精品解析：上海大学附属中学2026-2027学年第一学期9月诊断测试高二年级数学试卷

2026学年第一学期上大附中9月诊断测试 高二年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共 21 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题 一．填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 已知圆锥底面半径为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长，可求得圆锥的母线长. 【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 2. 若一水平放置的正方形的边长为4，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法中直观图与原图形的面积比例关系计算即可. 【详解】因水平放置的正方形的边长为4，则其面积为， 由斜二测画法的面积比例规律可得. 3. 大圆面积为的球的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用球的大圆面积求出球的半径，再代入球的体积公式计算即可得到结果. 【详解】设球的半径为，球的大圆为过球心的截面圆，其半径等于球的半径. 由题意知，解得，所以. 4. 已知复数满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设复数的代数形式，利用复数相等的条件求出的实部和虚部，再计算其模长. 【详解】设，则，， 所以，根据复数相等的定义，得，即. 所以，，因此. 5. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 6. 已知角，的终边关于原点O对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角，的终边关于原点O对称得，即可得到的值. 【详解】角，的终边关于原点O对称， ， . 故答案为：. 7. 圆柱两个底面中心分别为和，底面的圆周上有点，该圆柱的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定圆柱的高，利用底面圆心到圆周上点的距离计算出底面半径，进而求得底面积，得到圆柱体积. 【详解】由题意可得：圆柱的高为两个底面中心坐标之差，即. 底面圆心为，圆周上点到圆心的距离为半径，即. 底面积为. 圆柱体积为. 故答案为：. 8. 函数的值域为，且，则实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】函数在单调递增，在单调递减，若， 则满足条件， 故实数的取值集合为 9. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 10. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【解析】 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 11. 某工厂要设计一个圆柱形包装盒，内装两个半径均为的球形巧克力.要求两球在盒内错开叠放且恰好相切，并与盒壁、盒底、盒盖均接触.若盒子的高径比(高度与底面直径之比)为，则底面半径与球半径的比值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆柱高径比得到圆柱高与底面半径关系，确定两球心的竖直差、水平差，再利用两球心距离为，构造直角三角形用勾股定理求解比值. 【详解】设圆柱的高为，由圆柱的高径比，得圆柱高， 两球半径都是，两球相外切，故两球心距离， 下球与盒底相切：下球球心到底面距离为，上球与盒盖相切：上球球心到顶面距离为，因此两球心竖直方向距离：， 两球都与圆柱侧面相切，故每个球心到圆柱中心轴线距离都是，两球错开摆放，两球心水平方向距离为， 如图，两球心连线为斜边，水平、竖直距离为两条直角边，得，得， 因为，开方得，所以，故. 12. 如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 【答案】 【解析】 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 所以帐篷围成几何体的体积为（立方米）. 二.选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 14. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由知，复数对应的点的轨迹为圆，而的几何意义为圆上的点与的距离，再结合两点距离公式求解即可. 【详解】复数满足，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 的几何意义为圆上的点与的距离， 所以的最大值为． 故选：C. 15. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（     ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A不正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C不正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】①分三种情况（若在线段上、若在直线上，且在点左侧、若在直线上，且在点右侧）讨论，根据求出参数值. ②建立空间直角坐标系，根据坐标和向量夹角的余弦公式求出，然后求出到直线的距离为，进而得到的面积表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】①：因为平面，平面，所以，同理， 若在线段上，设，所以， 又， 若，则，解得， 所以存在唯一点使得； 若在直线上，且在点左侧，设， 则，所以， 又， 由，得，舍去； 若在直线上，且在点右侧，设，则， 所以， 又， 由，得，舍去，①正确； ②：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图， 正方体棱长为2，则， 设，则， 所以，令 设到直线的距离为， 则 若在线段上，则， 由二次函数性质知时，递减， 所以，又不变， 所以的面积最小为； 若直线上，且在左侧，则， 由二次函数性质知，时，无最小值； 若直线上，且在右侧，则， 由二次函数性质知，时，在时，取得最小， 且此时，又不变， 所以的面积最小为，②错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知． （1）当，令，若函数有零点，求b的取值范围； （2）如果函数是偶函数，求a的值并说明理由. 【答案】（1） （2）. 若是偶函数，则对任意，满足，即， 移项整理得，该等式对任意实数恒成立，而不恒为0， 所以只能，即， 当时，，，故是偶函数. 【解析】 【分析】（1）函数有零点等价于方程有解，转化为求函数的值域，利用基本不等式求值域；（2）利用偶函数定义对任意恒成立，整理式子，令系数等于0求出参数. 【小问1详解】 有零点，即方程有实数解， 当时，，因为，由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号，所以的值域是， 故的取值范围为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数的图像如图所示，点 为与轴的交点，点C、E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值． （1）求参数的值； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出； （2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可； 【小问1详解】 由题意可得在处取得最小值，则，， 所以，， ，则. 【小问2详解】 由，得， 则，，， 则，， ，，， 设向量与向量的夹角为，则， 所以向量与向量夹角的余弦值是. 19. 如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. （1）证明：； （2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【答案】（1）取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先取中点，连．利用等腰三角形三线合一得．再根据线面垂直判定定理证平面 ，最后由线面垂直性质得. （2）已知二面角为，即面面垂直.由面面垂直性质定理得平面，所以是线面角，求出角大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 20. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：直三棱柱中，． 以为原点，以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，得 ， 令，则，， 得到平面的一个法向量， 又，，， 因为，所以， 又在平面外，所以平面． （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，，由，即可得证明； （2）平面的一个法向量为，求出的值，结合二面角的平面角定义即可得答案； （3）利用求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面的一个法向量为． 则， 所以平面与平面所成二面角是或． 【小问3详解】 因为，， 所以点到平面的距离． 21. 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，. （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由等体积法可得，由平行六面体的体积减去该三棱锥的体积，即可得答案； （3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 易知为与的中点， 因为 ; 【小问2详解】 设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； 【小问3详解】 因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期上大附中9月诊断测试 高二年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共 21 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题 一．填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1. 已知圆锥底面半径为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________． 2. 若一水平放置的正方形的边长为4，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是________． 3. 大圆面积为的球的体积是________． 4. 已知复数满足，则_____． 5. 已知，，且，则的最小值为__________． 6. 已知角，的终边关于原点O对称，则______． 7. 圆柱两个底面中心分别为和，底面的圆周上有点，该圆柱的体积为__________. 8. 函数的值域为，且，则实数的取值集合为________． 9. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 10. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 11. 某工厂要设计一个圆柱形包装盒，内装两个半径均为的球形巧克力.要求两球在盒内错开叠放且恰好相切，并与盒壁、盒底、盒盖均接触.若盒子的高径比(高度与底面直径之比)为，则底面半径与球半径的比值为__________. 12. 如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 二.选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 13. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 14. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 7 D. 15. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（     ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论： ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知． （1）当，令，若函数有零点，求b的取值范围； （2）如果函数是偶函数，求a的值并说明理由. 18. 已知函数的图像如图所示，点 为与轴的交点，点C、E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值． （1）求参数的值； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值. 19. 如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. （1）证明：； （2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 20. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点、分别在棱和棱上，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 21. 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，. （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $