专题07分式方程精讲(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理从定义（分母含未知数）到解法（去分母转化整式方程，双重检验），再到增根（定义、成因、特征）及解的三种情况，最后延伸至列分式方程解应用题的完整步骤，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料亮点在于题型分类细致（10类题型含难度分级），结合物流、行程等实际情境培养模型意识，通过高频错误分析（如漏乘公分母、验根缺失）提升推理意识，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化严谨运算习惯与问题解决能力。

专题07分式方程精讲学案 核心立意 能够识别分式方程，熟练掌握规范化解题流程，厘清增根形成的根本原因；可以根据实际情境建立分式方程模型，严格执行双重检验，培养严谨的运算习惯，提升方程应用建模能力。 分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 示例：=2 是分式方程；=1 是整式方程。 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 应用题核心等量关系 重点辨析 1.分式方程与整式方程：区分依据是原方程分母内是否含有未知数，与化简结果无关。 2.增根和无解：方程有增根未必无解；无解包含整式方程无解、根均为增根两种独立情形。 3.检验的两层含义：解方程层面检验最简公分母；应用题层面检验解的现实合理性，两项检验各司其职，不可互相替代。 1.概念误判：依据化简后的形式判定方程类型，忽略原方程分母含有未知数。 2.去分母运算失误：无分母的常数项漏乘最简公分母；多项式分子去分母后未添加括号，引发符号错误。 3.验根环节缺失：直接省略检验步骤；将解代入整式方程验根，而非代入最简公分母。 4.参数题考虑不全：限定解的范围时，没有排除增根对应的参数；分析无解只考虑增根，遗漏整式方程无解的情形。 5.应用题答题疏漏：设元不带单位；只检验增根，忽略实际意义校验；答句遗漏单位 题型 考察方向 难度 题型一 分式方程的定义 ★ 题型二 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型三 分式方程无解问题 ★★★★ 题型四 解分式方程 ★★ 题型五 列分式方程 ★★★ 题型六 分式方程的行程问题 ★★★★ 题型七 分式方程的工程问题 ★★★★ 题型八 分式方程的经济问题 ★★★★ 题型九 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十 分式方程其它实际问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：分式方程的定义 解题思路：①判断原式是不是等式；②检查原方程分母是否含有未知数；③分母不含未知数就是整式方程；④依据原式判定，不看化简后的式子。 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 4．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 题型二 根据分式方程解的情况求值 解题思路：①两边乘最简公分母，化成整式方程；②解整式方程，用参数表示未知数；③按题意列出不等式；④排除使原分母等于0的取值；⑤算出参数范围；⑥检验边界值。 5．如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 6．若关于的分式方程有增根，则这个增根是（     ） A． B． C． D． 7．若关于的分式方程有增根，则_____________． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型三 分式方程无解问题 解题思路：①两边乘最简公分母，化成整式方程；②判断整式方程本身是否无解；③令分母等于0，求出全部增根；④把增根代入整式方程求参数；⑤汇总所有参数；⑥回代验证。 9．关于的分式方程无解，则的值为______． 10．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D． 11．若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 12．关于x的分式方程无解，则m的取值范围（     ） A． B． C．且 D．或 题型四 解分式方程 解题思路：①找出最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，去掉分母；③解一元一次方程；④把结果代入原分母检验；⑤分母不为零即为方程的根。 13．方程的解为_______． 14．解方程方程两边乘得到的方程为（     ） A． B． C． D． 15．______时，关于的方程的解为． 16．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 题型五 列分式方程 解题思路：①读题找出等量关系；②设未知数；③用未知数表示其它相关量；④根据等量关系列分式方程；⑤不用解方程。 17．小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程______． 18．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为__________． 19．我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工个零件，可列分式方程为__________________． 20．《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．表示 D．表示 题型六 分式方程的行程问题 解题思路：①明确路程、速度、时间；②选定一个量设未知数；③用未知数写出另外两个量；④利用时间差或速度差建立等式；⑤列出分式方程。 21．宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 22．小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 23．如图所示是我国自主研发的电动垂直起降航空器“盛世龙”，又被称为“空中出租车”，盛世龙预计在年实现载人飞行．小明搜集的相关资料显示，从太原到北京铁路里程约为，空中航线约为，“盛世龙”的平均飞行速度与高铁的平均行驶速度相同，若乘坐盛世龙从太原到北京，盛世龙需要在换电站更换一次电池，用时．若盛世龙从太原飞至北京总用时比乘坐高铁节约，则按照小明搜集的数据计算，盛世龙从太原飞至北京总共需要多长时间？ 题型七 分式方程的工程问题 解题思路：①总工程量记作1；②用未知数表示各方工作效率；③确定各自的工作时长；④工作量相加等于总工程量；⑤列出分式方程。 24．自动分拣矩阵配套设备采用我国自主研发的仓储控制系统（WCS）等核心软件，可实现大件包裹快速扫码识别与精准分拣，大幅提升物流中转效率．已知1台自动分拣矩阵配套设备每小时分拣快递的数量是1名工人每小时分拣数量的4倍，1台设备分拣3000件快递比1名工人分拣这些包裹要少用3小时．设1名工人每小时能分拣x件包裹，则可列方程为（     ） A． B． C．D． 25．我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 26．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 题型八 分式方程的经济问题 解题思路：①分清单价、数量、总价；②设未知数；③表示变化前后的单价、数量；④利用价格差或数量差建立等式；⑤列出分式方程。 27．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．设商场第一次购进这种运动服x套，则可列方程（   ） A． B． C． D． 28．黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是________元． 29．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔数量小于200支只能按零售价付款．已知零售价是批发价的1.2倍．某学校开展区域性会议，需要购买一批铅笔，学校派采购人员小明到该店购买铅笔，花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱． (1)在该文具店购买铅笔的批发价是每支多少元？ (2)某学校计划在该文具店购买支铅笔，求购买所需的费用（用含有的式子表示）． 题型九 分式方程和差倍分问题 解题思路：①找出和、差、倍数的条件；②设未知数；③用未知数表示其它数量；④把文字条件转写成等式；⑤列出分式方程。 30．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 31．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 32．山西老陈醋是中国四大名醋之一，至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某副食店第一次购进了总价为9000元的陈醋若干壶，第二次又补购了4050元相同规格的陈醋，进货单价比第一次便宜了2元，并且第二次的补货量恰好是第一次的一半．求这两次购进陈醋的单价分别是多少元． 题型十 分式方程的其它实际问题 解题思路：①分清变量和不变量；②设未知数；③用未知数表示其它相关量；④用不变量构建等量关系；⑤列出分式方程。 33．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 34．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 35．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 解答题 1．解分式方程： (1)． (2)． 2．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 3．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 4．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 5．猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 6．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 7．列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． (1)求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ (2)为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式方程精讲学案 核心立意 能够识别分式方程，熟练掌握规范化解题流程，厘清增根形成的根本原因；可以根据实际情境建立分式方程模型，严格执行双重检验，培养严谨的运算习惯，提升方程应用建模能力。 分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 关键区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。 示例：=2 是分式方程；=1 是整式方程。 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 分式方程解的三种情况 1.有唯一解：检验后最简公分母不为 0； 2.无解：①整式方程无解 ②整式方程的解都是增根； 3.有增根：仅说明该根使分母为 0，不代表方程无解。 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 应用题核心等量关系 重点辨析 1.分式方程与整式方程：区分依据是原方程分母内是否含有未知数，与化简结果无关。 2.增根和无解：方程有增根未必无解；无解包含整式方程无解、根均为增根两种独立情形。 3.检验的两层含义：解方程层面检验最简公分母；应用题层面检验解的现实合理性，两项检验各司其职，不可互相替代。 1.概念误判：依据化简后的形式判定方程类型，忽略原方程分母含有未知数。 2.去分母运算失误：无分母的常数项漏乘最简公分母；多项式分子去分母后未添加括号，引发符号错误。 3.验根环节缺失：直接省略检验步骤；将解代入整式方程验根，而非代入最简公分母。 4.参数题考虑不全：限定解的范围时，没有排除增根对应的参数；分析无解只考虑增根，遗漏整式方程无解的情形。 5.应用题答题疏漏：设元不带单位；只检验增根，忽略实际意义校验；答句遗漏单位 题型 考察方向 难度 题型一 分式方程的定义 ★ 题型二 根据分式方程解的情况求值 ★★★ 题型三 分式方程无解问题 ★★★★ 题型四 解分式方程 ★★ 题型五 列分式方程 ★★★ 题型六 分式方程的行程问题 ★★★★ 题型七 分式方程的工程问题 ★★★★ 题型八 分式方程的经济问题 ★★★★ 题型九 分式方程和差倍分问题 ★★★ 题型十 分式方程其它实际问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点 题型一：分式方程的定义 解题思路：①判断原式是不是等式；②检查原方程分母是否含有未知数；③分母不含未知数就是整式方程；④依据原式判定，不看化简后的式子。 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 3．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 4．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 题型二 根据分式方程解的情况求值 解题思路：①两边乘最简公分母，化成整式方程；②解整式方程，用参数表示未知数；③按题意列出不等式；④排除使原分母等于0的取值；⑤算出参数范围；⑥检验边界值。 5．如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【答案】 【分析】将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得：． 6．若关于的分式方程有增根，则这个增根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的增根是使分式方程分母为0的未知数的值，据此计算即可得到结果； 【详解】解：∵ 分式方程有增根， ∴ 分式的分母， 解得， 故方程的增根是； 7．若关于的分式方程有增根，则_____________． 【答案】1 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根， 所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分式方程的增根是化为整式方程后，使原分式方程分母为零的根，先确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出m的值． 【详解】解：原方程为，方程的最简公分母为， 原方程有增根， ， 令或， 解得或 原方程两边同乘去分母得： 整理得： 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 的值为或． 题型三 分式方程无解问题 解题思路：①两边乘最简公分母，化成整式方程；②判断整式方程本身是否无解；③令分母等于0，求出全部增根；④把增根代入整式方程求参数；⑤汇总所有参数；⑥回代验证。 9．关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】或0 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数．分式方程无解的条件是去分母后的整式方程无解或整式方程的解使分母为零． 【详解】解：， 方程两边同乘，得：， 化简得， 当即时，方程变为，无解， 当时，， 若整式方程的解是增根，则或， 当时，关于的方程无解； 当时，解得． 故答案为：或． 10．关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到，求出x的值代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分式方程有增根，得到，即， 代入整式方程得：， 故选C． 11．若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 【答案】 或/或 【分析】先确定分式方程可能的增根，将分式方程化为整式方程，再分别代入增根计算得到的值. 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令，得分式方程可能的增根为 或， 方程两边同乘 ，得， 展开整理得， 将 代入上式，得，解得 ； 将代入上式，得，解得； 综上所述，的值为或. 12．关于x的分式方程无解，则m的取值范围（     ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，结合增根定义分类讨论即可求出的值． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母得， 整理化简得， 移项整理得， 分两种情况讨论： 情况1：整式方程无解： ∵一次项系数为0，常数项不为0时整式方程无解， ∴且， 解得，符合要求； 情况2：整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程公分母为，增根满足，即或， 将代入，得，即，等式不成立，舍去； 将代入，得，解得，符合要求； 综上，或． 题型四 解分式方程 解题思路：①找出最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，去掉分母；③解一元一次方程；④把结果代入原分母检验；⑤分母不为零即为方程的根。 13．方程的解为_______． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解 ． 14．解方程方程两边乘得到的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原分式方程为， 方程两边同时乘得． 15．______时，关于的方程的解为． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入整式方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 把代入，得， 解得． 16．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 题型五 列分式方程 解题思路：①读题找出等量关系；②设未知数；③用未知数表示其它相关量；④根据等量关系列分式方程；⑤不用解方程。 17．小王和小张一起进行速算练习，小王每分钟比小张多做2道速算题，结果在相同的时间内，小王做了60道速算题，小张做了40道速算题．设小王每分钟做x道速算题，根据题意列出方程______． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设小王每分钟做道题，则小张每分钟做道题；根据相同时间内做题量，利用时间相等列出方程． 【详解】解：设小王每分钟做道题，则小张每分钟做道题． 依题意，小王做60道题所需时间为分钟，小张做40道题所需时间为分钟． ∵时间相同， ∴， 故答案为：． 18．2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为__________． 【答案】 【分析】先表示出A型机器人每小时分拣快递件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程即可．本题主要考查了列分式方程，根据题意找等量关系是解题的关键. 【详解】解：设B型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 根据题意，得． 故答案为：． 19．我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工个零件，可列分式方程为__________________． 【答案】 【分析】设B每小时加工个零件，则A每小时加工个零件，根据“A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等”列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设B每小时加工个零件，则A每小时加工个零件，依题意得，． 20．《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉： 淇淇： A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量 C．表示 D．表示 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，每头牛比每只羊贵1两，牛、羊数量相等．嘉嘉的方程中，表示每头牛的价格，表示每只羊的价格；淇淇的方程中，若为牛（羊）的数量，则为牛价格，由方程和题意可知，表示羊的价格；根据题意，羊的价格为，故应为；因此选项B正确，选项D错误． 【详解】解：设每头牛价格为两，每只羊价格为两， ∵，且牛数量为，羊数量为，数量相等， ∴． 嘉嘉方程：，对比得x为牛价格，为羊价格，即，故A、C正确． 淇淇方程：，为数量，则为牛价格，牛价格减1为羊价格，即，又羊价格为， ∴，而非，故B正确，D错误． 故选：D． 题型六 分式方程的行程问题 解题思路：①明确路程、速度、时间；②选定一个量设未知数；③用未知数写出另外两个量；④利用时间差或速度差建立等式；⑤列出分式方程。 21．宇树科技公司对A，B两款四足机器人在相同的环境下开展行走速度的测试，B机器人每小时行走的路程比A机器人多，B机器人行走所用的时间与A机器人行所用的时间相等．设A机器人每小时行走，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A机器人的行走速度，表示出B机器人的行走速度，再根据B机器人行走与A机器人行走的时间，用“时间路程速度”即可列出方程． 【详解】解：∵A机器人每小时行走，B机器人每小时比A多走， ∴B机器人每小时行走， ∵B机器人行走的时间与A机器人行走的时间相等， ∴． 22．小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 【答案】 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系，根据已知速度比设未知数，由小丽比小颖晚到达得到时间差的等量关系，列分式方程求解即可，找到正确的等量关系是解题关键． 【详解】解：设小丽的速度为，则小颖的速度为 根据题意得： 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意 则小丽的速度为 23．如图所示是我国自主研发的电动垂直起降航空器“盛世龙”，又被称为“空中出租车”，盛世龙预计在年实现载人飞行．小明搜集的相关资料显示，从太原到北京铁路里程约为，空中航线约为，“盛世龙”的平均飞行速度与高铁的平均行驶速度相同，若乘坐盛世龙从太原到北京，盛世龙需要在换电站更换一次电池，用时．若盛世龙从太原飞至北京总用时比乘坐高铁节约，则按照小明搜集的数据计算，盛世龙从太原飞至北京总共需要多长时间？ 【答案】 【分析】设“盛世龙”从太原飞至北京总共需要，根据题意列分式方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设“盛世龙”从太原飞至北京总共需要， 根据题意得，． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：盛世龙从太原飞至北京总共需要． 题型七 分式方程的工程问题 解题思路：①总工程量记作1；②用未知数表示各方工作效率；③确定各自的工作时长；④工作量相加等于总工程量；⑤列出分式方程。 24．自动分拣矩阵配套设备采用我国自主研发的仓储控制系统（WCS）等核心软件，可实现大件包裹快速扫码识别与精准分拣，大幅提升物流中转效率．已知1台自动分拣矩阵配套设备每小时分拣快递的数量是1名工人每小时分拣数量的4倍，1台设备分拣3000件快递比1名工人分拣这些包裹要少用3小时．设1名工人每小时能分拣x件包裹，则可列方程为（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据工作时间总工作量工作效率，分别表示出工人和设备分拣3000件包裹的用时，再结合时间差的等量关系列方程即可． 【详解】解：设1名工人每小时能分拣x件包裹，则1台设备每小时分拣快递的数量为件. 可得1名工人分拣3000件包裹的用时为小时，1台设备分拣3000件包裹的用时为小时， ∵1台设备分拣这些包裹比1名工人少用3小时， ∴可得方程． 25．我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥青路面的摊铺任务．一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的倍，人工修补组摊铺公里路面的时间比养护车摊铺公里路面的时间多小时．这辆新型养护车每小时摊铺路面_______公里． 【答案】 【分析】设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里，列分式方程求解即可． 【详解】解：设这辆新型养护车每小时摊铺路面公里，则人工修补组每小时摊铺路面的公里数是公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 答：新型养护车每小时摊铺路面公里． 26．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】9吨货物 【分析】设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物，根据“两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用小时”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载吨货物，则智能机器人每小时可以装载吨货物， 由题意可得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：智能机器人每小时可以装载9吨货物． 题型八 分式方程的经济问题 解题思路：①分清单价、数量、总价；②设未知数；③表示变化前后的单价、数量；④利用价格差或数量差建立等式；⑤列出分式方程。 27．北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．设商场第一次购进这种运动服x套，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为分式方程应用题，解题思路是设第一次购进运动服套，分别表示出两次购进运动服的每套进价，根据“第二批每套进价比第一批多10元”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设商场第一次购进这种运动服套， ∴第一批运动服总进价为元，可得第一批每套进价为元， ∵第二批购进数量是第一批购进数量的倍， ∴第二批购进数量为套，第二批总进价为元，可得第二批每套进价为元， 又∵第二批每套进价比第一批多了元， ∴可得方程． 28．黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是________元． 【答案】6 【分析】本题考查分式方程的实际应用，注意结果要检验，设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元，根据“用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同”这个等量关系列式子，求解即可． 【详解】解：设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则A型黄元米果的单价是6元． 故答案为：6． 29．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔数量小于200支只能按零售价付款．已知零售价是批发价的1.2倍．某学校开展区域性会议，需要购买一批铅笔，学校派采购人员小明到该店购买铅笔，花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱． (1)在该文具店购买铅笔的批发价是每支多少元？ (2)某学校计划在该文具店购买支铅笔，求购买所需的费用（用含有的式子表示）． 【答案】(1)该文具店购买铅笔批发价是每支0.5元 (2)当时，购买费用为元，当时，购买费用为元 【分析】（1）设该文具店购买铅笔批发价是每支元，则零售价是每支元，根据“花108元钱给参会人员每人买1支铅笔，回来后小明算了一下，发现如果再多买20支，反而可以少花8元钱”列分式方程求解即可； （2）求出零售价格，进而根据“凡一次性购买铅笔200支以上（含200支），可以按批发价付款；购买铅笔数量小于200支只能按零售价付款”作答即可． 【详解】（1）解：设该文具店购买铅笔批发价是每支元，则零售价是每支元． 根据题意得， 解得， 经检验，是方程的根且符合题意； 答：该文具店购买铅笔批发价是每支0.5元； （2）解：由（1）知，零售价格为元， 当时，购买费用为元， 当时，购买费用为元． 题型九 分式方程和差倍分问题 解题思路：①找出和、差、倍数的条件；②设未知数；③用未知数表示其它数量；④把文字条件转写成等式；⑤列出分式方程。 30．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第二次每人所得比第一次多3元”的等量关系，用含的式子表示两次人均分钱数即可列方程． 【详解】解：因为第一次人平分235元钱，所以第一次每人分得元；又因为第二次人平分550元钱，所以第二次每人分得元， ∵第二次每人所得比第一次多3元， ∴可列方程． 31．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【答案】 【分析】设洋槐一天单位面积固碳量是x克，根据题意列出分式方程求解即可 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 所以洋槐一天单位面积固碳量是克． 32．山西老陈醋是中国四大名醋之一，至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，以色、香、醇、浓、酸五大特征著称于世．某副食店第一次购进了总价为9000元的陈醋若干壶，第二次又补购了4050元相同规格的陈醋，进货单价比第一次便宜了2元，并且第二次的补货量恰好是第一次的一半．求这两次购进陈醋的单价分别是多少元． 【答案】第一次购进陈醋的单价是20元，第二次购进陈醋的单价是18元 【分析】设第一次购进陈醋的单价是x元，再根据题意列方式方程求解． 【详解】解：设第一次购进陈醋的单价是x元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：第一次购进陈醋的单价是20元，第二次购进陈醋的单价是18元． 题型十 分式方程的其它实际问题 解题思路：①分清变量和不变量；②设未知数；③用未知数表示其它相关量；④用不变量构建等量关系；⑤列出分式方程。 33．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题根据密度公式，结合已知的密度比和体积差，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设物体A的体积为， ∵物体B的体积比物体A大， ∴物体B的体积为， 根据密度公式，得，， 已知，，， 因此， 化简得， ， ， 解得， ∴物体A的体积为，答案选B． 34．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【答案】600 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得分式方程并求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得 ， 解得， 经检验是方程的解， 即两台汽车的续航里程是600千米． 35．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 【答案】A型号客车载客量为60人，B型号客车载客量为45人 【分析】本题考查分式方程的应用，设A型号客车载客量为x人，则B型号客车载客量为人，根据“用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设A型号客车载客量为x人，则B型号客车载客量为人， 根据题意，得 解得 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意 答：A型号客车载客量为60人，则B型号客车载客量为45人． 解答题 1．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． （2）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程两边同乘以，得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． （2）解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 2．已知关于x的方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)4或或 【分析】（1）利用分式方程增根的意义解答即可； （2）分式方程无解包括两种情况：一是化为整式方程后，整式方程的解是原方程的增根；二是化为整式方程后，该整式方程本身无解，据此分情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 把代入中可得： ， ∴， ∴m的值为； （2）解：当方程有增根时，， ∴或， 把代入中可得： ， ∴， 把代入中可得： ， ∴， 当时，该方程无解，即； ∴综上所述：m的值为4或或． 3．为了迎接即将到来的“科技创新节”，学校创客社团计划加工一批机器人零件．若由社团的“编程组”单独做，刚好能在规定的时间内完成；若由“机械组”单独做，则要超过规定时间3天才能完成．现在，两组决定先合作2天，剩下的部分由“机械组”单独完成，恰好能在规定时间内全部搞定．问原计划完成这批零件的时间是多少天？ 【答案】6 【分析】根据题意列分式方程并求解即可． 【详解】解：设原计划完成这批零件的时间是天， 由题意得， 解得， 检验：是原分式方程的解且符合实际意义， 答：原计划完成这批零件的时间是6天． 4．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； （2）解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 5．猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 6．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 7．列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． (1)求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ (2)为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 【答案】(1)该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． (2)每天生产甲产品增加的数量是300个． 【分析】（1）根据甲乙日产量的数量关系设未知数，利用“2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个”的条件列一元一次方程求解； （2）设甲产品日增加量为未知数，根据增加量的关系表示出改造后甲乙的日产量，再利用生产天数的数量关系列分式方程，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该工厂每天生产乙产品个，则每天生产甲产品个． 根据题意列方程得 解得 则 答：该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． （2）解：设每天生产甲产品增加的数量为个，则每天生产乙产品增加的数量为个． 改造后每天生产甲产品数量为个，每天生产乙产品数量为个． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，且符合题意． 答：每天生产甲产品增加的数量是300个． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $