3.2函数的基本性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1 学科网（北京）股份有限公司 第8讲 函数的基本性质 知识点1 函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 2．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3．证明函数单调性的步骤 （1）取值．设x1,x2是该区间内任意两个自变量值，且x1<x2； （2）变形．通常作差f(x1)−f(x2)并判断其符号；若采用作商法，应保证分母不为0并明确其符号，通常在函数值恒正时比较f(x1)f(x2)与1的大小； （3）定号．判断差的正负；采用作商法时，判断商与1的大小关系； （4）得出结论． 4．函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 知识点2 基本初等函数的单调性 1．正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2．一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4．二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点3 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，f(x0)=M，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，f(x0)=M，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数的最大值对应图象中最高点的纵坐标，最小值对应图象中最低点的纵坐标；取得最大值或最小值的点不一定只有一个． 知识点4 函数奇偶性的概念及图象性质 1．函数奇偶性的概念 偶函数：设函数f(x)的定义域关于原点对称．若对于定义域内任意一个x，都有f(−x)=f(x)，则f(x)称为偶函数． 奇函数：设函数f(x)的定义域关于原点对称．若对于定义域内任意一个x，都有f(−x)=−f(x)，则f(x)称为奇函数． 2．奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． ★★★★★知识串讲★★★★★ 题型1 函数单调区间与单调性判断 【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型点播 1.数形结合利用图象判断函数单调区间； 2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． 3.复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 【变式1】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型2 利用单调性求参数范围 【典例1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） B． C． D． 1.解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论． 2.分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题． 【变式1】若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3 利用单调性解不等式 【典例1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 利用函数单调性解不等式时，可将原不等式转化为f(u)>f(v)、f(u)≥f(v)等形式，再根据函数的单调性转化为u,v之间的不等关系，同时注意u,v必须属于相应的单调区间． 【变式1】已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 题型4 函数最值问题 【典例1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 1.如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2.如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 3.若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 4.若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 【变式1】设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 题型5 函数奇偶性的判断与证明 【典例1】（多选）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 题型6 由奇偶性求解析式与抽象函数 【典例1】已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 【典例2】已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【变式1】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 题型7 奇偶性与单调性的综合应用 【典例1】已知函数． (1)判断的奇偶性并用定义证明； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题． 【典例2】函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 1．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 4．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A．的图象关于直线对称 B．是周期函数 C．在上单调递减 D．在内有4个零点 7．已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 8．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 10．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 第8讲 函数的基本性质 知识点1 函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 2．单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3．证明函数单调性的步骤 （1）取值．设x1,x2是该区间内任意两个自变量值，且x1<x2； （2）变形．通常作差f(x1)−f(x2)并判断其符号；若采用作商法，应保证分母不为0并明确其符号，通常在函数值恒正时比较f(x1)f(x2)与1的大小； （3）定号．判断差的正负；采用作商法时，判断商与1的大小关系； （4）得出结论． 4．函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 知识点2 基本初等函数的单调性 1．正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2．一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4．二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点3 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，f(x0)=M，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，f(x0)=M，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数的最大值对应图象中最高点的纵坐标，最小值对应图象中最低点的纵坐标；取得最大值或最小值的点不一定只有一个． 知识点4 函数奇偶性的概念及图象性质 1．函数奇偶性的概念 偶函数：设函数f(x)的定义域关于原点对称．若对于定义域内任意一个x，都有f(−x)=f(x)，则f(x)称为偶函数． 奇函数：设函数f(x)的定义域关于原点对称．若对于定义域内任意一个x，都有f(−x)=−f(x)，则f(x)称为奇函数． 2．奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 题型精讲 题型1 函数单调区间与单调性判断 【典例1】“函数在上单调递减”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 1.数形结合利用图象判断函数单调区间； 2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． 3.复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 【变式1】若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故选：B. 题型2 利用单调性求参数范围 【典例1】已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 1.解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论． 2.分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题． 【变式1】若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 题型3 利用单调性解不等式 【典例1】已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 利用函数单调性解不等式时，可将原不等式转化为f(u)>f(v)、f(u)≥f(v)等形式，再根据函数的单调性转化为u,v之间的不等关系，同时注意u,v必须属于相应的单调区间． 【变式1】已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，解集为 【详解】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 题型4 函数最值问题 【典例1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由函数，显然，当，， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故； 综上可得，，，则. 故选：C. 1.如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2.如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 3.若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 4.若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 【变式1】设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【详解】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 题型5 函数奇偶性的判断与证明 【典例1】（多选）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 【答案】AD 【详解】对于A， 时，，当，当且仅当取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确， 对于B，当时，，由于函数均在单调递增函数， 故为单调递增函数，故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在也无最大值和最小值，故B错误， 对于C ， 当时，，函数，故在单调递减，在单调递增函数，故C错误， 对于D，由B可知，当时，为单调递增函数，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【详解】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 题型6 由奇偶性求解析式与抽象函数 【典例1】已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，， 此时函数在单调递增， 故时，，则，，此时函数在单调递增， 且，故，在R上单调递增； ，即，即， 即，即， 故对任意，都有，即恒成立， 由此可得，解得， 即实数m的取值范围为， 故选：B 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 【典例2】已知定义域为R的函数，满足是奇函数，是偶函数，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．的一个周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】B 【详解】由是偶函数，可知，则关于对称，故A正确； 因为是奇函数，所以也是奇函数，关于点对称，故D正确； 由AD可知，，即，即， 则，所以是周期函数，周期为4，故C正确； 由可知，，函数关于对称， 但不确定，故B错误. 故选：B 【变式1】定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 题型7 奇偶性与单调性的综合应用 【典例1】已知函数． (1)判断的奇偶性并用定义证明； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)是上的增函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 的定义域为，对于，都有， 且， 所以，即函数是奇函数； （2）是上的增函数，证明如下： 设任意，且， , 因为，所以，因此，即， 所以在上单调递增； （3）因为是定义在上的奇函数， 所以，可化为， 又是上的增函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为． 函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题． 【典例2】函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 【变式1】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当，得， 当，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 1．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 2．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 3．已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 【答案】D 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数是偶函数，A错误； 对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，令，得，则， 令，，得，则，，C错误； 对于D，由为偶函数，得，D正确. 故选：D 4．已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 5．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于函数是定义在上的增函数， 所以，函数在区间上为增函数， 函数在区间上为增函数， 需满足：，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A．的图象关于直线对称 B．是周期函数 C．在上单调递减 D．在内有4个零点 【答案】AB 【详解】对于A：是偶函数，， 关于直线对称，故A正确； 对于B：由A可知关于直线对称，①， 又是奇函数，，即， 关于点对称，②， 由①②可得，即， ， ， 的一个周期为8，故B正确； 对于C：由B知关于点对称，时，单调递增， 在也单调递增，又关于直线对称， ∴在上单调递减，上单调递增，故C错误； 对于D：定义域为，关于对称，， 又关于直线对称，， 又在也单调递增，关于直线对称， 在内有2个零点，故D错误， 故选：AB. 7．已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 8．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ． 【答案】 【详解】是定义域为的奇函数，且， ，，即函数是以4为一个周期的周期函数， 中，令得， 中，令得， ， ∴， 又， 故， 所以当时， ， 其中，， 则． 故答案为： 9．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 10．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【详解】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． （2）证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增．