 1.1v t2 表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间t1比t2约少0.1h，那么区间设计最高时速v＝　320　 km/h． 【考点】分式方程的应用． 【分析】根据路程÷速度＝时间，结合两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间t1比t2约少0.1h，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得0.1， 解得：v＝320， 经检验，v＝320是原方程的解，且符合题意， 即区间设计最高时速v＝320km/h， 故答案为：320． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 33．（2025秋•浦东新区月考）甲、乙两港口相距50千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用8小时，已知水流速度为4km/h，若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则可列方程为 　　 ． 【考点】分式方程的应用． 【分析】根据题意可列出相对应的方程，本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间＝8h，从而可解答本题． 【解答】解：由题意可得，该轮船在静水中的速度为xkm/h， 顺流时间为：h，逆流时间为：h， 所列方程为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 34．（2025春•闵行区校级期中）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： （1）甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ （2）如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）设甲厂每天加工x件产品，则乙厂每天加工（x﹣10）件产品，根据甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设甲厂每天加工x件产品，则乙厂每天加工（x﹣10）件产品， 根据题意得：10， 解得：x1＝40，x2＝﹣30（不符合题意，舍去）， 经检验，x＝40时是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣10＝40﹣10＝30， 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品； （2）根据题意可知，1200÷（40+30）＝17（天）， ∵不满1天的，以1天时间计算， ∴至少需要18天， 答：至少需要18天． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 35．（2026•盘龙区校级一模）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】设购买一个A种机器人需x万元，则购买一个B种机器人需（x+5）万元，根据用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设购买一个A种机器人需x万元，则购买一个B种机器人需（x+5）万元， 由题意得：2， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴x+5＝65， 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 36．（2025秋•浦东新区期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣30）吨，根据每台新型机器人搬运900吨货物的时间和每台旧型机器人搬运600吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣30）吨， 由题意得：， 解得：x＝90， 经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 37．（2026春•崇明区期中）小军和小强两人同时从家骑自行车到篮球馆，已知小军家、小强家与篮球馆的距离分别为8千米、10千米，小军骑自行车每小时比小强慢4千米，结果两人同时到达篮球馆．求小强骑自行车的速度． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设小强骑自行车的速度为x千米/小时，则小军骑自行车的速度为（x﹣4）千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合两人同时到达篮球馆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设小强骑自行车的速度为x千米/小时，则小军骑自行车的速度为（x﹣4）千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意． 答：小强骑自行车的速度为20千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 38．（2026•嘉定区）无人机是现代科技领域的重要创新之一．使用无人机对茶园进行病虫害防治．可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积比人工每小时对茶园打药的作业面积多50亩，且对600亩茶园使用无人机打药的时间比人工打药的时间少50小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则人工每小时对茶园打药的作业面积为（x﹣50）亩，根据对600亩茶园使用无人机打药的时间比人工打药的时间少50小时，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则人工每小时对茶园打药的作业面积为（x﹣50）亩， 由题意得：50， 解得：x1＝60，x2＝﹣10， 经检验，x1＝60，x2＝﹣10是原方程的解，但x2＝﹣10不符合题意，舍去， 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 39．（2026春•上海校级月考）某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位上工作时，9个小时可完成一项生产任务；如果交换A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人效率不变时，也可以提前1个小时完成这项生产任务．问：同时交换A与B，C与D的工作岗位，可以提前几分钟完成这项生产任务？ 【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用． 【分析】用单位“1“法，先算交换A、B （或C、D）后每小时效率增加，同时交换后总效率为，计算完成时间并求出提前时长为108分钟． 【解答】解：交换A与B时，全组每小时多生产， 同时交换C与D时，全组每小时多生产， 所以，同样交换A与B，C与D之后， 全组每小时可以完成， 可知提前的时间为（小时）＝108分钟， 故可以提前108分钟完成任务． 【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，属于中档题． 40．（2025春•闵行区校级月考）2020年新年伊始，一场突如其来的新冠肺炎病毒席卷全国．在疫情肆虐的当下，口罩和医用防护服成了急需品，为了打赢疫情防控阻击战，多家企业紧急切换生产线“转战”防护服．某厂家的一条生产线要求在规定的天数内成产3600套医用防护服，但由于疫情严重，不但要在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量总要比原计划多20套．求原计划每天生产的医用防护服多少套． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设原计划每天生产医用防护服x套，根据题意列出方程求解，再检验方程的解即可得出答案． 【解答】解：设原计划每天生产医用防护服x套， 根据题意列分式方程得，， 整理得：x2+140x﹣24000＝0， 解得x1＝100，x2＝﹣240（不符合题意，舍去）， 经检验：x＝100是所列方程的解且符合题意． 答：原计划每天生产医用防护服100套． 【点评】本题考查了分式方程的应用、理解题意正确列出方程是解题的关键． 41．（2025秋•奉贤区期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】揭秘停车场充电桩的采购账单． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购A、B两种型号的充电桩．市场调研发现：A型号充电桩的单价比B型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买A、B两种型号的充电桩共20台，且A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的． [相关问题] 任务1 求A、B两种型号充电桩的单价（单位：万元）． 任务2 求该停车场购买这批A、B两种型号充电桩所需的总费用（单位：万元）． 【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用． 【分析】任务一：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为（x+0.2）万元，根据数量相等列出分式方程求解； 任务二：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩（20﹣m）台，根据“A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的”列出方程，求出m的值，可得A、B型号充电桩的数量，再结合（1）的单价可求总费用． 【解答】解：任务一：设A型号充电桩的单价为x万元，由题意得： ， 整理得：12（x+0.2）＝15x， 解得x＝0.8， 经检验，x＝0.8是所列方程的解且符合题意， ∴x+0.2＝1， 答：A型号充电桩的单价为0.8万元，B型号充电桩的单价为1万元； 任务二：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩（20﹣m）台，根据题意得： ， 解得：m＝8， 所以，20﹣m＝20﹣8＝12， 所以，总费用为0.8×8+1×12＝18.4（万元） 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用等，掌握其相关知识点是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 解分式方程的关键是去分母，注意不要漏乘不含分母的项 · 解完整式方程后必须验根，增根使最简公分母为0 · 列方程解应用题时注意单位统一，特别是时间单位 · 应用题验根要双检：既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义 · 行程问题画线段图帮助分析，工程问题设总工作量为1 【作业1】（2026秋•沧县校级月考）解分式方程，去分母后正确的整式方程是（　　） A．2x＝3（x﹣3） B．2x＝3x﹣3 C．2（x﹣3）＝3x D．2x＝3 【考点】解分式方程；方程的定义． 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：两边同乘以x（x﹣3）得：2x＝3（x﹣3）． 故选：A． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2025秋•曲靖期末）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣2）＝1+x B．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（x﹣2）＝1+x 【考点】解分式方程． 【分析】先确定分式的最简公分母为x﹣2，再把等式的左右两侧同时乘以x﹣2即可． 【解答】解：根据题意可知，等式两边同时乘以x﹣2得，1﹣2（x﹣2）＝﹣（1+x）， ∴1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x． 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 【作业3】（2026春•邓州市期中）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　） A．x+2＝4 B．x﹣2＝4 C．x﹣2＝4（x﹣1） D．x+2＝4（x﹣1） 【考点】解分式方程． 【分析】把分式方程变形为：，然后方程两边同时乘（x﹣1），即可得出答案． 【解答】解：把分式方程变形为：， 方程两边同时乘（x﹣1），得x﹣2＝4（x﹣1）． 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【作业4】（2025秋•浦东新区校级月考）南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设原计划每小时种x株，则实际每小时种（x+20）株，根据前1小时完成任务．列出分式方程即可． 【解答】解：设原计划每小时种x株， 根据题意得，． 故选：D． 【点评】本题考查从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【作业5】（2025秋•奉贤区期末）为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则用3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装x台充电桩，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每日安装（x+5）台充电桩，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划可提前10天完成，可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵原计划每日安装x台充电桩，且实际每日比原计划多安装5台， ∴实际每日安装（x+5）台充电桩． 根据题意得：10． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【作业6】（2025秋•浦东新区期末）“双十二”期间，某水果店打出苹果每公斤优惠4元的促销标语，结果小明发现同样用350元购买该店苹果，比优惠前可多买40%，求优惠后该苹果的售价．设该苹果优惠后每公斤x元，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设该苹果优惠后每公斤x元，则该苹果优惠前每公斤（x+4）元，根据同样用350元购买该店苹果，优惠后比优惠前可多买40%，列出分式方程即可． 【解答】解：设该苹果优惠后每公斤x元，则该苹果优惠前每公斤（x+4）元， 由题意得：•（1+40%）， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【作业7】（2025秋•虹口区校级期中）分数的分子、分母加上同一个数后，分数值为，则分子、分母加上的同一个数为　17　 ． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设分子、分母加上的同一个数为x，根据题意列方程式即可． 【解答】解：设分子、分母加上的同一个数为x， ， 解得：x＝17， 经检验，x＝17是原分式方程的解． 故答案为：17． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，理解题意是解题的关键． 【作业8】（2025春•浦东新区校级月考）一项工程，若甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲工程队单独做24天可以完成，则乙工程队单独做需要　12　 天可以完成． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设乙工程队单独做需要x天可以完成，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝整个工程量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设乙工程队单独做需要x天可以完成， 根据题意得：1， 解得：x＝12， ∴乙工程队单独做需要12天可以完成． 故答案为：12． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【作业9】（2025秋•闵行区期末）小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设小王每分钟做x道题，则小张每分钟做（x﹣2）道题；根据相同时间内做题量，利用时间相等列出方程． 【解答】解：设小王每分钟做x道题， 依题意，小张做40道题所需时间为分钟．小王做60道题所需时间为分钟， ∵时间相同， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了列分式方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业10】（2025春•虹口区校级期中）A、B两地相距24千米，甲、乙两人同时从A地出发，步行到B地，甲比乙每小时少走1千米，结果比乙晚到2小时，设甲每小时步行x千米，列方程　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】两个等量关系：甲的速度+1＝乙的速度；甲到B的时间＝乙到B的时间+2小时．可根据第二个关系式来列方程求解． 【解答】解：根据题意可得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【作业11】（2025春•徐汇区校级期中）某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程　　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】设原计划每天修x米，则实际每天修（x+15）米，根据实际比原计划提前2天完成了任务，列出方程即可． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：． 【点评】本题考查分式方程的应用，理解题意是关键． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期末）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】根据1班人数是2班人数的一半多7人，故设2班人数是r人，则1班人数是人，又因为八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元，所以得，解得r1＝26，r2＝﹣280＜0（舍去），然后验根作答即可． 【解答】解：设2班人数是r人，则1班人数是人， ∵八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元， ∴根据题意列分式方程得，， 解得r1＝26，r2＝﹣280＜0（舍去）， 经检验：r＝26是原分式方程的解， ∴2班人数是26人， ∴， 则1班人数是20人． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【作业13】（2025秋•青浦区校级期末）某市某小区共有市民3240人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务．“蓝天”医疗队现在每分钟检测几人？ 【考点】分式方程的应用． 【分析】设“蓝天”医疗队现在每分钟检测x人，1.5小时＝90分钟，根据医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务，列出分式方程即可． 【解答】解：设“蓝天”医疗队现在每分钟检测x人，1.5小时＝90分钟， 根据题意列分式方程得：， 整理得，90x2﹣540x﹣19440＝0， 解得x＝18， 经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意， 答：“蓝天”医疗队现在每分钟检测18人． 【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程． 【作业14】（2025秋•普陀区期末）阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为5%，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为100+100×5%+100×5%＝110（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设年利率为5%，本金为1元，则1年后的总金额1×（1+5%）＝1.05（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的1÷（1+5%）≈0.95（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． （1）本金10000元，年利率为4.45%，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为　10890　 元； （2）按照（1）中的方案，设折现率为10%，2年后取回的金额在当前时刻的价值为　9000　 元； （3）现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 【考点】分式方程的应用；百分数的应用． 【分析】（1）根据单利法，计算出利息，再加上本金即可得到答案； （2）根据折现的计算方法求解即可； （3）设该方案的收益率为r，根据折现率（此时对应收益率）应该使取回金额折现后的总金额等于其本金建立方程求解即可． 【解答】解：（1）10000+10000×4.45%×2＝10000+890＝10890（元）， 故答案为：10890； （2）10890÷（1+10%）2＝10890÷1.12＝9000（元）， ∴按照（1）中的方案，设折现率为10%，2年后取回的金额在当前时刻的价值为9000元； 故答案为：9000； （3）设该方案的收益率为r， 由题意得，10300÷（1+r）+10609÷（1+r）2＝20000， 解得r＝0.03＝3%（已检验，是原方程的解，且符合题意）或r＝﹣1.515（舍去）， 答：该方案的收益率为3%． 【点评】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【作业15】（2025秋•宝山区期末）防护用品常用防晒指数（SPF值）表示其防晒能力，SPF值是指使用该产品可以延缓多少倍的晒伤时间．其对抗紫外线的防护率为：防护率（其中SPF≥1）．某款防晒霜的宣传广告如图所示： （1）第一代防晒霜的防护率是　96%　 ； （2）试判断广告内容是否合理，并说明理由； （3）某商店同时销售该产品第一代和第二代防晒霜，某日第一代防晒霜的销售额为3000元，第二代防晒霜的销售额为4680元．已知第二代防晒霜的单价比第一代贵15元，且其当日销售量比第一代多30%，求第二代防晒霜的销售单价． 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）根据防晒霜的防护率公式计算即可； （2）计算出第二代防晒霜的防护率，根据广告内容得到第二代防晒霜的防护率，比较即可判断内容不合理； （3）设第二代防晒霜的单价为x元，则第一代防晒霜的单价为（x﹣15）元，根据等量关系列出分式方程即可求解，注意检验． 【解答】解：（1）由题意可知，第一代防晒霜的防晒指数（SPF值）为25， 依据防护率的公式得：第一代防晒霜的防护率， 故答案为：96%； （2）广告内容不合理；理由如下： 由题意可知，第二代防晒霜的防晒指数（SPF值）为50， ∴第二代防晒霜的防护率； 根据广告内容，第二代防晒霜的防护率应为第一代防晒霜的2倍，即为2×96%＝192%，而实际第二代防晒霜的防护率； 故广告内容不合理； （3）设第二代防晒霜的单价为x元，则第一代防晒霜的单价为（x﹣15）元， 由题意得：， 解得：x＝90（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 答：第二代防晒霜的单价为90元． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键． 【作业16】（2025秋•闵行区期末）理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来n年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为5%时，1年后的1000元折算成当前时刻的价值为元，2年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金．此时的折现率也称为理财方案的收益率． （1）当折现率为r时，2年后的m元折现成当前时刻的价值可表示为　　 元（用含r、m的代数式表示）； （2）下表所列的是一个分2年返回的理财方案： 方案 本金（元） 1年后返回的金额（元） 2年后返回的金额（元） 收益率 8000 6000 5000 请求出此方案的收益率r． 【考点】分式方程的应用；列代数式． 【分析】（1）根据提列式即可； （2）由题意得，令1+r＝x，则，求出x，进而即可求出r． 【解答】解：（1）当折现率为r时，2年后的m元折现成当前时刻的价值可表示为， 故答案为：； （2）由题意得， 令1+r＝x， 则， 解得，（舍去）， ∴， 答：此方案的收益率r为25%． 【点评】本题考查了代数式，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． 【作业17】（2025秋•虹口区期末）《上海市初中毕业升学体育统一考试项目成绩评价标准》规定，女生800米跑成绩若在3分39秒至3分26秒之间（含端点），可获得附加分0.5分；若成绩达到3分25秒及以上，可获得附加分1分（统一考试总分仍为15分）． 在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少54秒．那么按照上述评价标准，在这次计时跑步中，这名女生的成绩是否能获得附加分？请说明理由． 【考点】分式方程的应用． 【分析】根据题意列出方程并求解，参照结果的成绩范围，则可判断是否能获得附加分． 【解答】解：能获得附加分． 设这名女生的成绩为x分，则这名男生跑完1000米所用的时间为分， 根据题意，得， 解得x＝3.6， 3.6分钟＝3分36秒，在3分39秒至3分26秒之间，所以可获得附加分0.5分． 【点评】本题考查了分式方程的行程问题，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业18】（2025秋•闵行区期末）一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速50%行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 【考点】分式方程的应用． 【分析】先设原计划的行驶速度为x千米/小时，根据开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米，后续的行程提速50%行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，进行列方程，解得x＝60，最后验根，即可作答． 【解答】解：设原计划的行驶速度为x千米/小时，则提速后的速度为（1+50%）x千米/小时， 依题意得：， 整理得：2x＝120， 解得：x＝60（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 答：原计划的行驶速度为60千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是根据题意找到关系式． 【作业19】（2025秋•松江区期末）某超市购进两种松江大米的礼盒装，其中甲礼盒的购进数量是乙礼盒的3倍，已知购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元． （1）求甲、乙两种礼盒分别购进了多少盒？ （2）该超市将两种礼盒按进价提高n%后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，求n的值． 【考点】分式方程的应用． 【分析】（1）设乙种礼盒购进了x盒，则甲种礼盒购进了3x盒，根据购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元，列分式方程，求解即可，注意检验； （2）分别求出甲、乙两种礼盒每盒的进价，再根据该超市将两种礼盒按进价提高n%后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，列一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）设乙种礼盒购进了x盒， ， 解得：x＝150， 经检验：x＝150是原方程的解， 3x＝3×150＝450， 答：甲种礼盒购进了450盒，乙种礼盒购进了150盒； （2）解：由（1）可知： 甲种礼盒每盒的进价元， 乙种礼盒每盒的进价元， 根据题意，得：20×n%×450+40×n%×150＝3600， 解得：n＝24， 答：n的值是24． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意并根据题意建立相应等量关系是解题的关键，分式方程注意检验． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 分式方程 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分式方程的概念，能识别分式方程与整式方程 · 掌握解分式方程的一般步骤，能正确去分母并验根 · 理解增根产生的原因，会检验分式方程的根 · 能根据实际问题中的数量关系列出分式方程 · 能运用分式方程解决工程、行程、销售等实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 分式方程与整式方程的区别：分母是否含未知数 判断一个方程是否为分式方程，只看分母是否含未知数 概念辨析例题：下列方程中，是分式方程的是（　　）A. =1 B. =1 C. +=1 解析：A分母为常数是整式方程；B分母含未知数x是分式方程；C分母为常数是整式方程。选B ☆ 2.解分式方程 基本思路：去分母，将分式方程转化为整式方程 步骤：①方程两边同乘最简公分母 ②解整式方程 ③检验 ④写结论 增根：使最简公分母为0的根，必须舍去 检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若为0则是增根 概念辨析例题：解方程：= 解析：两边同乘x(x-2)：x=3(x-2)，x=3x-6，2x=6，x=3。检验：x(x-2)=3×1=3≠0，所以x=3是原方程的解 ☆ 3.列分式方程解应用题 步骤：审、设、列、解、验、答 常见类型：行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=效率×时间）、销售问题（总价=单价×数量） 验根要双检：检验是否为增根，检验是否符合实际意义 注意单位统一（如分钟换算为小时） 概念辨析例题：A、B两地相距15km，甲骑自行车从A到B，出发40分钟后乙乘汽车从A出发，结果同时到达。已知汽车速度是自行车的3倍，求自行车速度。 解析：设自行车速度为x km/h，则汽车速度为3x km/h。-=，解得x=15。检验符合题意 📋 知识总结表 核心概念 方法/步骤 注意事项 分式方程 分母含未知数的方程 与整式方程区分 去分母 两边同乘最简公分母 不要漏乘不含分母的项 解整式方程 按一元一次方程解法 注意符号变化 验根 代入最简公分母 为0则是增根须舍去 应用题 审设列解验答 双验：增根+实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】解分式方程（第1-16题） · 去分母时不要漏乘 · 解完整式方程后必须验根 · 增根使最简公分母为0 1．（2025春•静安区校级月考）把分式方程的两边同时乘以3（x+2）（x﹣2），约去分母，得（　　） A．6x+3x+6＝1 B．6x+3x+6＝x2﹣4 C．6x﹣3x+6＝x2﹣4 D．6x﹣3x﹣6＝x2﹣4 2．（2023春•浦东新区校级月考）分式方程经过“去分母”和“去括号”步骤后得到的方程是（　　） A．2﹣3x﹣3＝1 B．2﹣3x﹣1＝1 C．2﹣3x+3＝x2﹣1 D．2﹣3x﹣3＝x2﹣1 3．（2026•海南）分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x 4．（2025秋•隆回县期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（　　） A．2（x﹣5）﹣1＝4（x﹣6） B．2（x﹣5）﹣1＝2 C．2（x﹣5）+1＝4（x﹣6） D．2（x﹣5）+1＝2 5．（2025秋•张店区期末）对于两个不相等的实数P，q，我们规定符号max{p，q}表示P，q中的较大值，如：max{2，5}＝5，按照这个规定，方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝6 C．x＝2或x＝6 D．x＝2或x＝﹣6 6．（2025秋•宝山区校级期末）解分式方程：_____ ． 7．（2026•徐汇区二模）分式方程的解是________ ． 8．（2025春•杨浦区校级月考）方程的解是 ____________________ ． 9．（2026•松江区校级模拟）方程0的解为________ ． 10．（2024秋•浦东新区校级期末）对于代数式m和n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x+1）⊗（x﹣2），则2A﹣B＝_______ ． 11．（2024秋•宝山区期末）通过教材中分式单元的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和，如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似地，解方程， 这个方程的解是x＝ ____________________ ． 12．（2026•虹口区三模）解方程：． 13．（2026•崇明区二模）解方程：． 14．（2026•长宁区校级模拟）解方程： 15．（2025秋•宝山区校级月考）解分式方程： （1）1； （2）； （3）． 16．（2025秋•浦东新区校级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）填空：分式与互为“_____ 阶分式”； （2）已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； （3）已知分式、，且B与5C互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【考点2】由实际问题抽象出分式方程（第17-26题） · 找准等量关系 · 注意单位统一 · 设未知数后用代数式表示相关量 17．（2025秋•宝山区校级月考）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则x表示（　　） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 18．（2025秋•浦东新区校级月考）某校八年级学生到距学校15km的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发40min后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为xkm/h．根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 19．（2026春•浦东新区校级月考）某工厂生产零件80个，实际参与生产的人数是原计划人数的1.5倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了4个，若设原计划人数为x人，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 20．（2025秋•黄浦区校级月考）古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 21．（2026•松江区二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为x千米/小时，可列方程为____________________ ． 22．（2025春•上海校级月考）甲乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走x千米，则可列方程：____________________ ． 23．（2025秋•普陀区校级月考）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程____________________ ． 24．（2025春•松江区期末）一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，可列方程 ____________________ ． 25．（2025春•长宁区校级期中）某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时…，设实际每天铺设管道x米，则可得方程15，那么题中用“…”表示的缺失的条件为 ____________________ ． 26．（2025春•闵行区校级月考）甲乙两人骑自行车，从相距60千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲从A地出发至2千米时，想起有东西忘在A地，既返回去取，又立即从A地向B地行进，甲乙两人恰好在AB的中点相遇．已知甲的速度比乙的速度快2.5千米/小时．求甲乙两人的速度？ 设乙的速度是x千米/小时，则所列方程是____________________ ． 【考点3】分式方程的应用（第27-41题） · 行程/工程/销售三类模型 · 双验根 · 结果要符合实际意义 27．（2024秋•杨浦区校级月考）甲容器盛满酒精，乙容器盛满水，乙容器的容量是甲容器的2倍．现从两容器中各取出6L来，然后把酒精注入乙容器，把水注入甲容器，这时甲、乙两容器中酒精与水量的比相等，则甲容器原有酒精（　　） A．6L B．9L C．12L D．18L 28．（2026春•虹口区校级月考）某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（　　）千米/时． A．11 B．12 C．13 D．14 29．（2025•徐汇区二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（　　） A．2千米/小时 B．3千米/小时 C．4千米/小时 D．5千米/小时 30．（2025秋•闵行区校级期中）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（　　） A．实际每天铺设管道的长度 B．实际施工的天数 C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的天数 31．（2025秋•浦东新区期末）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为________ ． 32．（2025秋•黄浦区校级月考）小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表： 区间段 区间近似里程（km） 区间设计最高时速（km/h） 相应所用时间（h） A﹣B 48 v t1 B﹣C 88 1.1v t2 表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间t1比t2约少0.1h，那么区间设计最高时速v＝________ km/h． 33．（2025秋•浦东新区月考）甲、乙两港口相距50千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用8小时，已知水流速度为4km/h，若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则可列方程为 ____________________ ． 34．（2025春•闵行区校级期中）某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： （1）甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ （2）如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 35．（2026•盘龙区校级一模）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 36．（2025秋•浦东新区期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 37．（2026春•崇明区期中）小军和小强两人同时从家骑自行车到篮球馆，已知小军家、小强家与篮球馆的距离分别为8千米、10千米，小军骑自行车每小时比小强慢4千米，结果两人同时到达篮球馆．求小强骑自行车的速度． 38．（2026•嘉定区）无人机是现代科技领域的重要创新之一．使用无人机对茶园进行病虫害防治．可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积比人工每小时对茶园打药的作业面积多50亩，且对600亩茶园使用无人机打药的时间比人工打药的时间少50小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 39．（2026春•上海校级月考）某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位上工作时，9个小时可完成一项生产任务；如果交换A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人效率不变时，也可以提前1个小时完成这项生产任务．问：同时交换A与B，C与D的工作岗位，可以提前几分钟完成这项生产任务？ 40．（2025春•闵行区校级月考）2020年新年伊始，一场突如其来的新冠肺炎病毒席卷全国．在疫情肆虐的当下，口罩和医用防护服成了急需品，为了打赢疫情防控阻击战，多家企业紧急切换生产线“转战”防护服．某厂家的一条生产线要求在规定的天数内成产3600套医用防护服，但由于疫情严重，不但要在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量总要比原计划多20套．求原计划每天生产的医用防护服多少套． 41．（2025秋•奉贤区期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】揭秘停车场充电桩的采购账单． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购A、B两种型号的充电桩．市场调研发现：A型号充电桩的单价比B型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买A、B两种型号的充电桩共20台，且A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的． [相关问题] 任务1 求A、B两种型号充电桩的单价（单位：万元）． 任务2 求该停车场购买这批A、B两种型号充电桩所需的总费用（单位：万元）． 💯 课后巩固 复习建议 · 解分式方程的关键是去分母，注意不要漏乘不含分母的项 · 解完整式方程后必须验根，增根使最简公分母为0 · 列方程解应用题时注意单位统一，特别是时间单位 · 应用题验根要双检：既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义 · 行程问题画线段图帮助分析，工程问题设总工作量为1 【作业1】（2026秋•沧县校级月考）解分式方程，去分母后正确的整式方程是（　　） A．2x＝3（x﹣3） B．2x＝3x﹣3 C．2（x﹣3）＝3x D．2x＝3 【作业2】（2025秋•曲靖期末）解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣2）＝1+x B．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（x﹣2）＝1+x 【作业3】（2026春•邓州市期中）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（　　） A．x+2＝4 B．x﹣2＝4 C．x﹣2＝4（x﹣1） D．x+2＝4（x﹣1） 【作业4】（2025秋•浦东新区校级月考）南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2025秋•奉贤区期末）为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则用3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装x台充电桩，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2025秋•浦东新区期末）“双十二”期间，某水果店打出苹果每公斤优惠4元的促销标语，结果小明发现同样用350元购买该店苹果，比优惠前可多买40%，求优惠后该苹果的售价．设该苹果优惠后每公斤x元，则可得方程（　　） A． B． C． D． 【作业7】（2025秋•虹口区校级期中）分数的分子、分母加上同一个数后，分数值为，则分子、分母加上的同一个数为_______ ． 【作业8】（2025春•浦东新区校级月考）一项工程，若甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲工程队单独做24天可以完成，则乙工程队单独做需要_______ 天可以完成． 【作业9】（2025秋•闵行区期末）小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程____________________ ． 【作业10】（2025春•虹口区校级期中）A、B两地相距24千米，甲、乙两人同时从A地出发，步行到B地，甲比乙每小时少走1千米，结果比乙晚到2小时，设甲每小时步行x千米，列方程____________________ ． 【作业11】（2025春•徐汇区校级期中）某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程____________________ ． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期末）为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【作业13】（2025秋•青浦区校级期末）某市某小区共有市民3240人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测6人，那么可以缩短1.5小时完成任务．“蓝天”医疗队现在每分钟检测几人？ 【作业14】（2025秋•普陀区期末）阅读下列材料，并回答问题： 单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，100元的本金，年利率为5%，存期2年，逐年计息，2年后可取回金额为100+100×5%+100×5%＝110（元）． 折现：金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设年利率为5%，本金为1元，则1年后的总金额1×（1+5%）＝1.05（元），相当于当前时刻的1元，进一步，1年后的1元就相当于当前时刻的1÷（1+5%）≈0.95（元）．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中的比率则称为折现率． 收益率：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．此时该折现率也称为理财方案的收益率． （1）本金10000元，年利率为4.45%，存期2年，逐年计息，按照单利法，2年后可取回金额为__________ 元； （2）按照（1）中的方案，设折现率为10%，2年后取回的金额在当前时刻的价值为_________ 元； （3）现有一种理财方案，本金20000元，1年后返回10300元，2年后返回10609元，求该方案的收益率． 【作业15】（2025秋•宝山区期末）防护用品常用防晒指数（SPF值）表示其防晒能力，SPF值是指使用该产品可以延缓多少倍的晒伤时间．其对抗紫外线的防护率为：防护率（其中SPF≥1）．某款防晒霜的宣传广告如图所示： （1）第一代防晒霜的防护率是________ ； （2）试判断广告内容是否合理，并说明理由； （3）某商店同时销售该产品第一代和第二代防晒霜，某日第一代防晒霜的销售额为3000元，第二代防晒霜的销售额为4680元．已知第二代防晒霜的单价比第一代贵15元，且其当日销售量比第一代多30%，求第二代防晒霜的销售单价． 【作业16】（2025秋•闵行区期末）理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来n年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为5%时，1年后的1000元折算成当前时刻的价值为元，2年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金．此时的折现率也称为理财方案的收益率． （1）当折现率为r时，2年后的m元折现成当前时刻的价值可表示为____________________ 元（用含r、m的代数式表示）； （2）下表所列的是一个分2年返回的理财方案： 方案 本金（元） 1年后返回的金额（元） 2年后返回的金额（元） 收益率 8000 6000 5000 请求出此方案的收益率r． 【作业17】（2025秋•虹口区期末）《上海市初中毕业升学体育统一考试项目成绩评价标准》规定，女生800米跑成绩若在3分39秒至3分26秒之间（含端点），可获得附加分0.5分；若成绩达到3分25秒及以上，可获得附加分1分（统一考试总分仍为15分）． 在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少54秒．那么按照上述评价标准，在这次计时跑步中，这名女生的成绩是否能获得附加分？请说明理由． 【作业18】（2025秋•闵行区期末）一辆小车开往距离出发地200千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶80千米后，因有紧急事件，后续的行程提速50%行驶，最终比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度． 【作业19】（2025秋•松江区期末）某超市购进两种松江大米的礼盒装，其中甲礼盒的购进数量是乙礼盒的3倍，已知购进甲礼盒共花费9000元，购进乙礼盒共花费6000元，且甲礼盒每盒的进价比乙礼盒每盒的进价少20元． （1）求甲、乙两种礼盒分别购进了多少盒？ （2）该超市将两种礼盒按进价提高n%后定价销售，全部售完后，两种礼盒的利润总和为3600元，求n的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $