阶段综合检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修第一册阶段综合检测卷 考察范围：集合与逻辑用语＋一元二次函数、方程和不等式＋函数的概念与性质 姓名： 班级： 得分： 【注意事项】 ①．考试时间：120分钟 满分：150分 ②.作答前，请将姓名、班级填写在试卷指定位置。 ③.所有答案请书写规范，解答题需写出必要解题步骤。 ④.命题说明：适配普通高中试卷结构，单选8题+多选3题+填空3题+解答题5题，难度配比：基础50%，中档30%，拔高20% 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.设集合，，则的子集个数有（ ） A.3 B. 5 C. 8 D.11 2.已知集合，，则下列关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 3.设集合，，则“m=2”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数，满足，则这样的函数个数为（ ） A. 1 B. 3 C.5 D.7 5.命题“”是真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 7.已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B.2 C. 4 D.6 8.函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。） 9.如果集合M满足：若，则，那么称集合M为“对称集合”，已知集合，且M是对称集合，则集合M的子集可能是（ ） A. B. C. D. 10.下列命题是真命题的是（ ） A.集合和集合是同一集合 B.“”是“”的必要不充分条件 C. D.恒成立 11.下列说法正确的有（ ） A.已知，且满足，则的最大值为 B.已知函数，则 C.命题“”为假命题 D. 函数的值域存在，则函数的最值也一定存在 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.方程至少有一个负实数根的充要条件是 。 13.函数的值域为 。 14.已知，则函数的解析式为 。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知是定义在R上的奇函数。 （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围。 16.（14分）某企业为了进一步回笼资金，拟定在2026年底进行一系列促销活动，经过市场调研和测算，企业的产品的年销售量万件与年促销费万元之间满足以下关系：与成反比例关系，如果不搞促销活动，产品的销售量只能为1万件，已知2026年已投入生产产品的固定成本为5万元，每生产1万产品需要再投入40万元的生产成本，若将产品的定价定为“其生产成本的150%”与“平均每件产品促销费的80%”之和，则当年生产的产品全部销售完。 （1）将2026年的年利润（万元）表示为年促销费（万元）的函数： （2）该企业在2026年的年促销费投入多少万元时，才能让企业的年利润最大？（利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用） 17.（15分）已知，恒成立。 （1）若，求的最小值； （2）求的取值范围。 18.（17分）集合， （1）若且，则的值； （2）若，则的值。 19.（18分）已知函数，对于，恒成立。 （1）证明：当时， （2）若对满足题设条件的任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案与详细解析 1.设集合，，则的子集个数有（ ） A.3 B. 5 C. 8 D.11 【解析】集合 ，所以，元素个数 n=3。 子集个数公式： 答案：C 2.已知集合，，则下列关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【解析】集合，其定义域为解得 即 集合 A选项：取 ，成立。 B选项：：取 ，，成立。 C选项：A=B：因为A在处挖空，B 是连续开区间，不可能相等。不成立 D：：同B，，成立。 答案：C 3.设集合，，则“m=2”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】集合 所以 集合 。 若 ，则 ，且集合元素互异，。 ，充分性成立。 但时，m还可以是 -2、-1、1，不一定等于2，必要性不成立。 所以“m=2”是“”的充分不必要条件， 答案： A 4.函数，满足，则这样的函数个数为（ ） A. 1 B. 3 C.5 D.7 【解析】函数 ，满足 设 条件： 1. 2.：恒等函数 3. 一共3个， 答案：B 5.命题“”是真命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】命题“”是真命题，即对任意实数，不等式恒大于等于0。 分两种情况讨论： 情况①：当即 原式变为：，即 显然不能对所有实数都成立，所以舍去。 情况②当，二次函数在R上恒成立，需要同时满足： 1.开口向上： 2.判别式 ：（抛物线与轴最多一个交点） 计算判别式： 解得： 结合开口条件 ，取交集得 答案：D 6.已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【解析】令,则，代入右边： 把换成，得到函数 答案：A 7.已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B.2 C. 4 D.6 【解析】已知正实数，满足， 则 由基本不等式：,当且仅当 。 又 ，联立得。 则 最小值为 2 答案：B 8.函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 函数 ①.判断奇偶性 当 故 当 故 又 所以 是奇函数，即。 化简不等式 ②.判断单调性 时，在上单调递减； 奇函数在对称区间单调性相同，所以在R上单调递减。 单调递减： 答案：A 9.如果集合M满足：若，则，那么称集合M为“对称集合”，已知集合，且M是对称集合，则集合M的子集可能是（ ） A. B. C. D. 【解析】定义：集合M满足：若，则，那么称集合M为“对称集合” 已知集合。 集合有三个元素：,0,，根据对称集合性质： 元素的相反数也必须在集合里； 元素的相反数也必须在集合里。 集合中已有元素 0，满足条件。 集合一共只有3个元素： 所以这两个元素互为相反数： 即 1.若时，，三个元素全是0，不满足集合元素互异性，舍去。 2.若时， 得到集合 A选项：空集是任何集合的子集 B选项： 元素都在M内，是M的子集 C选项： 元素都在M内，是M的子集 D选项： 元素都在M内，是M的子集， 答案：ABCD 10.下列命题是真命题的是（ ） A.集合和集合是同一集合 B.“”是“”的必要不充分条件 C. D.恒成立 【解析】A选项：集合是点集，集合是数集，两个集合类型不一样，不是同一集合。错误❌ B选项：条件：，要求，此时可以推出； 但是，若，则无意义，推不出。 所以，即“”是“”的必要不充分条件。正确 C选项：，取，存在这样的实数。正确✅ D选项：不一定成立。 取，代入得，不成立。❌ 答案：BC 11.下列说法正确的有（ ） A.已知，且满足，则的最大值为 B.已知函数，则 C.命题“”为假命题 D. 函数的值域存在，则函数的最值也一定存在 【解析】A选项：已知，且满足 由基本不等式： 当且仅当取等号,最大值为。✅ B选项：函数， C选项：命题：“”举反例：取 。 存在整数使得式子不成立，所以这个全称命题是假命题。✅ D选项：函数值域存在，最值不一定存在。 例：，值域为(0,1)，但是没有最大值、最小值。❌ 答案：ABC 12.方程至少有一个负实数根的充要条件是 。 【解析】方程至少有一个负实数根的充要条件 ① 当时，方程变为，是负根，满足条件。 ② 当 时，一元二次方程 其判别式 一负根、一正根,则两根之积，此时一定满足。 当根为两个负根： 综合所得： 充要条件： 13.函数的值域为 。 【解析】换元：令，则 故 开口向下，对称轴。 当时， 当， 所以值域为 14.已知，则函数的解析式为 。 【解析】已知,则 即 两式相减： 故 15.（13分）已知是定义在R上的奇函数。 （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围。 【解析】（1）奇函数在处有定义，则 则 验证：当时，函数 ，满足奇函数要求。✅ （2）先化简函数： 在R上单调递增，而单调递减，所以在R上单调递减。 不等式变形: 单调递减，函数大则自变量小： 所以实数的取值范围为 16.（14分）某企业为了进一步回笼资金，拟定在2026年底进行一系列促销活动，经过市场调研和测算，企业的产品的年销售量万件与年促销费万元之间满足以下关系：与成反比例关系，如果不搞促销活动，产品的销售量只能为1万件，已知2026年已投入的产品固定成本为5万元，每生产1万产品需要再投入40万元的生产成本，若将产品的定价定为“其生产成本的150%”与“平均每件产品促销费的80%”之和，则当年生产的产品全部销售完。 （1）将2026年的年利润（万元）表示为年促销费（万元）的函数： （2）该企业在2026年的年促销费投入多少万元时，才能让企业的年利润最大？（利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用） 【解析】（1）①求销量表达式： 与成反比例，设 不促销，也就是时，把代入 故 ②生产成本：（固定成本5万＋每1万件投入40万） ③销售收入：每件售价＝生产成本的150%＋平均每件促销费的80% 总促销费是万元，一共万件，每件促销费为 销售收入＝ ④利润公式：利润=销售收入－生产成本－促销费 即 把，再把代入： 则 即 （2）目标是让利润最大，即让值最大，等价于把的值最小化。 变形凑基本不等式： 令，则 由基本不等式： 等号成立条件： 则 结论：投入促销费18万元的时候，年利润取得最大值万元 17.（15分）已知，恒成立。 （1）若，求的最小值； （2）求的取值范围。 【解析】（1）由得 因为 ，由基本不等式： 当且仅当，即 时取等号。 又，所以 所以 故的最小值为3 （2）不等式恒成立 即左边的最小值 分段讨论绝对值： ①当时： 得 ② 当时： 恒成立，得 ③当时： 得 合并三段： 所以的取值范围为。 18.（17分）集合， （1）若且，则的值； （2）若，则的值。 【解析】（1）因为 ，集合，所以只能 条件：，，即 当时，满足。 集合，元素互不相同，符合集合互异性 当时，，集合，元素重复，不满足集合互异性 舍去 所以 （2），，已知，因此必须满足 ，所以分两种情况： 情况①： | 当时， 当时， 情况②： 右边 （绝对值≥0），得或 又因为 ①2 时: ，（舍去） 当，满足 检验，，此时 ②2 时: 当时，取，（舍去） 检验： 综上，满足条件的的值： 19.（18分）已知函数，对于，恒成立。 （1）证明：当时， （2）若对满足题设条件的任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）由条件，整理得： 二次函数恒大于等于0，判别式 即 则 由基本不等式：，且 作差： 因为 又 当 （2） 不等式： ① 当，则，两边除以得 令 ，由于， 设在 上单调递增。 当时， 所以 ，要使不等式要恒成立，则 ② 当时，由于 若时，则 若时，则 此时 ，原不等式变为 ，代入检验成立。 综上所述：实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $