3.2.1 函数的单调性与最大（小）值讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数的定义域是 如果对于___任意_____的，当__ ______时，都有________，那么就称函数是增函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上___单调递增_____. 如果对于_任意_______的，，当________时，都有________，那么就称函数是减函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上_单调递减_______. 图像描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．函数的最大值和最小值 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，都有______，则称的最大值为，而称为的__最大值点____； （2）如果对任意，都有______，则称的最小值为，而称为的__最小值点____． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 定义法证明函数的单调性 基础知识 核心知识 增函数定义定义域内任意有 减函数定义定义域内任意有 方法技巧 1.设元在指定区间上任取令 2.作差计算 3.变形因式分解通分配方化成便于判断符号的形式 4.判号判断正负 5.下结论差值大于0为增函数差值小于0为减函数 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)证明：设， 则， 因为，， 所以，即在上单调递减， 又，，故值域为. 【分析】（1）根据换元法计算求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明单调性，进而可得值域. 【详解】（1）由，令，则， 则有，即； 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【答案】函数在上是减函数，最大值是5，最小值是4. 【详解】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 【巩固练习3】（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数,证明略. 【题型2】 求不含参数的函数的单调区间 基础知识 核心知识 单调区间必须是函数定义域的子区间 多个单调区间之间不能用连接用逗号隔开 方法技巧 1.先求函数定义域 2.基础函数直接记忆单调性复杂函数可图像观察 3.写出单调递增区间与单调递减区间 4.检验区间端点开闭区间不影响单调性 典型例题 【例题1】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 【例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 【巩固练习3】（25-26高一上·天津静海·期中）已知函数的解析式为 (1)在坐标系中画出这个函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)求的值； (3)解不等式． 【答案】(1) 增区间为，减区间为 (2)， (3) 【分析】（1）根据分段函数画出图象，即可由图象写出单调区间； （2）根据自变量值，代入计算可得； （3）由图象，即可解不等式. 【详解】（1） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由得，，. （3）由图可知，当时，恒成立； 当时，，解得， 当时，，解得. 综上所述，所以不等式的解集为. 【题型3】 由函数的单调性求参数范围 基础知识 核心知识 函数在区间单调则自变量增大时函数值保持递增或递减 一次二次函数单调性由一次项系数对称轴决定 方法技巧 1.判断函数类型一次/二次等 2.结合单调性列出关于参数的不等式 3.注意区间边界验证等号能否成立 4.最后检验参数取值是否满足定义域 典型例题 【例题1】（广东省五校2026-2027学年高三上学期第一次联考数学试卷）已知函数为增函数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先确保两段函数在各自定义域内单调递增，再结合分段点处左段函数值不大于右段函数值列不等式求解的范围，即可得到的最小值. 【详解】一次函数的斜率为，在上恒为增函数； 对勾函数的单调递增区间为， 要使其在上单调递增，需满足 ①； 增函数要求分段点处左段函数的最大值不大于右段函数的最小值，即时满足： ， 由于，得，整理得， 因式分解为，解得或 ②； 取①②的交集得，因此的最小值为. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】分别求出二次函数、分式函数在区间上单调递减的的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】由题意，函数的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， 故在上单调递减， 若在区间上单调递减，则，解得； 若函数在区间上单调递减， 则，且或，即或. 综上，实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【巩固练习2】（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． 【题型4】 由分段函数的单调性求参数范围 基础知识 核心知识 分段函数整体单调不仅每一段自身单调还要满足分段点处衔接条件 方法技巧 1.分别保证每一段函数满足同向单调性 2.左段在分段点的函数值≤右段在分段点的函数值（整体递增） 左段在分段点的函数值≥右段在分段点的函数值（整体递减） 3.联立多个不等式组求解参数范围 4.重点检验分段点处等号取舍 典型例题 【例题1】（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 【例题2】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 【巩固练习2】（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合一次函数，二次函数的单调性列出不等式组求解． 【详解】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 【巩固练习3】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次函数单调性规律求出分段函数在上单调递增的参数的取值范围，再结合必要条件的集合包含关系求解的最大值. 【详解】因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 因为当时，，单调递增区间为， 所以要使在上单调递增，需满足. 同时需满足分段点处左段函数值不大于右段函数值，即， 整理得，对任意实数恒成立. 综上，函数在上单调递增的充要条件为. 因为是在上单调递增的必要条件，即单调递增可推出恒成立， 所以需小于等于的最小值，即，故的最大值为. 【题型5】 复合函数的单调性 基础知识 核心知识 同增异减内外层函数单调性相同时复合函数为增内外层相反时复合函数为减 复合函数定义域由内层函数决定 方法技巧 1.拆成内层外层 2.求出复合函数定义域 3.分别写出内外层函数单调区间 4.利用同增异减判断复合函数单调性 5.只在定义域内写单调区间 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 【例题2】（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 【题型6】 抽象函数的单调性 基础知识 核心知识 抽象函数无解析式依靠这类关系式判断增减性 方法技巧 1.任取区间构造 2.利用已知关系式变形拆分式子 3.判断差值正负得到单调性 4.赋值法辅助获取特殊函数值辅助推理 典型例题 【例题1】（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【答案】(1)令 ， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. (2)（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）令，代入即可解出的值．利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可． （2）（ⅰ）依题意得，，由累加法，即可求解； （ⅱ）由题意转化条件为，利用单调性等价变形为，解出即可． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 【例题2】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【答案】(1) (2)证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． (3)单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【分析】（1）根据赋值法代入求解即可. （2）结合已知条件，分情况证明即可. （3）根据单调性的定义判断证明即可. 【详解】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 【答案】(1)因为，令，则，即． 因为，所以，即，解得． 对任意的，有， 即， 化简得， 因为，所以，则， 因为当时，，所以， 因此，所以在定义域上是单调增函数． (2)， 对，有 ，所以； 且函数为一次函数，在定义域上单调递增，而， 所以当时，； 综上所述，函数具有题目所给性质 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【答案】在上单调递增 【分析】根据题意，利用函数单调性的定义和判断方法，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 可得， 因为且，所以，所以，所以， 即，所以在上单调递增. 【巩固练习3】（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【答案】(1) (2)当时，． 即，由于对于任意实数，，有， 则，即有时，． 设，则，， 则由， 得，即． 故在定义域上是单调递增函数． 【分析】（1）利用赋值法即可求得答案； （2）先由题意推出时，．继而设，可得，，则由，推出，即可证明结论. 【详解】（1）由于对于任意实数，有， 令，则，即， 再令，则， 由于，则； 【题型7】 由函数的单调性比较大小 基础知识 核心知识 单调增函数自变量大函数值大 单调减函数自变量大函数值小 方法技巧 1.判断函数单调性 2.把自变量全部转化到同一个单调区间内 3.比较自变量大小依据单调性推出函数值大小 4.注意定义域限制 典型例题 【例题1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 【例题2】（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义，结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】由绝对值的几何意义可知，在数轴上表示到的距离比到1的距离更近， 而，该二次函数的对称轴为，且开口朝上，易知到对称轴的距离越近，函数值越小，故， 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（安徽省天一大联考2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据定义法分析的单调性，然后将问题转化为“” ，结合单调性可知结果. 【详解】设函数，任取， 则 ， 因为，且， 所以，所以， 所以，所以，所以在上单调递减， 由，可得， 即，所以，即. 故选：B. 【巩固练习2】（25-26高一上·广西钦州·期中）（多选）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（   ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】先由单调性的定义和对称性得到函数在上单调递减，在上单调递增，进而可得BC，再由抽象函数的单调性可判断AD. 【详解】任意给定，函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 【巩固练习3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 【题型8】 由函数的单调性解抽象不等式 基础知识 核心知识 利用单调性脱去符号把转化为自变量的不等式 方法技巧 1.写出函数定义域所有自变量必须在定义域内 2.判断增减性 3.根据单调性去掉转化普通不等式 4.联立定义域不等式取交集得到解集 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 【例题2】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数是上的减函数，且， 根据减函数的性质：自变量越大，函数值越小，可得，故①处填. 由，且是上的减函数， 可得自变量满足，同时分式有意义需. 解不等式，即，等价于且， 解得或，故②处填. 【巩固练习2】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 【题型9】 函数不等式的恒成立问题 基础知识 核心知识 恒成立 恒成立 方法技巧 1.分析函数单调性求出区间上最值 2.转化最值满足的不等式 3.求解参数范围验证端点 典型例题 【例题1】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】或或 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】整理可得在上恒成立，根据x的范围，可求得的范围，分析即可得答案. 【详解】由题意，可得，即， 当时，，所以在上恒成立， 只需， 当时有最小值为1，则有最大值为3， 则，实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 【巩固练习2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 【巩固练习3】（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． 【题型10】 函数不等式的有解问题 基础知识 核心知识 有解 有解 方法技巧 1.分析单调性求函数在区间最值 2.转化为最值满足不等式 3.解参数范围区分有解和恒成立逻辑 典型例题 【例题1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 【例题2】（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 【巩固练习2】（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域 (2) 【分析】(1)利用构造法可得到一个对勾型函数，再利用单调性来求值域； (2)利用分离参变量法，再利用对勾函数的单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 令，则，因为，所以， 再结合已知可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值， 因为当时，，当时，， 所以当时，取到最大值， 即的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域； （2）由不等式，结合，可变形为， 由原不等式有解转化为， 再由已知可得在区间上单调递增， 所以，即， 故实数的取值范围是. 【题型11】 由条件构造新函数的单调性解不等式 基础知识 核心知识 根据含有的式子构造 利用单调性脱去函数符号解不等式 方法技巧 1.观察题干式子构造合适新函数 2.判断单调性 3.把原不等式转化成与比较形式 4.脱转化自变量不等式结合定义域求解集 典型例题 【例题1】（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，由，可得， 即． 令，可得，可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，， 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 【例题2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意， ，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的， ，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则 ， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 【巩固练习2】（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有 ， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即 ，所以，解得， 即不等式的解集是． 【巩固练习3】（2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】不等式 可化为，结合单调性定义证明在上单调递减，结合函数的定义域及单调性解不等式可得结论. 【详解】由题意知： 可得， 故 且，所以 令，不妨设，可得，则 即，所以在上单调递减， 则不等式 ， 因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 2．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列说法中正确的个数为（   ） ①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数； ②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在上就一定是减函数； ③对任意的，且，当时，在上是减函数； ④对任意的，且，当时，在上是增函数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”，故①错误； 对于②，以为例，在和分别单调递减，但在不是减函数，可知②错误； 对于③，因为等价于， 而此式又等价于或， 即或，所以在上是减函数，故③正确； 对于④，等价于或， 即或，故④正确． 3．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断函数在R上单调递减，根据分段函数在R上单调递减即要在每一段上都单调递减，即可求出a的取值范围，另外还要考虑分界点处的大小关系. 【详解】因为对任意，  都有 成立， 所以函数在R上单调递减. 设，在上单调递减， 即，即. 设，在上单调递减， 的图象开口向上，对称轴为直线. 所以，即. 又，， 因为在R上单调递减，所以， 即，解得. 综上所述，a的取值范围是. 4．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 5．（25-26高一上·江苏·期末）若定义在上的函数满足对任意的，，都有，则称函数具有性质破晓.已知函数具有性质破晓，则不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，在上单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】函数满足对任意的，，都有， 设，则，，即，， 令，则当，，在上单调递减， 则两边同乘，得，即， ， 即得到，， 故，解得. 故选：D. 二、多选题 6．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 7．（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 三、填空题 8．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 9．（2026高三上·全国·专题练习）若对满足条件的任意实数恒成立，则实数的最大值是_______． 【答案】/ 6.5 【分析】利用基本不等式先求出的取值范围，换元之后将二元恒成立转化为单变量函数恒成立，分离参数，利用函数单调性求最值. 【详解】因为，由基本不等式得，代入得， 令，，所以，解得或， 因为，所以， 由对满足条件的恒成立得对恒成立， 即对恒成立， 令，在区间上单调递增， ， 要使得对恒成立，则 ， 所以的最大值是. 四、解答题 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 11．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 12．（24-25高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【答案】(1)0，4 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求，； （2）结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 13．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将问题转化为两个函数的最值问题，解不等式 即可； （2）将问题转化为两个函数与在上值域关系，列式计算即可； （3）设得到在上单调递减，再根据减函数的定义即可求出. 【详解】（1）因为， 因为， 当时，， 因为，当时，， 因为， 所以，即， 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 由题意， 则，所以； （3）， 设，所以， 即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以． 14．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)设且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是增函数； (3)． 【分析】（1）利用赋值法即可求解； （2）根据函数单调性的定义结合已知函数满足的性质即可证明结论； （3）由题意将原不等式转化为，再结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）令代入，得，所以 （2）略 （3）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以不等式可化为 所以，解得，所以不等式的解集为． 15．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，值域为 (3) 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 16．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，， 故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为, 可得 解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或， 故实数的取值范围为 17．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 【答案】(1)证明：设，且， 则，即， 所以 ， 所以，所以是上的增函数． (2) 【分析】（1）结合函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性. （2）先利用赋值法得到，再结合函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以． 在上式中取，，则有，因为，所以. 于是不等式等价于（）． 由题意知是上的增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为． 18．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式代入，化简得到，则需满足即可求的取值范围；（2）去掉绝对值把函数写成分段二次函数，分别求出两段的对称轴，依据正负判断对称轴是否落在对应定义域，求出每一段的局部最小值，再比较两段得到整个函数的最小值。 【详解】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. $3.2.1 函数的单调性与最大（小）值 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数的定义域是 如果对于___任意_____的，当__ ______时，都有________，那么就称函数是增函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上___单调递增_____. 如果对于_任意_______的，，当________时，都有________，那么就称函数是减函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上_单调递减_______. 图像描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．函数的最大值和最小值 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，都有______，则称的最大值为，而称为的__最大值点____； （2）如果对任意，都有______，则称的最小值为，而称为的__最小值点____． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 定义法证明函数的单调性 基础知识 核心知识 增函数定义定义域内任意有 减函数定义定义域内任意有 方法技巧 1.设元在指定区间上任取令 2.作差计算 3.变形因式分解通分配方化成便于判断符号的形式 4.判号判断正负 5.下结论差值大于0为增函数差值小于0为减函数 典型例题 【例题 1】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【巩固练习3】（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【题型2】 求不含参数的函数的单调区间 基础知识 核心知识 单调区间必须是函数定义域的子区间 多个单调区间之间不能用连接用逗号隔开 方法技巧 1.先求函数定义域 2.基础函数直接记忆单调性复杂函数可图像观察 3.写出单调递增区间与单调递减区间 4.检验区间端点开闭区间不影响单调性 典型例题 【例题1】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【巩固练习3】（25-26高一上·天津静海·期中）已知函数的解析式为 (1)在坐标系中画出这个函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； (2)求的值； (3)解不等式． 【题型3】 由函数的单调性求参数范围 基础知识 核心知识 函数在区间单调则自变量增大时函数值保持递增或递减 一次二次函数单调性由一次项系数对称轴决定 方法技巧 1.判断函数类型一次/二次等 2.结合单调性列出关于参数的不等式 3.注意区间边界验证等号能否成立 4.最后检验参数取值是否满足定义域 典型例题 【例题1】（广东省五校2026-2027学年高三上学期第一次联考数学试卷）已知函数为增函数，则的最小值是______． 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______． 【题型4】 由分段函数的单调性求参数范围 基础知识 核心知识 分段函数整体单调不仅每一段自身单调还要满足分段点处衔接条件 方法技巧 1.分别保证每一段函数满足同向单调性 2.左段在分段点的函数值≤右段在分段点的函数值（整体递增） 左段在分段点的函数值≥右段在分段点的函数值（整体递减） 3.联立多个不等式组求解参数范围 4.重点检验分段点处等号取舍 典型例题 【例题1】（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知是函数在上单调递增的必要条件，则的最大值为_________． 【题型5】 复合函数的单调性 基础知识 核心知识 同增异减内外层函数单调性相同时复合函数为增内外层相反时复合函数为减 复合函数定义域由内层函数决定 方法技巧 1.拆成内层外层 2.求出复合函数定义域 3.分别写出内外层函数单调区间 4.利用同增异减判断复合函数单调性 5.只在定义域内写单调区间 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【巩固练习3】（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【题型6】 抽象函数的单调性 基础知识 核心知识 抽象函数无解析式依靠这类关系式判断增减性 方法技巧 1.任取区间构造 2.利用已知关系式变形拆分式子 3.判断差值正负得到单调性 4.赋值法辅助获取特殊函数值辅助推理 典型例题 【例题1】（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【例题2】（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【巩固练习3】（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【题型7】 由函数的单调性比较大小 基础知识 核心知识 单调增函数自变量大函数值大 单调减函数自变量大函数值小 方法技巧 1.判断函数单调性 2.把自变量全部转化到同一个单调区间内 3.比较自变量大小依据单调性推出函数值大小 4.注意定义域限制 典型例题 【例题1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（安徽省天一大联考2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷）若，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·广西钦州·期中）（多选）已知函数满足：任意给定，都有函数关于对称，且任意，，，则下列结论正确的题号是（   ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【巩固练习3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8】 由函数的单调性解抽象不等式 基础知识 核心知识 利用单调性脱去符号把转化为自变量的不等式 方法技巧 1.写出函数定义域所有自变量必须在定义域内 2.判断增减性 3.根据单调性去掉转化普通不等式 4.联立定义域不等式取交集得到解集 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【巩固练习2】（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【题型9】 函数不等式的恒成立问题 基础知识 核心知识 恒成立 恒成立 方法技巧 1.分析函数单调性求出区间上最值 2.转化最值满足的不等式 3.求解参数范围验证端点 典型例题 【例题1】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，若对于，恒成立，求实数的取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知二次函数（）满足，． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型10】 函数不等式的有解问题 基础知识 核心知识 有解 有解 方法技巧 1.分析单调性求函数在区间最值 2.转化为最值满足不等式 3.解参数范围区分有解和恒成立逻辑 典型例题 【例题1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【例题2】（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【巩固练习2】（25-26高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【题型11】 由条件构造新函数的单调性解不等式 基础知识 核心知识 根据含有的式子构造 利用单调性脱去函数符号解不等式 方法技巧 1.观察题干式子构造合适新函数 2.判断单调性 3.把原不等式转化成与比较形式 4.脱转化自变量不等式结合定义域求解集 典型例题 【例题1】（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为_________. 【例题2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意， ，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列说法中正确的个数为（   ） ①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数； ②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在上就一定是减函数； ③对任意的，且，当时，在上是减函数； ④对任意的，且，当时，在上是增函数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高三上·天津滨海新区·开学考试）函数，若对任意  都有 成立，则实数a 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 5．（25-26高一上·江苏·期末）若定义在上的函数满足对任意的，，都有，则称函数具有性质破晓.已知函数具有性质破晓，则不等式的解为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 7．（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 三、填空题 8．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 9．（2026高三上·全国·专题练习）若对满足条件的任意实数恒成立，则实数的最大值是_______． 四、解答题 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的单调区间． (1). (2). 12．（24-25高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 13．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 14．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且当时，． (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 15．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 16．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 18．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. $