3.2.1 单调性与最大(小)值同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大(小)值课后同步作业 （限时：45分钟） 1．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 3．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出函数的定义域，然后对进行讨论，其中当时，将函数变形，再结合基本不等式即可求出其最大值. 【详解】由题意得， 当时，； 当即时， ， （当时等号成立.） . 综上所述函数的最大值为. 4．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 5．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 6．定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 7．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值域的性质结合分离参数法得到，再得到时，，最后利用二次函数的性质分类讨论对称轴的位置，建立不等式，求解取值范围即可. 【详解】因为的值域为， 所以当时，恒成立， 而，则，即， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 当时，，可得， 因为，所以， 而，可得，且的值域为， 则当时，， 由二次函数性质得的对称轴为，， 当时，解得，此时，解得， 可得实数的取值范围是， 当时，解得，此时， 可得实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是，故B正确. 8．（多选）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减小， ①当时，当时，y随x的增大而增大， 则当时取得最小值，为 当时取得最大值，为， ∵最大值与最小值的差为12， ∴ ， 解得，符合题意； ②当时， 则当时取得最大值，为9， 当时取得最小值，为， 此时最大值与最小值的差为12，符合题意； ③当时， 则当时取得最大值，为9 当时取得最小值，为， ∵最大值与最小值的差为12， ∴， 解得（舍去）. ∴综上，得到n的取值范围为：. 则n的取值可以是0，1，2. 9．（多选）若函数，则下列结论正确的是（   ） A．对恒成立，则实数的取值范围是 B．若，使得，则实数的取值范围是 C．若，使得，则实数的取值范围是 D．对，都，使得成立 【答案】ACD 【分析】求出、的值域，再根据恒成立问题或能成立问题逐项判断可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 对于A，，若恒成立，则， 所以实数的取值范围是，故A正确； 对于B，，若，则， 所以实数的取值范围是，故B错误； 对于C，，有解，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，由于，，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 而， 显然，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，即可求出；对于B，采用举反例来进行判断；对于C，先证明，再令，得到，从而判断；对于D，采用赋值法，求出和，再结合进行比较. 【详解】对于选项A，令，则，故A正确； 对于选项B，因为，而，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于选项C，令，则，则， ，则.又，则. 令，，则，故C正确； 对于选项D，由，则， 所以，， 又，则，即，故D错误. 11．若在上是增函数，则的取值范围是________，若在 上是减函数，则的范围是________. 【答案】 【详解】当，即时，在 上是增函数； 开口向下的二次函数无法在上递增，故，即， 对称轴方程为， 要使函数在 上是增函数，则， 解得.又，所以. 综上的取值范围是. 开口向上的二次函数无法在上递减， 则，即时，二次函数的图象开口向下， 要使在 上是减函数，则，解得， 所以的取值范围是. 12．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 13．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 14．函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. (2) 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 15．已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出，代入，即可求出函数的解析式； （2）由题意可得恒成立，分和两种情况讨论，求得答案. （3）先化简不等式，再参变分离，根据双勾函数的单调性求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】（1）令，则， ∴ ， 即. （2）由题意可得：恒成立， 当 时， ，满足题意.   当 时，若 恒成立，则 解得. 所以实数 的取值范围为. （3）由题意得恒成立， 即恒成立， 又因为，∴恒成立， 令，， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴， 即实数的取值范围为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大(小)值课后同步作业 （限时：45分钟） 1．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（多选）若函数，则下列结论正确的是（   ） A．对恒成立，则实数的取值范围是 B．若，使得，则实数的取值范围是 C．若，使得，则实数的取值范围是 D．对，都，使得成立 10．（多选）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 11．若在上是增函数，则的取值范围是________，若在 上是减函数，则的范围是________. 12．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 13．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 14．函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 15．已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $