专题四 指数函数与对数函数03对数与对数运算 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习导学案系统梳理对数与对数运算核心考点，以概念、性质、运算性质及换底公式为基础，通过类型应用（概念理解、指对互化等）和数学情境构建知识网络，引导学生自主完成从基础到综合的认知进阶，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于自主诊断与分层训练设计，如知识梳理采用填空式回顾引导自主梳理，类型应用设置例题与变式训练分层突破，结合数学情境题培养数学眼光与数学思维。素养提升题助力个性化提升，帮助学生发展自主复习能力，为教师因材施教提供精准学情支持。

高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数03对数与对数运算 1、 考情分析 本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 2、 知识梳理 知识点一 对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么： （1）； （2）； （3）.推广： 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： ； 3、 类型应用 类型一 对数的概念的理解 例1：若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 变式训练1-1：对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 变式训练1-2：（2026·天津·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】对数的概念判断与求值、判断命题的充分不必要条件 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 类型二 指对互化 例2：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】（1）由对数的定义改写； （2）由对数的定义改写； （3）由对数的定义改写； （4）由对数的定义改写． 【详解】（1）由对数定义得； （2）由对数定义得； （3）由对数定义得； （4）由对数定义得． 变式训练2-1：若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的定义及换底公式求解即得. 【详解】由，得. 故选：AD 变式训练2-2：若，则（    ） A．-3 B．9 C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数幂与对数的互化公式，即可求解. 【详解】因为，根据指数幂与对数的互化公式，可得. 故选：C. 变式训练2-3：已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【详解】由，得，而， 则. 变式训练2-4：若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 变式训练2-5：已知，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【详解】由得， ， 所以. 类型三 对数的运算及运算性质 例3：，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 变式训练3-1：（2026·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 变式训练3-2：已知函数，则_______ 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值 【分析】代入函数的解析式，利用对数与指数的运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以， 故答案为:. 例4：计算： 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据题意结合对数运算求解即可. 【详解】原式 . 变式训练4-1：求值：______. 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算 【详解】. 变式训练4-2：________. 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂运算以及对数运算性质求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 变式训练4-3：（25-26高三上·天津滨海新区·月考）_____. 【答案】/ 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】由对数运算性质和指数运算性质计算即可得解. 【详解】 . 故答案为： 类型四 对数换底公式 例5：已知，则___________．（用和表示） 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据题意，利用对数的运算公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，可得. 故答案为：. 变式训练5-1：求的值． 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】方法一：统一换底数；方法二：常用对数换底. 【详解】（方法一）； （方法二）． 变式训练5-2：计算：__________. 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 变式训练5-3：（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 变式训练5-4：已知，，且，则___ 【答案】或4 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】利用换底公式将不同底数的对数转化为同底数对数，再通过解方程求解即可. 【详解】令，因为，，所以， 原方程可变形为，整理得，即， 解得或. 当时，，则； 当时，，则， 故或4. 例6：（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 变式训练6-1：（2026·天津东丽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 变式训练6-2：已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【分析】利用指数对数互换，解出的值，利用对数的运算法则计算即可. 【详解】已知 ，则， 于是 所以， . 故选：C 变式训练6-3：已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】先利用指数与对数互换得出，然后利用对数运算性质与指数运算性质化简运算即可. 【详解】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 类型五 数学情境 1.某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（    ）（参考数据：） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 【答案】D 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数函数模型的应用（1） 【分析】每年投入的研发资金比上一年增长10%，则经过年后全年投入的研发资金为，列不等式求解. 【详解】由题可知，该公司2020年全年投入研发资金3000万元，设从2020年起经过年后全年投入的研发资金超过6000万元， 则， 化简得，取对数得， 故该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是2028年. 故选：D. 2.我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（   ） A．150 km B．100 km C．175 km D．125 km 【答案】A 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2） 【详解】当时，，则，得. 由，得． 3.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 4、 素养提升 1.若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、指数幂的运算 【分析】根据对数的运算性质得且，利用指数幂的运算性质，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 2.已知实数均大于1，且满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的概念判断与求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 故选:B. 3.已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】24 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、对数的运算性质的应用 【分析】由题设结合对数运算法则可得，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 4.（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 5.（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用换底公式化简计算 【详解】由可得， 则， 所以. 6.已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（    ） A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013 【答案】B 【知识点】对数的运算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、根据极值点求参数 【详解】，求导可得， 和是的两个极值点，即和是的两个根， 根据韦达定理可得，， 因为是等比数列，所以， 因此． 7.已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算、由函数的周期性求函数值 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 再由的周期为2，可得， 因为当时，，所以， 即. 8.（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题四 指数函数与对数函数03对数与对数运算 1、 考情分析 本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 2、 知识梳理 知识点一 对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 . （2）对数式与指数式的互化： . （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ； 自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即 ； （2）底数的对数等于1，即 ； （3）对数恒等式 . 3．对数的运算性质 如果，那么： （1） ； （2） ； （3） . 推广： 4．对数的换底公式 对数的换底公式： . 换底公式的变形及推广： 3、 类型应用 类型一 对数的概念的理解 例1：若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练1-1：对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练1-2：（2026·天津·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型二 指对互化 例2：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) (2)； (3)； (4)． 变式训练2-1：若，则等于（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：若，则（    ） A．-3 B．9 C． D． 变式训练2-3：已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式训练2-4：若，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2-5：已知，则（    ） A． B． C．1 D．4 类型三 对数的运算及运算性质 例3：，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 变式训练3-1：（2026·吉林长春·一模）已知，则（    ） A．8 B． C． D． 变式训练3-2：已知函数，则_______ 例4：计算： 变式训练4-1：求值：______. 变式训练4-2：________. 变式训练4-3：（25-26高三上·天津滨海新区·月考）_____. 类型四 对数换底公式 例5：已知，则___________．（用和表示） 变式训练5-1：求的值． 变式训练5-2：计算：__________. 变式训练5-3：（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 变式训练5-4：已知，，且，则___ 例6：（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练6-1：（2026·天津东丽·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 变式训练6-2：已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 变式训练6-3：已知，且，则的值为______． 类型五 数学情境 1.某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（    ）（参考数据：） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 2.我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（   ） A．150 km B．100 km C．175 km D．125 km 3.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（   ） A．10000 B．15000 C．20000 D．30000 4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 4、 素养提升 1.若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2.已知实数均大于1，且满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3.已知实数满足，则的最小值为__________． 4.（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 5.（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 6.已知为等比数列，和是函数的两个极值点，则（    ） A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013 7.已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 8.（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $