上海市大同中学2024-2025学年高二上学期12月学情调研数学试题

（上海市大同中学）2024学年第一学期12月学情调研高二数学 90分钟 满分100分 上海市大同中学 班级_______姓名_______学号_______ 一、填空题 1. 数列为等差数列，若，，则公差_______. 2. 某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为_______kg. 3. 球的表面积扩大为原来的倍，则它的体积扩大为原来的___________倍 4. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 5. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为______． 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 6. 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 7. 某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________． 8. 四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________ 9. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________. 10. 无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则________. 11. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________. 12. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 二、选择题 13. 甲､乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 乙地在这8日内最高气温的极差为 B. 甲､乙两地12日温差最大 C. 甲地这8日平均气温为 D. 甲地的75百分位数是 14. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 15. 如图1，小同同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成锐二面角为 16. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个壍堵，再沿平面截壍堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三个棱锥），若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为，，与图中鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. （1）若，求x的值； （2）若点在平面上，求x的值. 18. 在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10. （1）求点A到直线BC的距离； （2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 19. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点， (Ⅰ) 求证：直线； (Ⅱ) 求直线与平面的正切值. 20. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． （1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 21. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列. （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由； （2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围； （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”. （上海市大同中学）2024学年第一学期12月学情调研高二数学 90分钟 满分100分 上海市大同中学 班级_______姓名_______学号_______ 一、填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】6720 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】43 【6题答案】 【答案】， 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】12 【12题答案】 【答案】 二、选择题 【13题答案】 【答案】BCD 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】B 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1）4.5 （2）9 【18题答案】 【答案】（1）（2）arccos 【19题答案】 【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2， 所以，所以， ∴△AED是以∠AED为直角的直角三角形， 又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB， 又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴EA⊥PA, 又，∴EA⊥平面PAB； （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2），或，或，，理由： 由题意得，，， 要使得事件A与B相互独立，则需满足, 即，即， 由于，故时，；时，； 时，，均符合题意，取其中一组即可. 【21题答案】 【答案】（1）是，理由：∵， ∴， 当时，， 故， 那么当时，，符合题意， 故数列是数列； （2）； （3）当是数列时，与满足的条件为或， 证明：①若是数列，则， 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 由，，故，可得； 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 又当时，当时不成立， 故有或，解得， ∴当是数列时，与满足的条件为或； ②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数， 若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知； 若中的每一项都在中，同理可得； 若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中， 设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，， 不妨设，中最大的项在中，设为， 则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $