江苏南京金陵中学仙林校区2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026~2027学年第一学期南京金陵中学仙林校区 九年级数学试卷（10月) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是(A) A.5 B.6 C.7 D.8 2.用配方法解方程x2-6x-4=0,下列配方正确的是(C) A.(x-3)2=5 B.(x+3)2=5 C.(x-3)2=13 D.(x+3)2=13 3.如图，己知直线y=m与双曲线y=k的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是(C) A.(1,3) B.(3,1) C.(1,-3) D.（-1,3) 4.如图，AB是直径，点C,D在半圆AB上，若∠BAC=40°，则∠ADC的度数是(C) A.110° B.120° C.130° D.140° 5.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是(A) A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED=45°，则AE+BE的值(D) A.随着OE的增大而增大 B.随着OE的增大而减小 C.随着OE的增大先增大后减小 D.保持不变 第1页共8页 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上) 7.己知c1,c2是方程x2十4x-3=0的两个实数根，则1十x2=一4一，12=一3 8.圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm,则其侧面积为12cm2, 9.已知a,b是关于x的方程c2+3c-2010=0的两根，则a2-a-4b的值是2022. 10.某城市2020年底绿化面积为300公顷，经过两年绿化，到2022年底绿化面积为363公顷，则绿化面积平均每 年的增长率为10%· 1,已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为青 l2.如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，BC长为半径画弧BmD,再以边CD为直径画弧CnD,则弧BmD的 长=弧CnD的长（填“>”“<”或“=”） 13.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AE的度数为60°，则∠B+∠D的度数是150度 B 14.如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作 是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是12 15.如图，在AB为直径的半圆中，DE=BC,∠CAB=30°，则弦DE,AC与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面 积的比值等于青 0 第2页共8页 16.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都落在△ABC 的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是0°<∠AOB≤100° 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(8分)解方程：(1)x2+2x-3=0; (2)x+1=xx+1). 【解析】 (1)解：x2+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 c+3=0或x-1=0 x1=-3,03=1 (2)解：x+1=x(x+1) x+1-x(x+1)=0 (x+1)(1-x)=0 x+1=0或1-x=0 01=-1,x=1 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)c+m2=0. (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为1，c2,且满足i+c3=14,求m的值. 【解析】 (1):关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0有实数根，.△=b2-4ac=2-4×1×m≥0，解 得：m≤}，实数m的取值范国为m≤号 (2):1,是关于x的一元二次方程x2+2m-1)x+m=0的两实数根， .c1+xg=-2(m-1),c10=m2 i+x3=14,即：（e1+c)2-21‘=14,.2-2m2=14,∴4m2-8m+4-2m2=14, m=5或-1由()可知方程有实数根，m≤号，∴m=5应舍去， 即：m=-1。 第3页共8页 19.(8分)如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,OD,OE是⊙O的半径，且AB∥OD,AC∥OE, 求证：BD=CE B A 0 C 【解析】 证明：连接OB,OC,OA, 在△AOB与△AOC中， (AB-AC OA-OA OB-OC ∴.△AOB≥△AOC(SSS), ∴.∠AB0=∠ACO, :AB∥OD,AC∥OE ∴.∠ABO=∠BOD,∠ACO=∠COE, ∴.∠BOD=∠COE, .BD=CE。 20.(8分)如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃 ABCD.若花圃ABCD面积为72m,求AB的长. 墙 A C 【解析】 设AB的长是rm,则BC的长是(18-x)m。 根据题意，得： x(18-x)=72,解这个方程，得西=6，c3=12, 当龙=6时，18-c=12>10(不合题意，舍去)。当c=12时，18-x=6符合题意。 答：AB的长是12m。 第4页共8页 21.（(6分)已知：a,b,c是△ABC的三条边，求证：a2+c2<b2+2ac. 【解析】 :a,b,c是△ABC的三条边 “.根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，有 b>0且a-c≥0 ∴.两边同时平方得(a一c)< (a-c)2=a2-2ac+c ..a2-2ac+c2<b2 ∴.移项可得a2+c2<b+2ac。 22.(9分)如图，反比例函数y=”的图象与一次函数y=kx十b的图象交于A,B两点，点A的坐标为(2,6)，点 m B的坐标为(n,1). (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)连接OA,OB,△OAB的面积为 (3)不等式kx+b≤m的解集为 【解析】 ()把点A(2,6)的坐标代入y=匹，得m=12.反比例函数表达式为g=卫 把点Bn,1)的坐标代入y=2,得n=12。.B点坐标为(（12,1)。 设一次函数的表达式为y=k+b,把A(2,6)、B(12,1)两点坐标代入，得 %1解得长=号6=7。一次函数的表达式为y=一宁+7 12k+b=1 (2)设一次函数y=一号+7的图象与轴相交于C点。则C点坐标为14,0)。六0C=1山 A点坐标为(2,6)，.A点到x轴的距离为6。即△AOC的高为6， △40C的面积为：号×4×6=2， :B点坐标为(12,1)，∴.B点到x轴的距离为1。即△BOC的高为1。 :△B00的面积为：号×14×1= S△40B=S△400-S△B00,∴.S△0B=42-7=35: (③)由图象得，不等式kx+b<四的解集为0<x<2或①>12，故答案为0<x<2或0>12。 23.(8分)如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D,连接BD,∠DBC=∠BAC. (1)证明BC与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为6，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积. D 第5页共8页 【解析】 (1)连接BO并延长交⊙O于点E,连接DB。:BE是⊙O的直径，∴，∠BDE=90°， ∴.∠EBD+∠E=90°，：∠DBC=∠DAB,∠DAB=∠E, ∴.∠EBD+∠DBC=90°，即OB⊥BC,又：点B在⊙O上，且OB为⊙O的半径， BC是⊙O的切线： (2)连接OD,∠BOD=2∠A=60°，OB=OD, ∴.△BOD是边长为6的等边三角形， ∴Sn=9×62=5, S骑形Do8=60xX6 360 二6 .S阴影=S扇形D0B-S△B0D=6π-9V3。 24.(8分)如图，已知点D在△ABC边AC上，且AD=AB,以AB为直径的⊙O与BC相切，与AC相交于点E (1)求证：∠BAD=2∠DBC, (2)当AD=3,CD=2时，求BD的长. 01 【解析】 (1)证明：连接AF,如图， AB为直径，∴∠AFB=90°，∴.AF⊥BD, AB=AD,∴.AF平分∠BAD,即∠BAD=2∠BAF, :以AB为直径的⊙O与BC相切， ∴.AB⊥BC,∴.∠ABC=90 ,∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠DBC=90, ∴.∠BAF=∠DBC,∴.∠BAD=2∠DBC: (2)解：连接BE,如图， AD=3,CD=2,.AB=3,AC=5, ∴.BC=√52-32=4， AB为直径，∠AEB=90, BE:AC=号ABBC, 2 BB-3X4=12 5 5 六AB=V丽=-号=号 DE=AD-AE=3-9=6. 5=5 在Rt△BDB中， BD=D+B-√g+(号于- 第6页共8页 25.(8分)如图，已知线段a,b.用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB+AC=b,且分别满足下列条件.（要求：保 留作图痕迹，写出必要的文字说明) (1)AB=AC;(2)∠A=90° 【解析】 (1)作BC=a,再作BC的垂直平分线c,以B为圆心，b的一半为半径作弧交c于点A,连接AC, △ABC即为所求： (2)以BC为直径作圆O,作BC的垂直平分线交圆O于点M,再以点M为圆心，BM长为半径作圆， 再以B为圆心，b为半径作弧，交⊙M于点V,再连接AC,△ABC即为所求。 图 图2 26.(8分)如果关于x的一元二次方程α2+bx+c=0满足a+b+c=0,那么称这样的方程为“美好方程”.例 如，方程x2-4x+3=0,1-4+3=0,则这个方程就是“美好方程” (1)下列方程是“美好方程”的是(). ①x2+2x-3=0②x2-3x=0③x2+1=0④x(x-1)=2(x-1) (2)求证：“美好方程”ax2+bx+c=0总有两个实数根： (3)若美好方程(b-c)x2+（c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，求证：a+c=2b 【解析】 (1)①④ (2)证明：：方程ac2+bc+c=0是美好方程 ∴.a+b+c=0,且a≠0∴.b=-(a+c)△=b2-4ac=[-(a+c)]P-ac=a2+2ac+c2-4ac=(a-c月 ∵(a-c)≥0∴.△≥0 ∴.“美好方程”ax2+be+c=0总有两个实数根。 (3)证明：：方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0是美好方程 ∴.(b-c)+(c-a)+(a-b)=0,且b-c≠0：方程有两个相等的实数根 ∴.△=(c-a)2-4(b-c)(a-b)=0将c-a=(b-c)+(a-b)代入得： [(b-c)+(a-b)]2-4(b-c)(a-b)=0[(6-c)-(a-b)]P=0 ∴.b-c=a-b ∴.a+c=2b 第7页共8页 27.(9分)如图①，己知圆锥母线长为3，底面圆半径为2， (1)圆锥侧面展开图圆心角度数是 (2)己知矩形纸片的边长分别为10cm,6cm.按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB,且扇 形AMB与矩形纸片的两边相切于点P,Q,点A,B在矩形纸片的一边上.利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥 底面的圆形纸片？并说明理由： (3)在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积。 ⊙ ② 【解析】 0202×2r=4女去=号号×30=240 (2)如图，过点M作CM⊥AB,垂足为C:∠AMB=120° ..∠AMC=60°.A1M=3,∠CAM=30°， .∴.CM=1.5∴.D=4.5,DE=5.5:5.5>4,6>4 .能 )）情况一如图：AB=3,BC=5,CD=2AD=5+3 3 3 .SmK=30+8√3 情况二：如图，可求CD=y5,DB=3-2=1故BC为30 3 Y9,AB=3,CG=2AG=5+@ 3 ∴Smm=30+2W39:(8/3)P=192,(2W39)2=156∴.30+2W39<30+8w√/3 故：这个矩形的最小面积30+2√39 H D 第8页共8页2026~2027学年第一学期南京金陵中学仙林校区 九年级数学试卷（10月) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是() A.5 B.6 C.7 D.8 2.用配方法解方程x2-6x-4=0,下列配方正确的是() A.(x-3)2=5 B.(x+3)2=5 C.(x-3)2=13 D.(x+3)2=13 3.如图，己知直线y=mx与双曲线y=飞的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是() A.(1,3) B.(3,1) C.(1,-3) D.（-1,3) 4.如图，AB是直径，点C,D在半圆AB上，若∠BAC=40°，则∠ADC的度数是() A.110° B.120° C.130° D.140° 5.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是(） A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED=45°，则AE+BE的值() A.随着OE的增大而增大 B.随着OE的增大而减小 C.随着OE的增大先增大后减小 D.保持不变 第1页共6页 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上) 7.已知c1,c2是方程x2十4c一3=0的两个实数根，则c1十c2= 8.圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm,则其侧面积为 9.己知a,b是关于x的方程x2+3x-2010=0的两根，则a2-a-4b的值是 10.某城市2020年底绿化面积为300公顷，经过两年绿化，到2022年底绿化面积为363公顷，则绿化面积平均每 年的增长率为 11.已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为」 12.如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，BC长为半径画弧BmD,再以边CD为直径画弧CnD,则弧BmD的 长 弧CnD的长.（填“>”“<”或“=”） m 13.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AE的度数为60°，则∠B+∠D的度数是 度 B 14.如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作 是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是 15.如图，在AB为直径的半圆中，DE=BC,∠CAB=30°，则弦DB,AC与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面 积的比值等于一· 0 第2页共6页 16.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都落在△ABC 的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是」 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(8分)解方程：(1)x2+2x-3=0; (2)x+1=xx+1). 18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x十m2=0 (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为1，x2,且满足xi+c3=14,求m的值. 19.(8分)如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,OD,OE是⊙O的半径，且AB∥OD,AC∥OE, 求证：BD=CE B D 0 第3页共6页 20.(8分)如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃 ABCD.若花圃ABCD面积为72m,求AB的长. 墙 A 0 C 21.(6分)已知：a,b,c是△ABC的三条边，求证：a2+c2<b2+2ac. 22.(9分)如图，反比例函数y=匹的图象与一次函数y=k+b的图象交于A,B两点，点A的坐标为(2,6)，点 B的坐标为(n,1) (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)连接OA,OB,△OAB的面积为 (3)不等式kx+b<m的解集为 m 第4页共6页 23.(8分)如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D,连接BD,∠DBC=∠BAC. (1)证明BC与⊙O相切； (2)若⊙O的半径为6，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积. 24.(8分)如图，已知点D在△ABC边AC上，且AD=AB,以AB为直径的⊙O与BC相切，与AC相交于点E. (1)求证：∠BAD=2∠DBC (2)当AD=3,CD=2时，求BD的长. 0 25.(8分)如图，已知线段a,b.用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB十AC=b,且分别满足下列条件.（要求：保 留作图痕迹，写出必要的文字说明) (1)AB=AC;(2)∠A=90°. 6 26.(8分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+b+c=0,那么称这样的方程为“美好方程”.例 如，方程x2-4x十3=0,1-4+3=0，则这个方程就是“美好方程”. (1)下列方程是“美好方程”的是() ①x2+2x-3=0②x2-3x=0③x2+1=0④x(x-1)=2(x-1) (2)求证：“美好方程”ax2+bx+c=0总有两个实数根 (3)若美好方程(b-c)x2+（c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，求证：a+c=2b 第5页共6页 27.(9分)如图①，已知圆锥母线长为3，底面圆半径为2， (1)圆锥侧面展开图圆心角度数是 (2)己知矩形纸片的边长分别为l0cm,6cm.按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB,且扇 形AMB与矩形纸片的两边相切于点P,Q,点A,B在矩形纸片的一边上.利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥 底面的圆形纸片？并说明理由： (3)在一张矩形纸片中裁出一个扇形和圆形，使其可以拼成该圆锥，求这个矩形的最小面积. 10 ① ② 备用图1 备用图2 第6页共6页