函数概念及其表示讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1函数的概念及其表示方法 目录 1、 知识回顾 二、题型精讲 题型1 函数定义辨析 题型2 判断两个函数是否为同一个函数 题型3 已知解析式求函数定义域 题型4 抽象函数定义域求解 题型5 由定义域求参数取值范围 题型6 代入自变量求函数值 题型7 求函数解析式 题型8 函数值域的常规求法 题型9 判别式法求函数最值 题型10 分段函数 题型11 根据分段函数的值域(最值)求参数 三、课后精练 1、 知识回顾 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 值域：函数所有输出y的取值集合。定义域优先，求值域必先看定义域。 1：直接观察法（简单初等函数）:利用基本函数性质，直接读出y范围，适合一次、反比例、简单二次。 适用：解析式简单，一眼可看范围。 2：配方法（二次/二次型函数）:化为顶点式，结合定义域，看顶点、区间端点；开口方向决定最值。 ⚠易错：定义域不是R时，最值不一定在顶点！ 3：换元法（根式型、复合函数）:换元一定要写新元的取值范围；换元后转化熟悉函数求值域。 两类常考： 4：分离常数法（分式一次比一次）:一般对于假分式，分子拆分，分离成常数+反比例型；y不等于常数项。 注：只适合分子分母都是一次多项式。 5：判别式法（分式：分子分母二次）：把函数整理成关于x的一元二次方程；利用x属于定义域，方程有解得到； 注意二次项系数是否为0，排除增根。 6：基本不等式法（对勾型）：一正、二定、三相等；a+b≥2；等号取不到就用单调性。 注意：必须检验等号成立的x是否在定义域内！等号取不到，不能用不等式结果。 7：单调性法（导数/已知单调函数）:判断函数在定义域区间上单调增/减；最值出现在区间端点。 闭区间：端点取最大最小;开区间：端点只能无限靠近，取不到。 做题选择顺序（做题思路口诀） 1.先看定义域 2.简单直接观察；二次优先配方； 3.带根号优先换元；一次分式分离常数； 4.对勾结构试基本不等式（检验等号）； 5.再考虑单调性、图像； 6.分子分母都是二次、定义域R，才考虑判别式。 高频易错点 1.求值域不看定义域直接算结果（大坑） 2.基本不等式忘记检验等号是否能取到 3.换元不写新变量取值范围 4.判别式法忽略二次项等于0的情况 2、 题型精讲 题型1 函数定义辨析 思路前置：允许多个x对应同一个y，禁止一对多；图像用竖线检验：任意竖线与图像最多一个交点。 典例精讲： 【典例1】在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则下列组合中可以构成函数的图象的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．OP、OQ和PQ 举一反三： 【变式1】（2026·高一·江西南昌·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【变式2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）某校有一班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 【变式3】（2026·高一·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 题型2 判断两个函数是否为同一个函数 思路前置：（1）定义域完全相同；（2）化简后对应关系完全一样；注：先看定义域，再化简。 典例精讲： 【典例3】 （多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 举一反三： 【变式1】（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型3 已知解析式求函数定义域 思路前置：分式分母≠0；偶次根式内≥0；零次幂底数≠0；当出现多个限制条件时取所有条件的交集。 典例精讲： 【典例4】已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 举一反三： 【变式1】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； 题型4 抽象函数定义域求解 思路前置：定义域永远指x的取值范围，f()括号内整体取值范围保持不变； 典例精讲： 【典例5】（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域； （3）已知函数定义域是，求的定义域. 举一反三： 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【变式3】 若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型5 由定义域求参数取值范围 思路前置：题目给出定义域等价于不等式恒成立；二次恒成立注意二次项系数是否为0，结合判别式分析。 典例精讲： 【典例6】（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 举一反三： 【变式1】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域是R，则的取值范围是______. 【变式3】若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 代入自变量求函数值 思路前置：将自变量直接替换解析式中的x，嵌套求值由内向外逐层代入计算。 典例精讲： 【典例7】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求的值. 举一反三： 【变式1】已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【变式2】已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 题型7 求函数解析式 思路前置：求函数解析式的四种常用方法 (1) 换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时的取值范围. (2) 配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3) 待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4) 方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 典例精讲： 【典例8】（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 举一反三： 【变式1】 若，则的解析式为___________． 【变式2】求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【变式3】（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 题型8 函数值域的常规求法 思路前置：（1）配方法多用于二次函数，注意给定自变量区间； （2） 分离常数针对一次比一次分式； （3） 换元法处理带根号题型，换元务必带上新变量范围； 典例精讲： 【典例9】填空：（1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 举一反三： 【变式1】（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【变式2】分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】函数的最大值为________． 题型9 判别式法求函数最值 思路前置：适用于分子分母均为二次的分式函数；把函数整理成关于x的一元二次方程，利用∆≥0求y范围；注意检验二次项等于0的特殊情况。 典例精讲： 【典例10】求函数的最大值、最小值. 举一反三： 【变式1】求函数的值域； 【变式2】函数的值域是______． 【变式3】求函数的值域. 题型10 分段函数 思路前置：先判断自变量属于哪一个区间，再代入对应解析式；嵌套求值，从最内层向外一层一层算。 典例精讲： 【典例11】已知函数，则______． 举一反三： 【变式1】设函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【变式3】已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 题型11　根据分段函数的值域(最值)求参数 典例精讲： 【典例12】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 举一反三： 【变式1】已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【变式2】已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【变式3】已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、课后精练 一、单选题 1．已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．观察下表： －3 －2 －1 1 2 3 5 1 －1 －3 3 5 1 4 2 3 －2 －4 则（   ） A．3 B．4 C．－3 D．5 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（   ） A．   B．   C．   D．   6．已知则 (　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 7．已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．设，则的值为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 二、多选题 9．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 10．以下各组函数不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数，若，则 ______________. 13．已知函数，的定义域是__________，__________. 14．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．解不等式，并用区间表示解集． 16．已知函数y=|x+1|+|1﹣x|. （1）用分段函数形式写出函数的解析式； （2）画出该函数的大致图象. 17．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 18．习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19．（1）已知一次函数满足，求的解析式． （2）已知二次函数满足，，，求的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1函数的概念及其表示方法 目录 1、 知识回顾 二、题型精讲 题型1 函数定义辨析 题型2 判断两个函数是否为同一个函数 题型3 已知解析式求函数定义域 题型4 抽象函数定义域求解 题型5 由定义域求参数取值范围 题型6 代入自变量求函数值 题型7 求函数解析式 题型8 函数值域的常规求法 题型9 判别式法求函数最值 题型10 分段函数 题型11 根据分段函数的值域(最值)求参数 三、课后精练 1、 知识回顾 知识点一：函数的概念 1、函数的定义:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 值域：函数所有输出y的取值集合。定义域优先，求值域必先看定义域。 1：直接观察法（简单初等函数）:利用基本函数性质，直接读出y范围，适合一次、反比例、简单二次。 适用：解析式简单，一眼可看范围。 2：配方法（二次/二次型函数）:化为顶点式，结合定义域，看顶点、区间端点；开口方向决定最值。 ⚠易错：定义域不是R时，最值不一定在顶点！ 3：换元法（根式型、复合函数）:换元一定要写新元的取值范围；换元后转化熟悉函数求值域。 两类常考： 4：分离常数法（分式一次比一次）:一般对于假分式，分子拆分，分离成常数+反比例型；y不等于常数项。 注：只适合分子分母都是一次多项式。 5：判别式法（分式：分子分母二次）：把函数整理成关于x的一元二次方程；利用x属于定义域，方程有解得到； 注意二次项系数是否为0，排除增根。 6：基本不等式法（对勾型）：一正、二定、三相等；a+b≥2；等号取不到就用单调性。 注意：必须检验等号成立的x是否在定义域内！等号取不到，不能用不等式结果。 7：单调性法（导数/已知单调函数）:判断函数在定义域区间上单调增/减；最值出现在区间端点。 闭区间：端点取最大最小;开区间：端点只能无限靠近，取不到。 做题选择顺序（做题思路口诀） 1.先看定义域 2.简单直接观察；二次优先配方； 3.带根号优先换元；一次分式分离常数； 4.对勾结构试基本不等式（检验等号）； 5.再考虑单调性、图像； 6.分子分母都是二次、定义域R，才考虑判别式。 高频易错点 1.求值域不看定义域直接算结果（大坑） 2.基本不等式忘记检验等号是否能取到 3.换元不写新变量取值范围 4.判别式法忽略二次项等于0的情况 2、 题型精讲 题型1 函数定义辨析 思路前置：允许多个x对应同一个y，禁止一对多；图像用竖线检验：任意竖线与图像最多一个交点。 典例精讲： 【典例1】在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则下列组合中可以构成函数的图象的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．OP、OQ和PQ 【答案】A 【解析】根据函数的定义可知：对定义域内的任意的，都有唯一的与之对应，故A符合，BCD均不符合， 故选：A 举一反三： 【变式1】已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【解析】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C 【变式2】某校有一班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 【答案】B 【解析】对于AD，由于同班同学有可能重名，导致对应的函数值不唯一，故AD错误； 对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确； 对于C，假设班级中有两位身高不相同的同学数学成绩相同，则这一个成绩对应两个不同同学的身高，故C错误； 故选：B. 【变式3】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【解析】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 题型2 判断两个函数是否为同一个函数 思路前置：（1）定义域完全相同；（2）化简后对应关系完全一样；注：先看定义域，再化简。 典例精讲： 【典例3】 （多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确；对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；对于C：，需满足，即，而，需满足，即，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确；对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 举一反三： 【变式1】（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 【变式2】下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 【变式3】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 题型3 已知解析式求函数定义域 思路前置：分式分母≠0；偶次根式内≥0；零次幂底数≠0；当出现多个限制条件时取所有条件的交集。 典例精讲： 【典例4】已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由二次根号被开方数大于或等于0，分式分母不为0，即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，则，所以的取值范围为. 举一反三： 【变式1】函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，解得且，即的定义域是. 【变式2】（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； 【答案】（1） （2） 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. 题型4 抽象函数定义域求解 思路前置：定义域永远指x的取值范围，f()括号内整体取值范围保持不变； 典例精讲： 【典例5】（1）求函数的定义域； （2）求函数的定义域； （3）已知函数定义域是，求的定义域. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【详解】（1）要使函数有意义， 必须解得或且， 所以函数定义域为. （2） 要使 函数有意义， 必须解得或. 所以函数定义域为. （3）由题意可知，， 所以的定义域为， 所以令，解得， 所以的定义域是 举一反三： 【变式1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 【变式3】 若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 题型5 由定义域求参数取值范围 思路前置：题目给出定义域等价于不等式恒成立；二次恒成立注意二次项系数是否为0，结合判别式分析。 典例精讲： 【典例6】（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由函数解析式知， 故函数的定义域为； （2）由函数的定义域为，即在上恒成立， 当时，显然，满足要求， 当时，只需恒成立，则， 综上，的取值范围为. 举一反三： 【变式1】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 【变式2】已知函数的定义域是R，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，可得或， 当时，符合题意； 当时，，显然不符合题意. 当时，由于定义域为R，可得，解得：， 综上所述：的取值范围是 故答案为： 【变式3】若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵函数的定义域为，∴对任意实数恒成立. 若，不等式转化为：，显然成立； 若，要使对任意实数恒成立，则，解得，综上所述， 故选：A 题型6 代入自变量求函数值 思路前置：将自变量直接替换解析式中的x，嵌套求值由内向外逐层代入计算。 典例精讲： 【典例7】已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求的值. 【解析】（1）令，解得且，所以函数的定义域为. （2）因为，则，，所以. （3）当时，则，所以. 举一反三： 【变式1】已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）证明：． （3）由（2）知， 所以， 所以． . 【变式2】已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【解析】（1）因为，所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知， 所以原式， . 题型7 求函数解析式 思路前置：求函数解析式的四种常用方法 (1) 换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时的取值范围. (2) 配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3) 待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4) 方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 典例精讲： 【典例8】（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 举一反三： 【变式1】 若，则的解析式为___________． 【答案】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： 【变式2】求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【详解】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， 所以，解得，所以． 【变式3】（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 题型8 函数值域的常规求法 思路前置：（1）配方法多用于二次函数，注意给定自变量区间； （2） 分离常数针对一次比一次分式； （3） 换元法处理带根号题型，换元务必带上新变量范围； 典例精讲： 【典例9】填空：（1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 举一反三： 【变式1】（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 【变式2】分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 【变式3】函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 题型9 判别式法求函数最值 思路前置：适用于分子分母均为二次的分式函数；把函数整理成关于x的一元二次方程，利用∆≥0求y范围；注意检验二次项等于0的特殊情况。 典例精讲： 【典例10】求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 举一反三： 【变式1】求函数的值域； 【答案】 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 【变式2】函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【变式3】求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 题型10 分段函数 思路前置：先判断自变量属于哪一个区间，再代入对应解析式；嵌套求值，从最内层向外一层一层算。 典例精讲： 【典例11】已知函数，则______． 【答案】 【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可. 【详解】已知函数，则． 举一反三： 【变式1】设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题中函数解析式, 当时,, 所以当时,是周期为2的函数, 所以. 【变式2】已知． (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断自变量所在的区间，代入计算即可； （2）分和两种情况讨论，分别代入计算即可得到答案． 【详解】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． 【变式3】已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 题型11　根据分段函数的值域(最值)求参数 典例精讲： 【典例12】已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 举一反三： 【变式1】已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 【变式2】已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3】已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【详解】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 三、课后精练 一、单选题 1．已知，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合函数解析式可解不等式. 【详解】当时，； 当时，． 因此． 故选：A． 2．下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断每个选项：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数，得到答案. 【详解】根据图像观察知：值域不满足；定义域不满足；满足；不是函数 故选： 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解. 3．观察下表： －3 －2 －1 1 2 3 5 1 －1 －3 3 5 1 4 2 3 －2 －4 则（   ） A．3 B．4 C．－3 D．5 【答案】D 【分析】先求和，进而求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：D 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据分段函数先计算，再计算的值. 【详解】由得，， 由得，. 故选：B. 【点睛】此题考查根据分段函数解析式求函数值，关键在于准确辨析自变量不同的取值范围对应的解析式. 5．设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数关系的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误； B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确； C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误； D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误； 故选：B. 6．已知则 (　　) A．－4 B．4 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，再根据范围代入对应解析式，最后根据范围代入对应解析式得结果. 【详解】. .于是 故选B. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力. 7．已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解. 【详解】由，则， 又函数的定义域为，即， ， 所以函数的定义域为. 故选：D. 8．设，则的值为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，逐次代入计算，即可求解. 【详解】由题意，函数， 则. 故选D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，逐次代入计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、多选题 9．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可. 【详解】函数， 当定义域是时，函数单调递减， 当时，，当时，，故其值域为，不合题意； 当定义域是时，函数单调递减， 当时，，当时，，故其值域为，符合题意； 当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增， 当时，，当时，，故其值域为，符合题意； 当定义域是时，函数单调递增， 当时，，当时，，故其值域为，不合题意. 故选：BC. 10．以下各组函数不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】分别分析每一个函数的定义域和解析式，可得选项. 【详解】对于A.因为，，它们的对应关系不相同，所以它们不是同一个函数； 对于B.因为函数的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数； 对于C.当时，为奇数，则，，它们的定义域及对应关系都相同，所以它们是同一个函数； 对于D.因为函数的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数. 故选：ABD. 11．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得 由，得，即或 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集. 设定义域为若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立. D不可能为定义域. 故选：ABC. 三、填空题 12．已知函数，若，则 ______________. 【答案】0 【分析】用换元法，结合函数的解析式进行求解即可. 【详解】令，则， （1）当时，，所以 ； 当时，（舍去）， 当时，； （2）当时，，所以 ； 当时，，显然此时方程无实数解， 当时，，显然此时方程无实数解， 综上所述：. 故答案为：0 13．已知函数，的定义域是__________，__________. 【答案】 【解析】根据函数解析式，只需满足，解不等式组即可求出定义域，将代入解析式即可求解. 【详解】由，则， 解得且， 所以函数的定义域为， . 故答案为：； 14．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】试题分析：由已知，在上单减，①，在上单减，②，且当时，应有得③，由①②③得，的取值范围是. 考点：分段函数的单调性. 四、解答题 15．解不等式，并用区间表示解集． 【答案】 【分析】由一元一次不等式的求解可得，即可求解. 【详解】解：去分母，得；去括号，得； 移项，得；化简，得； 两边同除以的系数，得． 用区间表示不等式的解集为． 16．已知函数y=|x+1|+|1﹣x|. （1）用分段函数形式写出函数的解析式； （2）画出该函数的大致图象. 【答案】（1）y=；（2）答案见解析. 【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号可得分段函数解析式； （2）分段作出函数图象，得折线即函数图象． 【详解】（1）函数y=|x+1|+|1﹣x|=． （2）据（1）的函数的解析式画出图象如图所示： 【点睛】本题考查含绝对值的函数，考查分段函数的表达式及函数的图象，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得分段函数解析式．分段作出函数图象即可． 17．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【答案】(1)，，， (2) 猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）利用代入法进行判断证明即可. 【详解】（1），，，； （2）略 18．习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： （2）当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述：2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 19．（1）已知一次函数满足，求的解析式． （2）已知二次函数满足，，，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）利用一次函数的形式和待定系数法求函数的解析式； （2）利用二次函数的形式待定系数法求函数的解析式； 【详解】设，则 ， 于是有解得或 所以或． （2）设， 由题意得解得 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $