3.1函数的概念及其表示讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1 学科网（北京）股份有限公司 第6讲 函数的概念及其表示 【知识梳理】 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点2 函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点是形式简明，给定自变量的值即可求出相应的函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点是直观形象，能够反映函数的变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2．分段函数： 分段函数的解析式应将函数在不同范围内的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明相应的自变量取值范围． 知识点3 函数定义域的求法 1.确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根式的被开方数（式）大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． 2.抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． 3.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点4 函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：令 y=f(x)，将等式整理成关于自变量 x 的一元二次方程，再根据该方程有实数解所需满足的判别式条件，确定 y 的取值范围；同时还应结合函数的定义域进行检验； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【例题讲解】 题型1 函数概念与同一函数判断 【例1】下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【详解】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确； 对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误； 对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误； 对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.故选：A． 题型点播 函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键． 【例2】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，A错误； B选项，的定义域为，的定义域为R， 定义域不同，B错误； C选项，由，解得，故的定义域为， 由，解得，的定义域为， 且，故为同一函数，C正确； D选项，，的对应法则不同，D错误.故选：C 【变式1】下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误.故选：B 题型2 函数定义域及抽象函数定义域 【例1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】要使函数有意义，则，解得且，故函数的定义域为，故选：C 题型点播 1.如果是整式，那么函数的定义域是实数集R； 2.如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； 3.如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； 4.如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集） 5.满足实际问题有意义． 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解． 【例2】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或，故定义域为：故选：D 【例3】（1）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为 （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 解：（1）【详解】令，得，从而， 所以函数的定义域为.故答案为： （2）令，则， 因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为． （3）令，，则，． 因为函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为， 所以，所以， 所以函数的定义域为． 故答案为：； 【变式1】函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】函数的定义域为，所以， 所以需满足，解得且.故选：C. 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C 题型3 函数定义域中的参数问题 【例1】设函数，若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C【详解】当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 又，若，此时，不合题设， 所以，即，由，可得， 整理得，解得或（舍去），所以．故选：C. 题型点播 利用转化与化归思想． 【变式1】设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】 令，由，得. ①时，，方程无解. ②时，，或（舍去），. 时，，则或（舍去）； 时，无解.综上，.故选：B. 题型4 函数求值与分段函数 【例1】已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【答案】D【详解】由题设，则或， 若，令，则对于任意有，而，不符； 所以，则，故， 由.故选：D 题型点播 求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果． 【例2】已知函数f(x)=x2+1,x≤02x,x>0，则f[f(0)]=（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A【详解】.故选：A. 题型5 函数值域的求法 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋ (其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 【例1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.故选：A． 【例2】求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 【详解】（1）设，则，所以， 根据二次函数的图象和性质，函数的值域为. （2）函数的定义域为，， 所以函数的值域为. （3）因为函数图象的对称轴为，所以函数在单调递减，单调递增， 所以函数的值域为. （4），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为. 【变式1】试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）因为的定义域为，则， 同理可得，，，f3=5，所以函数的值域为. （2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为. （3）函数的定义域为，因为， 所以函数的值域为. （4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是. 设，则，于是， 又，所以，所以函数的值域为. 题型6 函数解析式的求法 ①配凑法 对于形如f(g(x))=F(x)的类型,可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式。 【例1】若. 解： 点评：注意最后自变量x的范围。 变式. 已知,求__________. 解：∵ ，∴。 ②换元法 对于形如f(g(x))=F(x)的类型,也可令t=g(x),从中求出x=φ(t),然后代入表达式求出f(t),得到关于t的解析式,再将t换成x,得到f(x)的解析式,此时自变量x的定义域就是t=g(x)的值域。 【例2】已知，求。 解：，设, . 点评：在使用换元法求解析式时，要注意所换的元的取值范围，如上例中。 变式. 若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________. 解析:令t＝x＋1，则x＝t－1，所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3. 所以f(x)＝2x2－4x＋3. ③待定系数法 已知函数的类型，先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数,从而得到所求函数的解析式。 【例3】已知是一次函数，且,求. 解：∵是一次函数，设,则 .即 . 点评：使用待定系数法时，必须明确所求解析式的类型，如一次函数必须设成。 变式. 解：设， ，又， ，解得。所以。 ④解方程组法 已知关于与或f(x)与的表达式，讲其视为关于与或的二元一次方程；然后将方程中的换为或，再得到一个关于与或的二元一次方程，解方程组就可求出。 【例4】已知,求. 解：① ，将上式中的x换为得y移项得，代入① 式得, . 变式.已知函数的定义域为，且，则_______ 解析： 在，用代替，得， 将代入中，可求得. 【课堂过关训练】 1．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 2．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D【详解】令可得，所以； 令可得；令可得， 所以，所以， 令可得，所以， 所以.故选：D. 3．已知函数的定义域为，集合．当时，A∩（CRB）= ；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】要使函数有意义，则解得，所以集合．因为，所以，所以或，所以或．因为，所以①当时，，即，满足题意；②当时，解得．综上所述，实数的取值范围是． 4．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 【详解】（1）设，又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，解得，所以； （2）若时，恒成立，则的解集为， 即的解集为，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为． 5．（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）①②；（2）；（3）． 【详解】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是． （2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是． （3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为． 6．根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 7．求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【课后能力提升】 1．函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B【详解】依题意，函数的定义域为．由图象可得，所以； 由，所以； 由图可知，否则当时，无解，和轴无交点，不符题意， 令，得，所以.故选：B. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等.所以.故选：D. 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确.故选：ACD. 4．对于任意的实数表示中较小的那个数．若函数，记，则当时，x的值为 ． 【答案】1【详解】当，即时，；当，即或时，，故画出的图象如图实线部分所示示，由图象易知当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 第6讲 函数的概念及其表示 【知识梳理】 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点2 函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点是形式简明，给定自变量的值即可求出相应的函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点是直观形象，能够反映函数的变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2．分段函数： 分段函数的解析式应将函数在不同范围内的表达式用一个左大括号括起来，并分别注明相应的自变量取值范围． 知识点3 函数定义域的求法 1.确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根式的被开方数（式）大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． 2.抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． 3.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点4 函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：令 y=f(x)，将等式整理成关于自变量 x 的一元二次方程，再根据该方程有实数解所需满足的判别式条件，确定 y 的取值范围；同时还应结合函数的定义域进行检验； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 【例题讲解】 题型1 函数概念与同一函数判断 【例1】下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【例2】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型2 函数定义域及抽象函数定义域 【例1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型点播 1.如果是整式，那么函数的定义域是实数集R； 2.如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； 3.如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； 4.如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集） 5.满足实际问题有意义． 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解． 【例2】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例3】（1）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为 （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【变式1】函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型3 函数定义域中的参数问题 【例1】设函数，若，则（   ） A．或 B．或 C． D． 题型点播 利用转化与化归思想． 【变式1】设函数若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型4 函数求值与分段函数 【例1】已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 题型点播 求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果． 【例2】已知函数f(x)=x2+1,x≤02x,x>0，则f[f(0)]=（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 题型5 函数值域的求法 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋ (其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 【例1】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2】求下列函数的值域. (1); (2); (3)， (4) 【变式1】试求下列函数的定义域与值域． (1)，； (2)； (3)； (4). 题型6 函数解析式的求法 ①配凑法 对于形如f(g(x))=F(x)的类型,可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式。 【例1】若. 变式. 已知,求__________. ②换元法 对于形如f(g(x))=F(x)的类型,也可令t=g(x),从中求出x=φ(t),然后代入表达式求出f(t),得到关于t的解析式,再将t换成x,得到f(x)的解析式,此时自变量x的定义域就是t=g(x)的值域。 【例2】已知，求. 点评：在使用换元法求解析式时，要注意所换的元的取值范围，如上例中. 变式. 若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________. ③待定系数法 已知函数的类型，先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数,从而得到所求函数的解析式。 【例3】已知是一次函数，且,求. 点评：使用待定系数法时，必须明确所求解析式的类型，如一次函数必须设成。 变式. ④解方程组法 已知关于与或f(x)与的表达式，讲其视为关于与或的二元一次方程；然后将方程中的换为或，再得到一个关于与或的二元一次方程，解方程组就可求出。 【例4】已知,求. 变式.已知函数的定义域为，且，则_______ 【课堂过关训练】 1．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 2．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知函数的定义域为，集合．当时，A∩（CRB）= ；若，则实数的取值范围是 ． 4．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 5．（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 6．根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 7．求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【课后能力提升】 1．函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 4．对于任意的实数表示中较小的那个数．若函数，记，则当时，x的值为 ．