专题13.2 分式的运算 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

专题13.2 分式的运算 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握分式乘除法的运算法则，能熟练进行分式乘除及混合运算 · 理解通分的意义，能正确确定最简公分母并进行通分 · 掌握分式加减法法则，能进行同分母和异分母分式的加减运算 · 理解负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值较小的数 · 能综合运用分式运算法则解决化简求值、规律探究等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的乘除法 分式乘法： · = 分式除法： ÷ = · = 分式乘方：()n = 运算结果需约分化为最简分式或整式 概念辨析例题：计算： ÷ 解析：先将除法转化为乘法，因式分解后约分：原式= · = 1 ☆ 2.分式的通分 通分：把几个异分母分式化为与原分式相等的同分母分式 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积 分母是多项式时，先因式分解再确定最简公分母 概念辨析例题：通分： 与 解析：因式分解：x2-x=x(x-1)，x2-1=(x+1)(x-1)，最简公分母为x(x+1)(x-1) ☆ 3.分式的加减法 同分母分式加减： ± = 异分母分式加减：先通分，再按同分母分式加减法则计算 分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 运算结果需化为最简分式 概念辨析例题：计算： - 解析：通分后： = ☆ 4.负整数指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） 任何不等于零的数的零次幂等于1：a0=1（a≠0） 科学记数法：绝对值小于1的数可表示为a×10-n（1≤|a|<10） 幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方等）对负整数指数幂仍然适用 概念辨析例题：计算：()-2 + (-2)0 解析：()-2 = 22 = 4，(-2)0 = 1，原式=4+1=5 📋 知识总结表 核心概念 法则/公式 注意事项 分式乘法 ·= 结果需约分 分式除法 ÷= 除式颠倒相乘 同分母加减 ±= 分母不变，分子相加减 异分母加减 先通分再加减 最简公分母的确定 负整数指数幂 a-n= 底数不能为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的乘除法（第1-15题） · 先因式分解再约分 · 除法转化为乘法 · 乘方运算注意符号 1．（2025秋•黄浦区校级月考）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 2．（2025秋•普陀区期末）下列运算正确的是（　　） A．b3+b2＝b5 B．2b3÷b2＝2b C． D．（﹣2b2）3＝﹣6b6 3．（2025秋•浦东新区期末）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 4．（2024秋•上海期末），则M等于（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•上海校级月考）计算所得正确结果（　　） A． B．1 C． D．﹣1 6．（2026•宝山区二模）计算：____________________ ． 7．（2025秋•普陀区月考）计算：____________________ ． 8．（2024秋•嘉定区校级月考）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为____________________ ． 9．（2024秋•青浦区校级月考）计算的结果是 ____________________ ． 10．（2025秋•奉贤区期末）求被遮住部分的代数式，并将其化简． （■） 11．（2025秋•徐汇区校级期末）计算：． 12．（2025秋•静安区校级月考）计算：． 13．（2025秋•曲靖期末）计算： （1）； （2）． 14．（2026春•天府新区校级期中）如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． （1）【辨析】下列分式中，________ 是和美好分式（填序号）； ①； ②； ③； ④． （2）【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； （3）【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数？若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 15．（2025秋•南平期末）小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为2a，其中一数为a+b，另一数为a﹣b（a为定值）， 因为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2显然当b2越小时，积越大． 所以当b＝0，即a+b＝a﹣b时，（a+b）（a﹣b）取最大值a2． （1）下列各式中，值最大的是_____ （填序号）． ①21×29，②22×28，③24×26，④25×25； （2）判断代数式（x+2）（6﹣x）是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量＝漂洗前污物含量．如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如表，单位：斤）． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【考点2】通分（第16-20题） · 先因式分解分母 · 取系数最小公倍数与最高次幂 · 通分后分子要补乘相应因式 16．（2025秋•襄都区期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n） 17．（2024秋•嘉定区校级期中）若，其中a，b为正整数，且a＜b，那么满足条件的a，b一共有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 18．（2022秋•惠民县期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 19．（2026春•霍州市月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以__________ ． 20．（2026春•同步）通分： （1），； （2）； （3）； （4）． 【考点3】分式的加减法（第21-35题） · 异分母先通分 · 混合运算注意运算顺序 · 结果化为最简分式 21．（2026•山东）计算的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C． D． 22．（2026春•汝州市期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2026秋•同步）化简的结果是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 24．（2025秋•四川期末）对于正数x，规定，例如：，，则的值为（　　） A．2024.5 B．2023 C．2024 D．2023.5 25．（2025秋•桂林期末）若，则m+n的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 26．（2025秋•重庆校级期末）已知，则A+B＝_____ ． 27．（2025秋•隆回县期末）化简：的计算结果是 __________________ ． 28．（2026•衡阳竞赛）若正整数x，y，z满足，则xyz最大值是________ ． 29．（2026春•涡阳县期末）已知一个分式可以进行这样的变形：3，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为 ________ ． 30．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 31．（2025秋•虹口区校级月考）化简：． 32．（2026秋•岳麓区校级月考）阅读理解：计算时，若把与分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下： 解：令，，则原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A． 用上述方法计算： （1）（1）（）﹣（1）（）； （2）（1）（）﹣（1）（）； （3）计算：． 33．（2026春•普陀区校级月考）阅读下列材料，完成后面的问题： 除了加减消元法和代入消元法，我们可以用二阶行列式求解二元一次方程组，规则如下：对于二元一次方程组（a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0）： ①系数行列式：Da1b2﹣a2b1（对角线相乘再相减）； ②替换行列式：Dxc1b2﹣c2b1，； ③求解：当D≠0时，方程组有唯一解，． 示例：解，步骤：①算D2×4﹣1×3＝5≠0；②算Dx11，；③求，． （1）直接计算行列式的值：_______ ． （2）利用材料中的行列式方法解方程组：，写出D、Dx、Dy及方程组的解． （3）若二元一次方程组，Dx、Dy都等于25且D≠0，能否求出一组符合题意的b1，a2，b2的值，并根据你求出的三个值解出该方程． 34．（2025秋•浦东新区期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”； （2）已知分式，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a+b的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，请直接写出满足条件的x的值． 35．（2024秋•嘉定区期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【考点4】负整数指数幂（第36-45题） · a-n=1/an · 零指数幂a0=1 · 科学记数法表示小数 36．（2025秋•浦东新区月考）在数，（﹣2）﹣2，，（﹣2）﹣1中，最小的数是（　　） A． B．（﹣2）﹣2 C． D．（﹣2）﹣1 37．（2024秋•徐汇区校级月考）下列各式计算中，正确的是（　　） A．2a﹣1+2a﹣1＝4a﹣2 B．2a﹣1+2a﹣1＝4a﹣1 C．1÷2a﹣1＝2a2 D．（﹣2a﹣2）2＝4a4 38．（2024秋•徐汇区校级月考）若，b＝（﹣2）﹣2，，d＝（﹣3）﹣3，那么a、b、c、d的大小关系是（　　） A．d＜b＜a＜c B．c＜a＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．c＜d＜b＜a 39．（2025秋•黄浦区校级月考）将写成只含有正整数指数幂的形式____________________ ． 40．（2025秋•宝山区期末）将分式表示成不含分母的形式：____________________ ． 41．（2025秋•普陀区期末）将分式表示成不含分母的形式为_________________ ． 42．（2025秋•松江区期末）计算：（a﹣1+b﹣1）÷（a﹣1﹣b﹣1） 43．（2025秋•金山区校级月考）计算：y2（y+4）﹣1（y﹣4）﹣1+2（4﹣y）﹣1． 44．（2024秋•徐汇区校级月考）（1）计算（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1）． （2）已知m2﹣5m﹣1＝0，求的值． 45．（2026春•龙泉市期末）定义一种幂的新运算，如3△1＝31+1＝32＝9，． 请利用这种运算规则解答下列问题： （1）求4△（﹣2）的值； （2）已知3＜m＜n＜6，（3△m）+（n△1）＝41，，求mn的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式运算前先观察能否因式分解和约分，简化计算 · 异分母加减务必先通分，注意分子是多项式时要加括号 · 负整数指数幂运算中注意底数不能为0，结果化为正整数指数幂形式 · 混合运算注意运算顺序，合理运用运算律简化计算 · 化简求值题先化简再代入，注意代入数值使原分式有意义 【作业1】（2026•驻马店校级二模）化简的结果是（　　） A．m B． C．m﹣1 D． 【作业2】（2026•衡水模拟）化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是（　　） A．x+2 B．x﹣2 C．x+3 D．x﹣3 【作业3】（2026•南山区校级三模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 【作业4】（2026•河南模拟）化简的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【作业5】（2025秋•茄子河区期末）下列计算中正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．a﹣6÷a3＝a﹣2 C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．（m3n﹣3m2n+m2）÷m2＝mn﹣3n+1 【作业6】（2026春•沙坪坝区校级同步）已知a＝831，b＝3﹣3×2742，，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【作业7】（2025秋•东阳市校级月考）已知关于x的方程的解是x＝4，其中ab≠0，则代数式____________________ ． 【作业8】（2025秋•浦东新区校级期末）计算：____________________ ． 【作业9】（2026•福田区校级自主招生）对于正数x，规定f（x），例如：f（2），，求________ ． 【作业10】（2026•罗湖区校级竞赛）若abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，设，那么120A+500＝________ ． 【作业11】（2025秋•辛集市期末）计算： （1）（﹣a2b）3+（2a7b4+ab）÷ab； （2）． 【作业12】（2026春•市中区校级期中）定义：若两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，2，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，判断C是否是D的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”； （2）已知分式M，，M是N的“差常分式”，且M关于N的“差常值”为2． ①求P所代表的整式； ②若x为正整数，且N的值也为正整数，直接写出满足条件的x的值． 【作业13】（2025秋•宝山区校级月考）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式_____ 分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； （2）分式的“可存异分式”是____________________ ； （3）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【作业14】（2024秋•青浦区校级月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． ． （1）请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式； （2）如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【作业15】（2024秋•浦东新区校级月考）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 分式的运算 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学七年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握分式乘除法的运算法则，能熟练进行分式乘除及混合运算 · 理解通分的意义，能正确确定最简公分母并进行通分 · 掌握分式加减法法则，能进行同分母和异分母分式的加减运算 · 理解负整数指数幂的意义，会用科学记数法表示绝对值较小的数 · 能综合运用分式运算法则解决化简求值、规律探究等综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分式的乘除法 分式乘法： · = 分式除法： ÷ = · = 分式乘方：()n = 运算结果需约分化为最简分式或整式 概念辨析例题：计算： ÷ 解析：先将除法转化为乘法，因式分解后约分：原式= · = 1 ☆ 2.分式的通分 通分：把几个异分母分式化为与原分式相等的同分母分式 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积 分母是多项式时，先因式分解再确定最简公分母 概念辨析例题：通分： 与 解析：因式分解：x2-x=x(x-1)，x2-1=(x+1)(x-1)，最简公分母为x(x+1)(x-1) ☆ 3.分式的加减法 同分母分式加减： ± = 异分母分式加减：先通分，再按同分母分式加减法则计算 分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 运算结果需化为最简分式 概念辨析例题：计算： - 解析：通分后： = ☆ 4.负整数指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） 任何不等于零的数的零次幂等于1：a0=1（a≠0） 科学记数法：绝对值小于1的数可表示为a×10-n（1≤|a|<10） 幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方等）对负整数指数幂仍然适用 概念辨析例题：计算：()-2 + (-2)0 解析：()-2 = 22 = 4，(-2)0 = 1，原式=4+1=5 📋 知识总结表 核心概念 法则/公式 注意事项 分式乘法 ·= 结果需约分 分式除法 ÷= 除式颠倒相乘 同分母加减 ±= 分母不变，分子相加减 异分母加减 先通分再加减 最简公分母的确定 负整数指数幂 a-n= 底数不能为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】分式的乘除法（第1-15题） · 先因式分解再约分 · 除法转化为乘法 · 乘方运算注意符号 1．（2025秋•黄浦区校级月考）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 【考点】分式的乘除法． 【分析】分别令□＝1、2、4或x，代入原分式并将分子、分母分解因式，不能约分化简的即为正确选项． 【解答】解：当□是1时， • • ， ∴A不符合题意； 当□是2时， •不能约分化简， ∴B符合题意； 当□是4时， • • ， ∴C不符合题意； 当□是x时， • • ， ∴D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查分式的乘除法，因式分解是本题的关键． 2．（2025秋•普陀区期末）下列运算正确的是（　　） A．b3+b2＝b5 B．2b3÷b2＝2b C． D．（﹣2b2）3＝﹣6b6 【考点】分式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法． 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、分式的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、b3与b2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、2b3÷b2＝2b，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、（﹣2b2）3＝﹣8b6，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项、整式的除法、分式的乘除、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2025秋•浦东新区期末）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 【考点】分式的乘除法． 【分析】乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误． 【解答】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1， 而分母和分式本身的符号并没有发生变化， 所以乙有错误． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的乘除法法则，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键． 4．（2024秋•上海期末），则M等于（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的乘除法． 【分析】根据分式的除法法则解决此题． 【解答】解：∵， ∴M ． 故选：A． 【点评】本题主要考查分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解决本题的关键． 5．（2025秋•上海校级月考）计算所得正确结果（　　） A． B．1 C． D．﹣1 【考点】分式的乘除法． 【分析】本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时，先把除法转化成乘法，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分． 【解答】解：原式，故选A． 【点评】在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去． 6．（2026•宝山区二模）计算：　，　 ． 【考点】分式的乘除法． 【分析】将除法化为乘法并约分即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（2025秋•普陀区月考）计算：　　 ． 【考点】分式的乘除法． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可得． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 8．（2024秋•嘉定区校级月考）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为　　 ． 【考点】分式的乘除法． 【分析】根据分式的乘除运算法则进行计算即可． 【解答】解：分式乘一个分式后结果为， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 9．（2024秋•青浦区校级月考）计算的结果是 　　 ． 【考点】分式的乘除法． 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 【解答】解：原式• ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 10．（2025秋•奉贤区期末）求被遮住部分的代数式，并将其化简． （■） 【考点】分式的乘除法． 【分析】设被遮住的部分代数式为A，根据题干给出的等量关系列出算式，再按照分式的运算法则化简即可得到结果． 【解答】解：设被遮住部分的代数式为A，则， 即被手遮住部分的代数式为． 【点评】本题考查了分式乘除法，熟练掌握运算法则是关键． 11．（2025秋•徐汇区校级期末）计算：． 【考点】分式的乘除法． 【分析】先把分式的分子、分母分解因式，再约分即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2025秋•静安区校级月考）计算：． 【考点】分式的乘除法． 【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的乘除法法则计算． 【解答】解：原式•• ． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，熟记分式的乘除法法则是解题的关键． 13．（2025秋•曲靖期末）计算： （1）； （2）． 【考点】分式的乘除法． 【分析】（1）先计算乘方，再算乘除法即可； （2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 14．（2026春•天府新区校级期中）如果一个分式满足以下两个条件①分子或者分母可以进行因式分解，②分式不能约分；则我们将这个分式称作“美好分式”． （1）【辨析】下列分式中，　①②④　 是和美好分式（填序号）； ①； ②； ③； ④． （2）【理解】若a为整数，且为美好分式，求a的值； （3）【应用】是否存在整数x的值，使的值为整数？若存在，请求出整数x的值，若不存在，请说明理由． 【考点】分式的乘除法． 【分析】（1）对每个分式的分子或分母进行因式分解，检查是否能约分，满足“能因式分解且不能约分”的即为美好分式； （2）分母y2+ay+9需能因式分解（分解为两个一次式乘积），且分解后与分子y+1无公因式，根据分解式的常数项乘积为9，列举可能的整数分解情况，排除有公因式的情况，得到a的值； （3）先化简分式，将除法转化为乘法，约分后得到，根据分式值为整数的条件，确定x+1是2的因数，再排除使原分式分母为0的情况，得到整数x的值． 【解答】解：（1）①， 分子a2﹣2ab﹣3b2＝（a﹣3b）（a+b），分母为a+3b， 分子与分母无公因式， 分子与分母不能约分，满足美好分式定义，是美好分式； ②， 分母t2﹣4b2＝（t﹣2b）（t+2b）， 分子为t﹣4b， 分子与分母无公因式，不能约分，满足美好分式定义，是美好分式； ③， 分母x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2， 分子为x﹣y， 分子与分母有公因式x﹣y，能约分，不满足美好分式定义，不是美好分式； ④， 分子m2﹣1＝（m﹣1）（m+1）， 分母m2+1在实数范围内不能因式分解， 分子与分母无公因式，不能约分，满足美好分式定义，是美好分式； 故答案为：①②④； （2）因为为美好分式， 所以分母y2+ay+9能因式分解且与分子y+1无公因式， 设y2+ay+9＝（y+m）（y+n）， 则mn＝9，m+n＝a， 9的整数分解为：9＝1×9，此时a＝1+9＝10，此时分母有y+1，可以约分，不满足美好分式定义； 9＝（﹣1）×（﹣9），此时a＝﹣1+（﹣9）＝﹣10； 9＝3×3，此时a＝3+3＝6； 9＝（﹣3）×（﹣3），此时a＝﹣3+（﹣3）＝﹣6， 验证：当a＝﹣10、6、﹣6时，分母因式分解后与分子无公因式，满足美好分式定义． （3） ＝1， 要使值为整数，则需为整数，即x+1是2的因数，x+1＝±1或±2； 当x+1＝1时，x＝0，但原分式分母x＝0无意义，舍去； 当x+1＝﹣1时，x＝﹣2，此时值为，是整数； 当x+1＝2时，x＝1，原分式分母x﹣1＝0无意义，舍去； 当x+1＝﹣2时，x＝﹣3，此时x2+3x＝0，即分母为0，舍去； 【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是围绕“美好分式”的定义展开，涉及分式的因式分解、约分及分式值为整数的条件，需逐一分析各问题． 15．（2025秋•南平期末）小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为2a，其中一数为a+b，另一数为a﹣b（a为定值）， 因为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2显然当b2越小时，积越大． 所以当b＝0，即a+b＝a﹣b时，（a+b）（a﹣b）取最大值a2． （1）下列各式中，值最大的是　④　 （填序号）． ①21×29，②22×28，③24×26，④25×25； （2）判断代数式（x+2）（6﹣x）是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量＝漂洗前污物含量．如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如表，单位：斤）． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【考点】分式的乘除法；平方差公式． 【分析】（1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为x（0＜x＜20）斤，则第二次用水量为（20﹣x）斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答． 【解答】解：（1）∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且|25﹣25|＜|26﹣24|＜|28﹣22|＜|29﹣21|，21+29＝22+28＝24+26＝25+25＝50， ∴25×25＞24×26＞22×28＞21×29， ∴④25×25的值最大， 故答案为：④； （2）∵（x+2）+（6﹣x）＝8为定值， ∴当x+2与6﹣x的差的绝对值越小积越大，即|（x+2）﹣（6﹣x）|＝0时，（x+2）（6﹣x）存在最大值， ∴|2x﹣4|＝0时，（x+2）（6﹣x）存在最大值， ∴当x＝2，（x+2）（6﹣x）存在最大值，最大值为（2+2）×（6﹣2）＝16； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为x（0＜x＜20）斤， 由题意得：第一次用水x斤，使污物变为原来的， 第二次用水（20﹣x）斤，污物减少为原来的， ∵（x+1）+（21﹣x）＝22为定值， ∴当|（x+1）﹣（21﹣x）|＝0时，（x+1）（21﹣x）的值最大，即的值最小， ∴x＝10时，的值最小， 答：如果用20斤水分两次漂洗，两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． 【考点2】通分（第16-20题） · 先因式分解分母 · 取系数最小公倍数与最高次幂 · 通分后分子要补乘相应因式 16．（2025秋•襄都区期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n） 【考点】通分． 【分析】先确定两分式的最简公分母为2（m+n）（m﹣n），然后分式的分子分母都乘以2（m﹣n），从而可对各选项进行判断． 【解答】解：分式与的最简公分母为2（m+n）（m﹣n）， 所以分式分子分母都乘以2（m﹣n），此时分子变为6m2﹣6mn． 故选：A． 【点评】本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分；通分的关键是确定最简公分母． 17．（2024秋•嘉定区校级期中）若，其中a，b为正整数，且a＜b，那么满足条件的a，b一共有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【考点】通分． 【分析】根据15的因数有：1，15，3，5，拆分计算，即可求解． 【解答】解：若，其中a，b为正整数，且a＜b， 则15的因数有：1，15，3，5，，且a＜b， ∴，则a＝20，b＝60， ，则a＝18，b＝90， ，则a＝24，b＝40， ，则a＝16，b＝240． 故选：C． 【点评】本题考查了分数的通分，正确进行计算是解题关键． 18．（2022秋•惠民县期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（　　） A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a 【考点】通分． 【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可． 【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2， ∴， 则的分子变为1﹣a． 故选：A． 【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母． 19．（2026春•霍州市月考）将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以　（a+1）　 ． 【考点】通分． 【分析】将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【解答】解：分式的最简公分母为2（a+1）（a﹣1）， ∴需要把的分子、分母同时乘以（a+1）， 故答案为：（a+1）． 【点评】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键． 20．（2026春•同步）通分： （1），； （2）； （3）； （4）． 【考点】通分． 【分析】（1）先最简公分母为2（a+b），然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为2（a+b）； （2）先最简公分母为3（x﹣1）2，然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为3（x﹣1）2； （3）先最简公分母为st（s﹣t），然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为st（s﹣t）（s+t）； （4）先确定最简公分母为（3m﹣2）2（3m+2），然后根据分式的基本性质把两个分式的分母都化为（3m﹣2）2（3m+2）． 【解答】解：（1）最简公分母为2（a+b）， ， ； （2）最简公分母为3（x﹣1）2， ， ； （3）最简公分母为st（s﹣t）（s+t）， ， ； （4）最简公分母为（3m﹣2）2（3m+2）， ， ． 【点评】本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母． 【考点3】分式的加减法（第21-35题） · 异分母先通分 · 混合运算注意运算顺序 · 结果化为最简分式 21．（2026•山东）计算的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C． D． 【考点】分式的加减法． 【分析】根据同分母分式加减法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：原式x﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查分式的加减法，掌握同分母分式加减法的计算方法是正确解答的关键． 22．（2026春•汝州市期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式的加减法；分式的基本性质． 【分析】根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可． 【解答】解：A.a1+a2，因此选项A不符合题意； B.，因此选项B不符合题意； C.，因此选项C符合题意； D.的分子、分母没有公因式2，不能约分，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的基本性质是正确解答的关键． 23．（2026秋•同步）化简的结果是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D． 【考点】分式的加减法． 【分析】根据分式的加减法的运算法则计算即可． 【解答】解： ＝0． 故选：A． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 24．（2025秋•四川期末）对于正数x，规定，例如：，，则的值为（　　） A．2024.5 B．2023 C．2024 D．2023.5 【考点】分式的加减法；代数式求值． 【分析】利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 f（1）即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴有 ， 即， ， ， ⋯⋯， ， 这样的组合共有2025﹣2+1＝2024 对， 又 ， ∴ ＝2024×1 ＝2024.5． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键． 25．（2025秋•桂林期末）若，则m+n的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【考点】分式的加减法． 【分析】利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【解答】解：根据题意可知，，， ∴（m+n）x+（﹣m+2n）＝3x﹣6， ∴m+n的值为3． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 26．（2025秋•重庆校级期末）已知，则A+B＝　4　 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【解答】解：∵， ∴， 由①得A＝1+2B③， 把③代入②得：3（1+2B）+B＝10， 3+6B+B＝10， 3+7B＝10， 7B＝7， ∴B＝1， 则A＝1+2×1＝3， ∴A+B＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 27．（2025秋•隆回县期末）化简：的计算结果是 　　 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】先通分，再进行化简即可． 【解答】解：原式； 故答案为：． 【点评】本题考查异分母分式的加减法．熟练掌握异分母加减法的运算法则，是解题的关键． 28．（2026•衡阳竞赛）若正整数x，y，z满足，则xyz最大值是　160　 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】由于方程对称，设x⩽y⩽z，则，得x⩽3.75；又，得x＞1.25．锁定x＝2或3，缩小搜索范围．分类讨论x＝2，x＝3：最后比较（2，4，20）和（2，5，10）的乘积，160＞100，得最大值160． 【解答】解：正整数x，y，z满足． 由于方程关于x、y、z对称，不妨设x⩽y⩽z， 由x⩽y⩽z得， ， 又，得， x为正整数，∴x＝2或x＝3， 当x＝2时， ， 由y⩽z得，即， 又，得， y为正整数且y⩾x＝2， ∴y＝4，5，6， y z xyz 4 20 2×4×20＝160 5 10 2×5×10＝100 6 7.5（舍去） — ∴x＝2时有两组解：（2，4，20）和（2，5，10）． 当x＝3时， ． 由y⩽z得，即． 又y⩾x＝3， ∴y＝3或y＝4， y z 3 7.5（舍去） 4 1360（舍去） ∴x＝3时无正整数解． 满足条件的正整数解（不考虑顺序）为（2，4，20）和（2，5，10）． xyz的最大值为：2×4×20＝160． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对称性假设与不等式放缩法在不定方程中的应用，将三元不定方程通过排序假设转化为对单一变量范围的逐层缩小是解题的关键．解题的核心技巧在于利用变量大小排序→倒数不等式放缩→确定范围→枚举检验的递进策略，将无限可能的搜索问题压缩为有限次数的验证，体现了以不等式约束破解不定方程的数学思想．此题虽为填空题，但完整逻辑链涉及排序、放缩、整除检验，对思维的严密性要求较高． 29．（2026春•涡阳县期末）已知一个分式可以进行这样的变形：3，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为 　0、2　 ． 【考点】分式的加减法；分式的基本性质． 【分析】利用题目给出例子的解题思路，化简分式，分情况讨论出x的值即可． 【解答】解：4， 若原式的值为整数， 当整数x＝0时，原式的值为3满足条件． 当整数x＝2时，原式的值为5满足条件． 故答案为：0、2． 【点评】考查对新定义的理解以及分式的基本性质，关键要读懂新定义，能灵活运用分式的基本性质． 30．（2026秋•同步）计算： （1）； （2）． 【考点】分式的加减法． 【分析】（1）首先通分，再合并同类项，再约分运算，即可得到答案； （2）首先通分，再合并同类项，再结合平方差公式进行约分化简，即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 31．（2025秋•虹口区校级月考）化简：． 【考点】分式的加减法． 【分析】先把每一项进行拆分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式． 【解答】解：原式， ， ， ＝0． 【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易，但是要注意在通分时的符号变化，不可大意． 32．（2026秋•岳麓区校级月考）阅读理解：计算时，若把与分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下： 解：令，，则原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A． 用上述方法计算： （1）（1）（）﹣（1）（）； （2）（1）（）﹣（1）（）； （3）计算：． 【考点】分式的加减法；有理数的混合运算；整式的加减． 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据题意进行求解即可； （3）分子上把（1×2×3）当成一个整体，利用乘法分配律的逆运算合并，分母把（1×3×5）当成一个整体，利用乘法分配律的逆运算合并，据此求解即可． 【解答】解：（1）设，， ∴原式＝（1+A）B﹣（1+B）A ＝B+AB﹣A﹣AB ＝B﹣A ； （2）设，， ∴原式＝（1+A）B﹣（1+B）A ＝B+AB﹣A﹣AB ＝B﹣A ； （3）原式 ． 【点评】本题考查了分式的加减法，有理数的混合运算，整式的加减，掌握分式的加减法运算法则，有理数的混合运算法则，整式的加减运算法则是解题的关键． 33．（2026春•普陀区校级月考）阅读下列材料，完成后面的问题： 除了加减消元法和代入消元法，我们可以用二阶行列式求解二元一次方程组，规则如下：对于二元一次方程组（a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0）： ①系数行列式：Da1b2﹣a2b1（对角线相乘再相减）； ②替换行列式：Dxc1b2﹣c2b1，； ③求解：当D≠0时，方程组有唯一解，． 示例：解，步骤：①算D2×4﹣1×3＝5≠0；②算Dx11，；③求，． （1）直接计算行列式的值：　﹣2　 ． （2）利用材料中的行列式方法解方程组：，写出D、Dx、Dy及方程组的解． （3）若二元一次方程组，Dx、Dy都等于25且D≠0，能否求出一组符合题意的b1，a2，b2的值，并根据你求出的三个值解出该方程． 【考点】分式的加减法；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；有理数的混合运算． 【分析】（1）根据所给的方法直接求解即可； （2）分别求出D＝1，Dx＝7，Dx＝5，即可求解即可； （3）分别求出Dx＝8b2﹣11b1＝25，Dy＝33﹣8a2＝25，求得a2＝1，D＝3b2﹣b1≠0，当b2＝10，b1＝5时，D＝25，方程组的解为． 【解答】解：（1）4×3﹣2×7＝12﹣14＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）D1×3﹣1×2＝1≠0，Dx12×3﹣1×29＝36﹣29＝7，Dy1×29﹣2×12＝29﹣24＝5， ∴x＝7，y＝5， ∴方程组的解为； （3）Dx8b2﹣11b1＝25，Dy33﹣8a2＝25， ∴a2＝1， D3b2﹣b1≠0， 当b2＝10，b1＝5时，D＝25， ∴x＝1，y＝1， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查二元一次方程组的解，弄懂所给的方法，结合二元一次方程组的解法求解是解题的关键． 34．（2025秋•浦东新区期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”； （2）已知分式，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求a+b的值； （3）已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，请直接写出满足条件的x的值． 【考点】分式的加减法． 【分析】（1）依据题意，由，从而可以判断得解； （2）依据题意，由，故﹣a+1+b＝2，且﹣a＝4，从而求出a，b即可得解； （3）依据题意，由，可得P＝x2﹣3x+x2﹣9＝2x2﹣3x﹣9，从而M＝ ，结合当x为整数，且M的值也为整数，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）C不是D的“差常分式”， ∵，， ∴ ∴C不是D的“差常分式”． （2）∵，， ∴，即（﹣a+1+b）x﹣a＝2x+4， ∴﹣a＝4，﹣a+1+b＝2， ∴b＝﹣3，a＝﹣4， ∴a+b＝﹣4﹣3＝﹣7； （3）∵，， ∴， ∴P＝x2﹣3x+x2﹣9＝2x2﹣3x﹣9 ∴， ∵x为整数，且M的值也为整数， ∴x+3＝±1或±3． ∴x＝﹣2或﹣4或0或﹣6． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能灵活掌握变形是关键． 35．（2024秋•嘉定区期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【考点】分式的加减法；方程的解． 【分析】（1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【解答】解：（1）A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵分式， ∴A+B ＝2， ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”k＝2； （2）①∵分式，， ∴C+D ， ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3， ∴3x2+2x﹣8+G＝3（x﹣2）（x+2）＝3x2﹣12， ∴G＝3x2﹣12﹣3x2﹣2x+8＝﹣2x﹣4， ②∵D， 又∵x为正整数，分式D的值为正整数t， ∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2， 解得x＝1或x＝0（舍去）， ∴x＝1； （3）∵P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k＝2， ∴P+Q， ∴， ∴（3﹣m）x﹣2＝2x﹣6， ∴（1﹣m）x＝﹣4， ∵当1﹣m＝0，即m＝1时，关于x的方程无解， 当1﹣m≠0时，方程有增根x＝3， ∴3（1﹣m）＝﹣4， 解得m， ∴综上所述，m为1或． 【点评】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． 【考点4】负整数指数幂（第36-45题） · a-n=1/an · 零指数幂a0=1 · 科学记数法表示小数 36．（2025秋•浦东新区月考）在数，（﹣2）﹣2，，（﹣2）﹣1中，最小的数是（　　） A． B．（﹣2）﹣2 C． D．（﹣2）﹣1 【考点】负整数指数幂；有理数大小比较． 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：4，（﹣2）﹣2，2，（﹣2）﹣1， ∵﹣24， 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是先化简，再比较大小． 37．（2024秋•徐汇区校级月考）下列各式计算中，正确的是（　　） A．2a﹣1+2a﹣1＝4a﹣2 B．2a﹣1+2a﹣1＝4a﹣1 C．1÷2a﹣1＝2a2 D．（﹣2a﹣2）2＝4a4 【考点】负整数指数幂． 【分析】根据计算各项即可． 【解答】解：A、2a﹣1+2a﹣1＝4a﹣1，选项计算错误，不符合题意； B、2a﹣1+2a﹣1＝4a﹣1，选项计算正确，符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、（﹣2a﹣2）2＝4a﹣4，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，掌握负整数指数幂的运算法则是关键． 38．（2024秋•徐汇区校级月考）若，b＝（﹣2）﹣2，，d＝（﹣3）﹣3，那么a、b、c、d的大小关系是（　　） A．d＜b＜a＜c B．c＜a＜b＜d C．a＜b＜d＜c D．c＜d＜b＜a 【考点】负整数指数幂；有理数大小比较． 【分析】根据负整数指数幂的计算方法分别计算a、b、c、d的值，再比较大小即可． 【解答】解：∵a＝（）﹣2＝4，b＝（﹣2）﹣2，c＝（）﹣3＝﹣27，d＝（﹣3）﹣3， ∴c＜d＜b＜a， 故选：D． 【点评】本题考查负整数指数幂，掌握负整数指数幂的计算方法是正确解答的关键． 39．（2025秋•黄浦区校级月考）将写成只含有正整数指数幂的形式　　 ． 【考点】负整数指数幂． 【分析】根据规则将负指数项转化为分母中的正指数形式． 【解答】解：原式••b2• ． 故答案为：． 【点评】本题考查了负整数指数幂，掌握负整数指数幂的运算法则是关键． 40．（2025秋•宝山区期末）将分式表示成不含分母的形式：a﹣2b﹣1（a+b）﹣3（a﹣b）　 ． 【考点】负整数指数幂． 【分析】根据负整数指数幂的运算法则解答即可得． 【解答】解：∵． ∴分式表示成不含分母的形式为：a﹣2b﹣1（a+b）﹣3（a﹣b）． 故答案为：a﹣2b﹣1（a+b）﹣3（a﹣b）． 【点评】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂法则是解题关键． 41．（2025秋•普陀区期末）将分式表示成不含分母的形式为　3xy﹣1（x﹣y）﹣3 ． 【考点】负整数指数幂． 【分析】利用负整数指数幂的定义，将分母中的因子转化为负指数形式，从而消除分母． 【解答】解：原式＝3xy﹣1（x﹣y）﹣3． 故答案为：3xy﹣1（x﹣y）﹣3． 【点评】本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 42．（2025秋•松江区期末）计算：（a﹣1+b﹣1）÷（a﹣1﹣b﹣1） 【考点】负整数指数幂． 【分析】根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数转化为分式，再根据分式的加减运算以及除法运算进行计算即可得解． 【解答】解：（a﹣1+b﹣1）÷（a﹣1﹣b﹣1） ． 【点评】本题主要考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂的性质是解题的关键． 43．（2025秋•金山区校级月考）计算：y2（y+4）﹣1（y﹣4）﹣1+2（4﹣y）﹣1． 【考点】负整数指数幂． 【分析】先全部把负整数指数幂化成分式的形式，再计算即可． 【解答】解：y2（y+4）﹣1（y﹣4）﹣1+2（4﹣y）﹣1 ． 【点评】本题考查负整数指数幂有关的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 44．（2024秋•徐汇区校级月考）（1）计算（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1）． （2）已知m2﹣5m﹣1＝0，求的值． 【考点】负整数指数幂；完全平方公式；平方差公式． 【分析】（1）把原式整理成，通分得到，利用平方差再把乘法变除法即可； （2）把m2﹣5m﹣1＝0整理成，再利用完全平方公式得，把整理成即可． 【解答】解：（1）（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1） ； （2）∵m2﹣5m﹣1＝0， ∴m2﹣5m＝1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． 45．（2026春•龙泉市期末）定义一种幂的新运算，如3△1＝31+1＝32＝9，． 请利用这种运算规则解答下列问题： （1）求4△（﹣2）的值； （2）已知3＜m＜n＜6，（3△m）+（n△1）＝41，，求mn的值． 【考点】负整数指数幂；有理数的混合运算． 【分析】（1）根据新运算法则计算即可； （2）根据新运算法则化简，求出mn的值即可． 【解答】解：（1）4△（﹣2）＝4﹣2+1＝4﹣1； （2）∵3＜m＜n＜6， ∴（3△m）+（n△1） ＝m3﹣1+n1+1 ＝m2+n2， ∴m2+n2＝41①， ∵（6△m）÷（6△n）＝6m+1÷6n+1＝6m﹣n， ∴m﹣n＝﹣1，即n＝m+1②， 把②代入①得：m2+（m+1）2＝41， ∴2m2+2m﹣40＝0， 即m2+m﹣20＝0， （m+5）（m﹣4）＝0， 解得m＝﹣5，m＝4， ∵3＜m＜n＜6， ∴m＝4， ∴n＝5， ∴mn＝20． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数的混合运算以及新定义，理解新运算法则是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 分式运算前先观察能否因式分解和约分，简化计算 · 异分母加减务必先通分，注意分子是多项式时要加括号 · 负整数指数幂运算中注意底数不能为0，结果化为正整数指数幂形式 · 混合运算注意运算顺序，合理运用运算律简化计算 · 化简求值题先化简再代入，注意代入数值使原分式有意义 【作业1】（2026•驻马店校级二模）化简的结果是（　　） A．m B． C．m﹣1 D． 【考点】分式的乘除法． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，然后约分计算即可． 【解答】解： ， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键，注意结果应是最简的结果． 【作业2】（2026•衡水模拟）化简的结果为整式，其中M是含有x的一次二项式，则M不可能是（　　） A．x+2 B．x﹣2 C．x+3 D．x﹣3 【考点】分式的乘除法． 【分析】化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则M必须能被分子中的某个因子约掉，即 M必须是x﹣3、x+3 或x﹣2之一进行判断即可． 【解答】解：根据分式的运算法则化简可得： 原式， ∵结果为整式， ∴M必为分子因子之一，即x﹣3、x+3 或x﹣2． ∵x+2不是分子因子， 故M不可能是x+2； 故选：A． 【点评】本题考查分式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 【作业3】（2026•南山区校级三模）计算的结果等于（　　） A． B． C． D．1 【考点】分式的加减法． 【分析】先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【解答】解： ． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 【作业4】（2026•河南模拟）化简的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【考点】分式的加减法． 【分析】将原式通分后只把分子相加计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：D． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【作业5】（2025秋•茄子河区期末）下列计算中正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．a﹣6÷a3＝a﹣2 C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．（m3n﹣3m2n+m2）÷m2＝mn﹣3n+1 【考点】负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【分析】根据同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方以及整式除法的运算法则计算判断即可． 【解答】解：A、a2•a4＝a6，原式计算错误，故选项不符合题意； B、a﹣6÷a3＝a﹣9，原式计算错误，故选项不符合题意； C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，原式计算错误，故选项不符合题意； D、（m3n﹣3m2n+m2）÷m2＝mn﹣3n+1，原式计算正确，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方以及整式除法，解题的关键是掌握相关的运算法则． 【作业6】（2026春•沙坪坝区校级同步）已知a＝831，b＝3﹣3×2742，，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【考点】负整数指数幂；有理数大小比较；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、负整数指数幂的运算法则分别计算a、b、c，再比较大小即可． 【解答】解：a＝831＝（23）31＝293， b＝3﹣3×2742＝3﹣3×（33）42＝3﹣3×3126＝3123， （2﹣1）﹣123＝2123， ∵3123＞2123＞293， ∴b＞c＞a， 故选：D． 【点评】本题考查了负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业7】（2025秋•东阳市校级月考）已知关于x的方程的解是x＝4，其中ab≠0，则代数式　　 ． 【考点】分式的加减法；一元一次方程的解． 【分析】将x＝4代入方程，得到关于a和b的等式，通过化简求出和的值，再计算代数式的值． 【解答】解：将x＝4代入方程， 得， 整理得：3a﹣12＝8b﹣12， 所以3a﹣12+12＝8b﹣12+12， 所以3a＝8b， 所以a， 即，， 因此， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的解、分式的加减法，解决本题的关键是x＝4代入方程，得到关于a和b的等式． 【作业8】（2025秋•浦东新区校级期末）计算：　　 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【作业9】（2026•福田区校级自主招生）对于正数x，规定f（x），例如：f（2），，求　201　 ． 【考点】分式的加减法；代数式求值． 【分析】根据所给规定进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为f（x）， 所以f（x）+f（），f（1）， 所以． 故答案为：201． 【点评】本题主要考查了分式的加减法及代数式求值，准确的计算是解题的关键． 【作业10】（2026•罗湖区校级竞赛）若abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，设，那么120A+500＝　420　 ． 【考点】分式的加减法． 【分析】根据题意，对a+b+c＝2两边都平方，再据此结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为a+b+c＝2， 所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝4． 因为a2+b2+c2＝3， 所以ab+ac+bc． 因为a+b+c＝2， 所以c﹣1＝1﹣a﹣b， 所以ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1）， 同理可得，bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1）， 所以A ， 则120A+500＝420． 故答案为：420． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，准确的计算是解题的关键． 【作业11】（2025秋•辛集市期末）计算： （1）（﹣a2b）3+（2a7b4+ab）÷ab； （2）． 【考点】分式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；整式的除法． 【分析】（1）先计算积的乘方和多项式除以单项式，最后合并同类项即可； （2）先将除法转化为乘法，利用完全平方公式和提取公因式化简，再进行约分即可． 【解答】解：（1）（﹣a2b）3+（2a7b4+ab）÷ab ＝﹣a6b3+2a6b3+1 ＝a6b3+1； （2） ． 【点评】本题考查了整式的运算和分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【作业12】（2026春•市中区校级期中）定义：若两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，2，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． （1）已知分式，判断C是否是D的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“差常值”； （2）已知分式M，，M是N的“差常分式”，且M关于N的“差常值”为2． ①求P所代表的整式； ②若x为正整数，且N的值也为正整数，直接写出满足条件的x的值． 【考点】分式的加减法． 【分析】（1）根据新定义计算C﹣D，通过同分计算进行判断； （2）①由题意，得2，整理，即可得出P＝4x+8； ②把P代入N，整理，得N，根据已知N的值为正整数，x为正整数，可得x﹣2＝1或x﹣2＝2或x﹣2＝4，即可得出x的值． 【解答】解：（1）是， C﹣D ＝2， ∴C关于D的“差常值”是2； （2）①由新定义可知： M﹣N＝2， ∴2， ∴2x（x+2）﹣p＝2（x2﹣4）， ∴P＝4x+8； ②由①得P＝4x+8， ∴N ， ∵N的值为正整数，x为正整数， ∴x﹣2＝1或x﹣2＝2或x﹣2＝4， ∴x＝3或4或6． 【点评】本题考查了分式的加减法，分式的值，因式分解的应用，新定义，熟练掌握分式的加减法运算法则，求分式的值，因式分解的方法，理解新定义是解题的关键． 【作业13】（2025秋•宝山区校级月考）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式　是　 分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； （2）分式的“可存异分式”是　　 ； （3）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【考点】分式的加减法；分式的定义；分式的乘除法． 【分析】（1）分别化简，，，则，即可作答； （2）设的“可存异分式”为N，则NN，再运算N，即可作答； （3）①因为分式是分式A的“可存异分式”，得AA，则A（1）； ②因为整数x使得分式A的值是正整数，且A2，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，，， ∴， ∴分式是分式的“可存异分式”； 故答案为：是； （2）设的“可存异分式”为N，则NN， ∴（1）N， ∴N • ． 故答案为：； （3）①由条件可知AA， ∴A（1）， ∴A（1） • ； ②∵整数x使得分式A的值是正整数，A2， ∴x＝1时，A＝5， x＝3时，A＝3， x＝﹣3时，A＝1， ∴x的值是1，3，﹣3． 【点评】本题考查了新定义，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业14】（2024秋•青浦区校级月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． ． （1）请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式； （2）如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【考点】分式的加减法；分式的基本性质． 【分析】（1）仿照示例，对原有的分式进行拆分，即可得到结果； （2）根据题意，对分式拆分，化为2x+11，结合已知条件，得到x﹣3能被13整除，即可得到结果． 【解答】解：（1） ＝2x+11； （2） ＝2x+11， ∵分式的值是整数， ∴x﹣3能被13整除， ∴x﹣3＝﹣13或﹣1或1或13， ∴x为﹣10或2或4或16． 【点评】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键． 【作业15】（2024秋•浦东新区校级月考）阅读下述材料： 分式可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设（A、B为常数），由，可得，由此可得，解得，所以． 请用上述方法将化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差． 【考点】分式的加减法；解二元一次方程组． 【分析】设，然后将其运算后得出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设， 则 ， 则， 解得：， 则． 【点评】本题考查分式的加减法，解二元一次方程组，理解题意并进行正确的变形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $