专题七02平面向量基本定理及坐标表示导学案-2027届高三数学一轮复习

高考一轮总复习导学案 专题七 平面向量与复数02平面向量基本定理及坐标表示 1、 考情分析 高考卷中平面向量专题为热点内容，主要考查平面向量基本定理、数量积运算及与基本不等式的融合，题型以填空题为主，分值5分，难度中等。 二、知识梳理 知识点一 平面向量的基本定理 （1） 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 （2）基底：若e1，e2不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点二 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ a－b＝ λa＝ |a|＝ （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ 知识点三 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔ 知识点四 常用结论 类型一 基底的概念及辨析 例1：设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式训练1-1：若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和              ②和 ③和               ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 变式训练1-2：下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 类型二 用基底表示向量 例2在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2-1：中，若，，，则向量可用，表示为（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：在中，点在边上且，为的中点，则（     ） A． B． C． D． 变式训练2-3：在等腰梯形中，，，，记，，则（     ） A． B． C． D． 类型三 利用平面向量基本定理求参数 例3：在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 变式训练3-1：如图，在中，点M是的重心，若，则（    ） A． B． C． D．1 变式训练3-2：在平行四边形中，点、分别为、的中点，连接、交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 类型四 平面向量线性运算的坐标表示 例4：已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 变式训练4-1：已知点，点，则（    ） A． B． C． D． 变式训练4-2：已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 例5：已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 变式训练5-1：已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式训练5-2：设向量，则与平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 变式训练5-3：已知平面向量，若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 变式训练5-4：与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 变式训练5-5：已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 类型五 向量共线的坐标表示及应用 例6：已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式训练6-1：已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 变式训练6-2：已知向量，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 类型六 数学情境 1．如图所示，小华同学设计了一套力的分解与合成实验装置，从绳结处引出三条绳索，，，固定点，并使得与铅垂线成夹角，处悬挂拉力为的重物，处连接测力器，与铅垂线成夹角．当时，记C处的拉力为，当时，记处的拉力为，则（     ）    A． B． C． D． 2.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 四、素养提升 1.已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 3.如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（   ） A．65 B． C．2 D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题七 平面向量与复数02平面向量基本定理及坐标表示 1、 考情分析 高考卷中平面向量专题为热点内容，主要考查平面向量基本定理、数量积运算及与基本不等式的融合，题型以填空题为主，分值5分，难度中等。 二、知识梳理 知识点一 平面向量的基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点二 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝(λx1，λy1) |a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点三 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 知识点四 常用结论 类型一 基底的概念及辨析 例1：设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 变式训练1-1：若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和              ②和 ③和               ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析 【详解】对于①：由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②：设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③：设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④：设，可得，解得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 变式训练1-2：下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】由坐标判断向量是否共线、基底的概念及辨析 【详解】，，故不可作为基底，A错误. ，，是两个不共线向量，故可作为基底，B正确. ，，故不可作为基底，C错误. ，，故不可作为基底，D错误. 类型二 用基底表示向量 例2在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则 【详解】如图所示：因为，所以， 则. 变式训练2-1：中，若，，，则向量可用，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，则 .又因为，所以. 故选：A 变式训练2-2：在中，点在边上且，为的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、向量加法的法则 【详解】由题意， 所以. 变式训练2-3：在等腰梯形中，，，，记，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】由平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 连接，因为 . 类型三 利用平面向量基本定理求参数 例3：在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 变式训练3-1：如图，在中，点M是的重心，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【详解】点M是的重心，， ，，，故选项C正确. 变式训练3-2：在平行四边形中，点、分别为、的中点，连接、交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】将向量、用基底、加以表示，设，，利用平面向量的基本定理可得出关于、的两个表达式，利用平面向量的基本定理可求出、的值，再利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，即可得出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 由题意可知，， 设， 所以， 因为、交于点，则， 设， 因为、不共线，由平面向量的基本定理可得，解得， 故， 所以， 又因为，所以，，故. 类型四 平面向量线性运算的坐标表示 例4：已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，因为，所以⇒ 故. 故选：A. 变式训练4-1：已知点，点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】点，点，则. 故选：B 变式训练4-2：已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【详解】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 例5：已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，则，解得. 故选：D. 变式训练5-1：已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性分析：，，，，，故充分性成立；必要性分析：，，，，，，，故必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 变式训练5-2：设向量，则与平行的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由坐标判断向量是否共线、平面向量线性运算的坐标表示 【详解】由题意可知：，设， 令，则，即，对照选项只有C满足，故选C. 变式训练5-3：已知平面向量，若，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 解得． 变式训练5-4：与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解． 【详解】因为与向量平行的单位向量是，， 所以所求单位向量为，即或 故选：D 变式训练5-5：已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，，所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 类型五 向量共线的坐标表示及应用 例6：已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出后，可得向量，再结合点坐标即可得点坐标. 【详解】由，则，由向量与向量的方向相反，且， 故，由点坐标为，则点坐标为. 故选：A. 变式训练6-1：已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用坐标求向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】求出后，可得向量，再结合点坐标即可得点坐标. 【详解】由，则， 由向量与向量的方向相反，且， 故，由点坐标为，则点坐标为. 变式训练6-2：已知向量，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数 【详解】由，，得. 已知，且，所以，解得. 由得，根据向量模长公式得. 类型六 数学情境 1．如图所示，小华同学设计了一套力的分解与合成实验装置，从绳结处引出三条绳索，，，固定点，并使得与铅垂线成夹角，处悬挂拉力为的重物，处连接测力器，与铅垂线成夹角．当时，记C处的拉力为，当时，记处的拉力为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示、力的合成 【分析】先建立平面直角坐标系，从而根据三角函数得到，，处拉力的坐标表示，再根据平衡状态求出，的坐标，进而根据坐标公式法即可求向量的模． 【详解】依题意，以绳结处为原点，水平方向、竖直方向为轴、轴建立如下图平面直角坐标系，    设处的拉力为，，则， 设处的拉力为，，则， 设处的拉力为，，则， 又根据题意有，即， 则当时，有，得，此时处的拉力为； 当时，有，得，此时处的拉力为． 所以． 2.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由向量线性运算解决最值和范围问题、平面向量基本定理的应用、向量与几何最值 【分析】先对向量表达式变形，判断出P，B，F三点共线，将目标式子转化为相关向量运算；利用向量投影的几何意义，动点G在半径为1的圆O上运动，分析投影取最值的位置，结合正六边形的几何特征，找到取得最大值的临界位置，进而求出目标表达式的最大值. 【详解】由题意知，，所以， 令， 则，. 因为，所以P，B，F三点共线. 当取到最大值时，,，H，Q分别为垂足，如图所示， 所以点A到线段BF的最短距离为AH， 即恰好取到最小值， 所以. 四、素养提升 1.已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、三角函数的化简、求值——诱导公式、由向量共线（平行）求参数、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】因为，， 所以向量. 当时，，所以，则向量共线成立. 由向量共线，得，解得， 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件． 2.已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由向量共线（平行）求参数 【分析】先根据平面向量共线的坐标表示得到，再根据基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由，得，即， 又均为正数， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 3.如图，在直角梯形中，，，，E为的中点，若，则（   ） A．65 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量基本定理的应用、平面向量有关概念的坐标表示、用基底表示向量 【分析】方法一：坐标法：以为坐标原点，分别为轴、轴，利用坐标求解即可； 方法二：基底法：令，，取为一个基底，由向量的线性运算求解即可. 【详解】方法一（坐标法） 建立如图所示的平面直角坐标系， 则．不妨设，则， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以，解得， 故． 方法二（基底法）：令，，取为一个基底， 由题意得，． 由于， 所以， 解得， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $