四川省成都外国语学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026一2027学年高一上期10月月考数学答题卡（1号卷) 姓名： 班级： 考场/座位号： 考 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 0 0 0] [0] [0] [0] [0] [o] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 1] 1] 1 [1] [1] [1] [1] 改时用橡皮擦干净。 [2] [27 [2 [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 37 3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [ 答题区域书写无效。 [4] [41 [4] L4] [4] 「41 「41 [4] [47 [4] [4] [5] [5] 「57 57 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] e 正确填涂 缺考标记 [8] [8] [8] L8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题1~8为单选题，每小题5分；9-11为多选题，每小题6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D]10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D]7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分.） 12. 13. 14. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题13分) 囚囚■ 第1页共4页 16.(本题15分) 17.(本题15分) D A B D 囚囚■ ■ 第2页共4页 ■ 18.(本题17分) M N B 1 1 1 1 ■ 囚■囚 第3页共4页 ■ ▣ 19.（本题17分) A△ C 囚■囚 ■ 第4页共4页2026一2027学年高一上期10月月考数学参考答案(1号卷) 一、单选题 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 C D C A A B B C 一、多选题 题号 0 10 11 答案 CD BC ACD 三、填空题 12. 3 13. (3,25 14. 4425 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题13分)【详解】(1)已知z=a+bi(a,b∈R),z=a-bi,同=Va+b, 已知z+3z=62i代入可得：√a2+b+3a+3hi=6N2i, [V0+b+3a=0 a=-1 所以 ，解得 …6分 3b=6√2 6=22因此，复数z=-1+221. (2)把z=-1+22i代入方程x2+x+q=0中，得到(1+22i+p1+22团+g=0 整理得(g-p-7)+(22p-4v2)i=0, 9-p-7=0 所以 22-420’解海0=2 (9=9 …门分 b C 16.(本题15分)【详解】(1)因为 =2cosC,由正弦定理： a acos B+bcos A sinA sin B-sinC,得： sin C sin C =2cosC, acos B+bcos A sin Acos B+sin Bcos A sin(A+B) 又：A+B+C=元，∴.sin(A+B)=sinC, 枚1=2osC,即cosC=又Ce0,:C 3 …7分 206e作：+20， (2)在aABC中，由余弦定理cosC=+B-C 2 2ab 即a2+b2-12=ab,故(a+b)2-12=3ab, 又SaMc=Sacm+Sm,得：}=a.4y5s 元，1,43 32366十。0· 623 sin 化简得：b=手a+b)g,联立02得：h=8,负值合去」 1 所以SAMc三2 ab.sinC=2W3中2 …8分 10月月考数学答案第1页（共4页） 17.(本题15分)【详解】(1)因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四按台1BCD-4GA体积为-号6+0+6×10)k8=1() 记O,O分别为棱台上、下底面的中心，分别取BC,BC的中点M,N, D 连接OO,OM,ON,MN,在梯形O,MNO中，过M作MH⊥ON于H, A B 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且OO=MH=8,O,M=3,ON=5,所以HN=2, 所以MN=VMH2+HN2=V82+22=2√17， B 故该正四棱台的侧面积S=4×)×6+10)×27=647m …8分 (2)设正四棱台上、下底边长分别为2x,2y.由条件可知，x+y=6,0<y-x≤2 此时在等腰梯形B,BCC中，MN=V22+y-x)2，BB=√MW2+Oy-x)2=V2y-x)2+4, MN 所以sina= 0y-x)2+4 BB V2y-x)2+4 ,令t=0y-x2∈(0,4， 1+4 1+2+2 则sina&= V2u+2)V21+2) 2之6组议当4取等罗踢 18.(本题17分)【详解】(1)由AC=20m,BC=20W3m,AC⊥BC, 得anB=4C-20_V5 8C205=3,又0<B<90,则B=30,A=60°， 所以AB=2AC=40,在△ACM中， 由余弦定理可得CM2=AC2+AM2-2AC·AM.cOsA =20+10-2x20x10x=30,则cw=10w5. 因为AC2=AM2+CM2,所以CM⊥AM, :∠MCN=30P,÷MN=CMan30e=10N5xY5-10, 3 .CN=2MN=20, .护栏的长度（△MNC的周长）为l0+20+10W3=30+10W3m.…5分 (2)设∠ACM=0(0°<0<60)， 因为△MNC的面积是ACMA的面积的y5倍 所以cN.CM sin30°=5x'c4.CM sin0,即cw=20N5sin0, 22 10月月考数学答案第2页（共4页） 在△CAN中，∠AWC=180°-(60°+30°+0=90°-0， sn60sm(90°-0c00,得Cw=105 CN CA 20 cos0 从而CW=203sin0=105,即sin0cos0=10w5_ =。,而sin20=1, cos 20W32 由0°<20<120°，得20=90°，所以0=45°，即∠ACM=45°.… …6分 (3)设∠ACM=8(0°<0<60)，由(2)知CW=105 cos0 CM CA 又在△4CM中，由i如60-si血60°+0，得CM 10W5 sin(0+60°）' 75 75 f以Se=)CM.CN-sin30 sin(6)cos0sino 2 2c0s20 150 300 sin20,V3cos20,V32sin(20+60)+√3，所以当且仅当20+60°=90°， 2 2 2 即0=15°时，△NC的面积取最小值为300=302-V)m2.…6分 2+5 19.(本题17分)【详解1①S=ac sin B=cosB, 2 2 根据余弦定理可得cos2B=+c2-b2 2ac 代入可得S= 1 …4分 ()(i)S.AB=S.Ap+Src+S.cPAcn+ 2 PB.a.sin pC.b.sin 因为0-吾所以代入可得S-PA6+PBa+PC, 即PAc+PBa+PCb=4S, 因为S=√3，所以PAc+PB.a+PC.b=4V5,由余弦定理可得， 在△APB中，PB2=AP2+G2-2AP.cc0。 6 在△CPB中，PC2=Bp+a2-2BP-acos 6 在△4Pc中，PA=CP2+b-2 CP.bcos-石 三式相加可得4+C2+PB=A+Pc2+PB+e+a+-2cos若(Ac+Ba+心8， 化简可得a2+b2+C2=√3(PAC+PB.a+PC.b)=V3×4W3=12,…7分 10月月考数学答案第3页（共4页） 同04-4sa0-is-周m写。 两边平方可得(d2+b2+c2)}=12a2c2-3a2-b2+c2), 化简可得：a4+b+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0, 即(a2-b2)+(d2-c2)+(c2-b=0,所以ad2=2=c2,即a=b=c,因此△ABC为等边三角形.…6分 10月月考数学答案第4页（共4页）成都外国语学校高一10月月考数学试题(1号卷) 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的 1.下列四个选项中正确的是() A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.棱长都相等的直四棱柱是正方体 C.棱台的侧棱延长后交于同一点 D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 2.已知i是虚数单位，若复数z满足(1-i)z=2+i,则其共轭复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图，正方形OA'B'C'的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是() A.12 B.42 C.16 D.8V2 4.在AMBC,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,C,a=25,万=6，A-年则角B的大小为〈) A君 B.3 C. D. 5.己知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为√2，则圆锥的体积为() A.2V2π B.3V2元 C.6√2π D.9√2π 6.欧拉公式e“=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复 数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，设 复数z=os写+in号则z2等于(） 3 } B.-1 c.3 D.-1+5 22 22 7.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距4海里的B处有一艘渔船遇 北 东 险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距2海里的C处的乙 船，现乙船朝北偏东O的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosO等于() Ai B A.27 B.21 c.3v2 D.21 309 7 14 14 28 8.三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA 3,Sc=2V2,点D满足BD=2DC,则AD的 最小值为() A.38 B.2 c.4v2 D. 2W5 3 3 3 1号卷第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c,则下列说法正确的是() A.若a=25,4-号，则△ABC的外接圆的面积为16m B.已知(a+b+e(a+b-d小-2+同)ab,则C-号 C.若sin2A>sin2B+sin2C,则△ABC为钝角三角形 D.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB 10.己知复数3,22，且3是非零复数，乙1,22分别是，22的共轭复数，则下列结论正确的是() A.若乙1+22=0，则z1=22 B.ZZ∈R C.若2=222，则1=22 D.(a+z}=+z2 11.如图，已知正三棱柱ABC-ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，底面边长为a,侧棱长为， 则下列说法正确的有() A.若底面边长a=v3,则侧棱长h=2√3 B.若侧棱长h=2,则该正三棱柱的体积为3√5 9 C.若侧棱长h=2,则过AB,中点M的平面截球O,截面积的最小值为二π 4 D.该正三棱柱的侧面积的最大值为12√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z满足z=2,则z+3-41的最小值是 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=3且2 bcosC=2a-c.若△ABC有两个解，则实数a的取值范 围是 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，己知P,M分别为线段BD,BB上的动点，N为BC的中 点，则△PMW的周长的最小值为 1号卷第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题13分)己知复数z=a十bi(a,b∈R)满足Z+3z=6V2i, (1)求复数z: (2)若复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值. 16.(本题15分)在△ABC中，角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,已知 =2cosC. acos B+bcos A (1)求角C: @若CD是∠4C8的角平分线，且CD-5,c=25,求41BC的面积 17.(本题15分)为了响应全国文明城市的号召，成都市计划在公园内建造如图所示的正四棱台ABCD-AB,CD,建 筑 (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台ABCD-ABCD,的侧面积和体积： (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设∠B,BC=a.求 sina的最小值. B 1号卷第3页（共4页） 18.(本题17分)近郊露营成为休闲度假的“新风尚”.成都某名宿拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三 个功能区：△BNC区域为露营休息区域，△MWC区域规划为小型烧烤区域，△CMA区域规划为棋牌区域.为安全起 见，预在烧烤区△MNC四周围筑护栏.已知AC=20m,BC=20V3m,AC⊥BC,∠MCN=30°， (1)若AM=10m时，求护栏的长度（△MNC的周长）： 2)若烧烤区△MNC的面积是棋牌区△CMA的面积的5倍，求∠ACM: 2 (3)当∠ACM为何值时，烧烤区△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 19.(本题17分)阅读下面内容并解决相关问题（注：a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，S为△ABC 的面积) (1)教材必修二55页“阅读与思考”栏目介绍了我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》给出三角形面积的求法“三斜 求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开 ca- 1 平方得积.”写成公式，就是S= 请利用S=二acsin B证明该公式， (2)布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是△ABC内一点， 若∠PAB=∠PBC=∠PCA=6,则称点P为△ABC的布洛卡点，角B为△ABC的布洛卡角，如图，已知日=T,S=√3. 6 (i)求a2+b2+c2的值； (ii)判断△ABC的形状. P J0 1号卷第4页（共4页）