精品解析：黑龙江哈尔滨市第四十七中学校2026-2027学年上学期八年级学情自测数学试题10.8

数学作业文化节成果展示 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：设三角形的第三边为x，则 9-4＜x＜4+9 即5＜x＜13， ∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 2. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（ ） A. 10° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】本题目考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求出撕掉的角的度数． 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：． 3. 如图，已知 AB=CD，BC=DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE=CF，DE=BF，那么图中全等三角形有（ ） A. 4 对 B. 3 对 C. 2 对 D. 1 对 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用 SSS 定理可判定△ADC≌△CBA，△ADE≌△CBF，再根据等式的性质可得 AF=CE，然后再利用 SSS 判定△ABF≌△CDE． 【详解】在△ADC 和△CBA 中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS），在△ADE 和△CBF 中， ∴△ADE≌△CBF（SSS）， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， 在△DEC 和△BFA 中， ， ∴△ABF≌△CDE（SSS），共 3 对全等三角形， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限内的点的符号为（+，﹣），列出不等式求解即可． 【详解】解：由点在第四象限， 得：， 解得：， 故选C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5. 如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到ABC的三边的距离相等， ∴ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想的应用，小心不要漏解． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高线一定在三角形内部 B. 等边三角形属于等腰三角形 C. 三角形的外角等于两个内角和 D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】可通过举反例结合三角形相关概念判断各选项正误． 【详解】解：选项， 钝角三角形有2条高在三角形外部，直角三角形有2条高为直角边，故三角形的高线不一定都在内部，错误． 选项，等边三角形满足等腰三角形“有两条边相等”的定义，属于等腰三角形，正确． 选项，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，并非任意两个内角的和，错误． 选项，钝角三角形有一个钝角、两个锐角，故有两个锐角的三角形不一定是锐角三角形，错误． 7. 如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴ ． 8. 如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，又， ∴． 9. 如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（ ） A. 作线段的垂直平分线 B. 作的平分线 C. 连接，则与不全等 D. 作 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．根据作图得出，得出，得出即可． 【详解】解：如图，连接, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为是解题的关键． 利用三角形内角和定理，逐一验证每个条件是否能推出其中一个角为． 【详解】解：∵三角形内角和为， ① ∵，且， ∴，则，故是直角三角形； ② ∵，设， ∴， ∴， ∴，故是直角三角形； ③ ∵， ∴， ∴ ，故是直角三角形； ④ ∵ ，且， ∴ ，即， ∴，故是直角三角形； 综上， ①②③④都能确定是直角三角形，共4个条件． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 把二元一次方程化成用表示的形式：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】移项后将的系数化为1即可求解． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴． 12. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为__________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为， 根据直角三角形两锐角之和为，得： ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 13. 等腰三角形的周长为24，一边长为6，则腰长为 ___． 【答案】9 【解析】 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①当6为腰长时，则底边＝24﹣6﹣6＝12，因为12＝6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长＝（24﹣6）÷2＝9，因为9﹣6＜9＜9+6，所以能构成三角形； 故腰长为9． 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验． 14. 如图，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形性质得出，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴， ． 15. 如图，三角形纸片中，AB=5cm，AC=7cm，BC=9cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为BD,则△DEC的周长是________cm. 【答案】11 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知ED=AD、BE=BA，结合AB=5cm、BC=9cm、AC=7cm可得出CE=4cm、AC=CD+AD，再套用三角形的周长公式即可得出△CED的周长． 【详解】∵△BDA与△BDE关于BD对称， ∴△BDA≌△BDE， ∴DA=DE，BA=BE. ∴CE=CB−BE =CB−BA. ∵BC=9cm，AB=5cm， ∴CE=4cm. ∴△CDE的周长=CE+DE+CD=CE+AC ∵AC=7cm， ∴△CED的周长=7+4=11cm. 【点睛】本题考查翻转问题，解题关键在于熟练掌握折叠的性质. 16. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 17. 如图，，为，的平分线的交点，于点，且，则与之间的距离等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质得，再通过平行线的性质证明三点共线，从而求解，熟记角平分线性质和平行线性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示， ∵为，的平分线的交点，于点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 18. 在△ABC中，∠B=20°，AD为BC边上的高，∠DAC=30°，则 ∠BAC的度数为____. 【答案】100∘或40∘. 【解析】 【分析】此题分情况讨论：①当高在△ABC内部；②当高在△ABC外部，分别对每一种情况画图，再结合图计算即可． 【详解】①当高在△ABC内部，如右图 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90∘， ∵∠B=20∘， ∴∠BAD=90∘−20∘=70∘， ∵∠DAC=30∘， ∴∠BAC=70∘+30∘=100∘； ②当高在△ABC外部，如右图 ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90∘， ∵∠B=20∘， ∴∠BAD=90∘−20∘=70∘， ∵∠DAC=30∘， ∴∠BAC=70∘−30∘=40∘. 故∠BAC为100∘或40∘. 【点睛】本题考查三角形内角和定理，分情况解答是解题关键. 19. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, ∠CDE=∠BAD,∠CAD=70°则∠AED=____° . 【答案】55° 【解析】 【分析】设∠CDE=x，则∠BAD=2x，再由三角形内角和定理得出x+∠B的值，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】设∠CDE=x，则∠BAD=2x， ∵∠B=∠C,∠CAD=70°， ∴∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,即2x+70°+2∠C=180∘,解得x+∠C=55°. ∵∠AED=∠C+∠CDE， ∴∠AED=x+∠C=55°. 故答案为55°. 【点睛】本题考查三角形外角的性质，解题关键在于熟练掌握三角形内角和定理. 20. 如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是：_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质等知识． 延长、交于点，可证明，得，推导出，则，；根据垂线段最短结合角平分线的性质求得的最小值为3；作于点，于点，利用全等三角形的性质求得，推出平分，即可判断②说法正确． 【小问1详解】 解：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，①说法正确； ，④说法正确； 当时，有最小值， ∵，平分，， ∴， ∴的最小值为3，③说法正确； 作于点，于点， ∵， ∴， ∴平分， ∴，②说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 三、解答题： 21. 如图，在中，、是的角平分线，与交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据角平分线得到和的度数，再用三角形的外角即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】略 23. 某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学领发奖品．小诺与小延去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总金额不超过320元，则最多购进乙种笔记本多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种笔记本的单价各是3元，5元 （2）最多购进乙种笔记本31个 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种笔记本的单价各是x元，y元，然后根据买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元列出方程组即可； （2）设购进乙种笔记本m个，则购进甲种笔记本个，根据花费不超过320元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种笔记本的单价各是x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴甲、乙两种笔记本的单价各是3元，5元； 【小问2详解】 解：设购进乙种笔记本m个，则购进甲种笔记本个 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为31， ∴最多购进乙种笔记本31个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． 24. 根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 （1）如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过O作，分别交、于D、E，根据角平分线的性质定理得到，将的面积分成三个小三角形的面积计算即可； （2）先求出，过点分别作、、的垂线，可知是的角平分线，根据三角形外角的性质列等式解方程即可； （3）作，分别交于H，交的延长线于G，连接，证明，得到，，根据角平分线的定义及求出，进而证明，得到，根据角平分线的性质得到，可知，根据角平分线的判定定理得到平分，进而根据三角形内角和以及等边对等角得到，可知，证明，得到，即可得到的长． 【小问1详解】 解：如图，过O作，分别交、于D、E， ∵的三条内角平分线交于点， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， 因此． 过点分别作、、的垂线，分别交、的延长线于Q、P交于O， 根据角平分线性质，三条垂线段长度相等，说明到两边的距离相等，因此是的角平分线， ∵是的外角， ∴； 又平分， ∴ ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， 代入得： 解得：； 【小问3详解】 解：如图，作，分别交于H，交的延长线于G，连接， 可知， ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，连接和，若，且； （1）求的长； （2）如图2，如果点从点以每秒2个单位速度沿轴负半轴运动，连接和，设的面积为，点运动时间为秒，请用含的代数式表示； （3）如图3，过作，交延长线于，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质求出，．可得，然后根据即可求解； （2）根据的底为，高是点到轴的距离求解即可； （3）由勾股定理得．进而求出．延长交x轴于点T，利用勾股定理求出，进而求出，．然后求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，． ∵点、都在轴上， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵点沿轴负半轴以每秒2个单位运动秒， ∴， ∵的底为，高是点到轴的距离，也就是线段， ∴；． 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴由勾股定理得． ∵， ∴． 如图，延长交x轴于点T， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学作业文化节成果展示 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，撕掉的角的度数是（ ） A. 10° B. 40° C. 50° D. 80° 3. 如图，已知 AB=CD，BC=DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE=CF，DE=BF，那么图中全等三角形有（ ） A. 4 对 B. 3 对 C. 2 对 D. 1 对 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无解 5. 如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高线一定在三角形内部 B. 等边三角形属于等腰三角形 C. 三角形的外角等于两个内角和 D. 一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 7. 如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 8. 如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（ ） A. 作线段的垂直平分线 B. 作的平分线 C. 连接，则与不全等 D. 作 10. 下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 把二元一次方程化成用表示的形式：_________． 12. 在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为__________． 13. 等腰三角形的周长为24，一边长为6，则腰长为 ___． 14. 如图，，，则_________． 15. 如图，三角形纸片中，AB=5cm，AC=7cm，BC=9cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为BD,则△DEC的周长是________cm. 16. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 17. 如图，，为，的平分线的交点，于点，且，则与之间的距离等于______． 18. 在△ABC中，∠B=20°，AD为BC边上的高，∠DAC=30°，则 ∠BAC的度数为____. 19. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, ∠CDE=∠BAD,∠CAD=70°则∠AED=____° . 20. 如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是：_____． 三、解答题： 21. 如图，在中，、是的角平分线，与交于点，若，求的度数． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 23. 某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学领发奖品．小诺与小延去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，则需110元；且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总金额不超过320元，则最多购进乙种笔记本多少个？ 24. 根据角平分线的性质定理回答以下问题： 【问题解决】 （1）如图1，的三条内角平分线交于点，过点作边上的垂线段．若的周长为16，，求的面积； 【问题探究】 （2）如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，交于，，且，过作，垂足为，若，，求的长． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，为原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，连接和，若，且； （1）求的长； （2）如图2，如果点从点以每秒2个单位速度沿轴负半轴运动，连接和，设的面积为，点运动时间为秒，请用含的代数式表示； （3）如图3，过作，交延长线于，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $