3.2.1单调性与最大（小）值同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第6节 单调性与最大（小）值（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题 1. 下列函数中，在区间 (0, +∞) 上为增函数的是（ ） A. y = B. y = C. y = 1 − x D. y = 【答案】 D 【解析】 A 反比例函数在 (0,+∞) 递减；B 抛物线在 (0,1) 递减、(1,+∞) 递增；C 一次函数斜率为负，在 R 上递减；D y = 在 (0,+∞) 递增。 2. 函数 f(x) = − 4x + 3 的单调递减区间是（ ） A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. (−∞, 1] D. [3, +∞) 【答案】 A 【解析】 f(x) = − 1，开口向上，对称轴 x = 2。在对称轴左侧递减，即 (−∞, 2]。 3. 函数 f(x) = x + （x > 0）的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 不存在 【答案】 B 【解析】 由基本不等式 x + ≥ 2 = 4，当且仅当 x = ，即 x = 2 时取等号。 4. 设 f(x) 是 R 上的减函数，则下列关系中正确的是（ ） A. f(a) > f(2a) B. f() < f(a) C. f( + a) < f() D. f() > f( + 1) 【答案】 D 【解析】 减函数：自变量大则函数值小。A 中 a 与 2a 的大小关系不定（若 a < 0，则 a > 2a，f(a) < f(2a)）；B 中 与 a 的大小关系不定（a ∈ (0,1) 时 < a，f() > f(a)）；C 中 (+a) − = a，符号不定；D 中 + 1 > ，由减函数性质 f() > f(+1)，恒成立。 5. 函数 f(x) = 在区间 [2, 5] 上的最大值与最小值分别为（ ） A. 1， B. ，1 C. ， D. ， 【答案】 A 【解析】 f(x) = 在 [2,5] 上递减（x−1 递增，倒数递减）。最大值 f(2) = = 1，最小值 f(5) = = 。 6. 若函数 f(x) = + 2(a − 1)x + 2 在区间 (−∞, 4] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. [−3, +∞) B. (−∞, −3] C. (−∞, 3] D. [3, +∞) 【答案】 B 【解析】 抛物线对称轴 x = 1 − a。开口向上，在对称轴左侧递减。要使 (−∞, 4] 为递减区间，需 4 ≤ 1 − a，即 a ≤ −3。 7. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数，若 f(2m − 1) < f(m + 1)，则实数 m 的取值范围是（ ） A. m < 2 B. m > 2 C. m < 0 D. m > 0 【答案】 A 【解析】 增函数：函数值小则自变量小。由 f(2m−1) < f(m+1) 得 2m − 1 < m + 1，解得 m < 2。 8. 函数 f(x) = − 2x + 3 在 [0, m] 上的最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围是（ ） A. [1, +∞) B. [0, 2] C. [1, 2] D. (1, 2] 【答案】 C 【解析】 f(x) = + 2。最小值 f(1) = 2，需 1 ∈ [0,m]，即 m ≥ 1。最大值 f(0) = 3，要使最大值不超过 3，需 f(m) ≤ 3，即 + 2 ≤ 3， ≤ 1，0 ≤ m ≤ 2。综合 1 ≤ m ≤ 2。 二、多项选择题 9. 下列函数中，在区间 (0, 2) 上为增函数的是（ ） A. y = 3 − x B. y = + 1 C. y = D. y = − 1 【答案】 BD 【解析】 A 一次函数斜率为负，在 R 上递减；B 抛物线开口向上，对称轴 x = 0，在 (0,2) 递增；C 反比例函数在 (0,2) 递减；D 抛物线开口向上，对称轴 x = 0，在 (0,2) 递增。 10. 关于函数 f(x) = 的性质，下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 R B. f(x) 的最小值为 0 C. f(x) 的最大值为 2 D. f(x) 在 R 上单调递增 【答案】 ABC 【解析】 f(x) = = 1 + 。 A 分母 +1 ≥ 1 > 0，定义域 R； B 当 x = −1 时，f(−1) = 0，且 ≥ 0，故最小值 0； C 求最大值： ≤ 1（由 +1 ≥ 2|x|），故 f(x) ≤ 2，当 x = 1 时取等； D f(0) = 1，f(1) = 2，f(2) = = 1.8，先增后减，不是单调递增。 11. 已知函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A. f(1) > f(2) B. f(0) > f(3) C. f() ≤ f(0) D. f( + 1) < f(1) 【答案】 ABC 【解析】 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，即自变量越大，函数值越小。 A 由 1 < 2 得 f(1) > f(2)，正确； B 由 0 < 3 得 f(0) > f(3)，正确； C ≥ 0，故 f() ≤ f(0)，正确； D 由 + 1 ≥ 1 得 f( + 1) ≤ f(1)；当 a = 0 时 + 1 = 1，有 f(1) = f(1)，等号成立，故 f( + 1) < f(1) 不恒成立，D 错。 三、填空题 12. 函数 f(x) = 的单调递减区间是________。 【答案】 (−∞, 1) 和 (1, +∞) 【解析】 f(x) = = 2 + 。由 y = 向右平移 1 个单位得到，在 (−∞,1) 和 (1,+∞) 上均递减。 13. 函数 f(x) = − + 4x − 2 在区间 [0, 3] 上的最大值为________。 【答案】 2 【解析】 f(x) = − + 2，对称轴 x = 2 ∈ [0,3]，最大值 f(2) = 2。 14. 某公司一年需购买某种原料 400 吨，每次购买 x 吨，每次购买运费为 4 万元，一年的总存储费为 4x 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买________吨。 【答案】 20 【解析】 一年购买 次，总运费为 4 × = 万元，总存储费为 4x 万元。 总费用 y = + 4x ≥ 2 = 2 = 160，当且仅当 = 4x，即 x = 20 时取等号。 故每次应购买 20 吨。 四、解答题 15. 用定义证明：函数 f(x) = 在区间 [1, +∞) 上是增函数。 【答案】 见解析 【解析】 任取 , ∈ [1, +∞)，且 < 。 f() − f() = − = = 。 由 > ≥ 1，分子 − > 0，分母 + > 0，故 f() − f() > 0，即 f() > f()。 因此 f(x) 在 [1,+∞) 上是增函数。 16. 已知函数 f(x) = − 2ax + 2，x ∈ [−1, 1]。 （1）当 a = 1 时，求 f(x) 的最大值和最小值； （2）求 f(x) 的最小值 g(a) 的解析式。 【答案】 （1）最大值 5，最小值 1；（2）g(a) = 【解析】 （1）当 a = 1 时，f(x) = + 1，在 [−1,1] 上递减。最大值 f(−1) = 4+1 = 5，最小值 f(1) = 1。 （2）f(x) = + 2−，对称轴 x = a。 ① 当 a < −1 时，f(x) 在 [−1,1] 上递增，最小值 g(a) = f(−1) = 3 + 2a； ② 当 −1 ≤ a ≤ 1 时，最小值 g(a) = f(a) = 2 − ； ③ 当 a > 1 时，f(x) 在 [−1,1] 上递减，最小值 g(a) = f(1) = 3 − 2a。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第6节 单调性与最大（小）值 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中，在区间 (0, +∞) 上为增函数的是（ ） A. y = B. y = C. y = 1 − x D. y = 2. 函数 f(x) = − 4x + 3 的单调递减区间是（ ） A. (−∞, 2] B. [2, +∞) C. (−∞, 1] D. [3, +∞) 3. 函数 f(x) = x + （x > 0）的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 不存在 4. 设 f(x) 是 R 上的减函数，则下列关系中正确的是（ ） A. f(a) > f(2a) B. f() < f(a) C. f( + a) < f() D. f() > f( + 1) 5. 函数 f(x) = 在区间 [2, 5] 上的最大值与最小值分别为（ ） A. 1， B. ，1 C. ， D. ， 6. 若函数 f(x) = + 2(a − 1)x + 2 在区间 (−∞, 4] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. [−3, +∞) B. (−∞, −3] C. (−∞, 3] D. [3, +∞) 7. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数，若 f(2m − 1) < f(m + 1)，则实数 m 的取值范围是（ ） A. m < 2 B. m > 2 C. m < 0 D. m > 0 8. 函数 f(x) = − 2x + 3 在 [0, m] 上的最大值为 3，最小值为 2，则 m 的取值范围是（ ） A. [1, +∞) B. [0, 2] C. [1, 2] D. (1, 2] 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列函数中，在区间 (0, 2) 上为增函数的是（ ） A. y = 3 − x B. y = + 1 C. y = D. y = − 1 10. 关于函数 f(x) = 的性质，下列说法正确的是（ ） A. 定义域为 R B. f(x) 的最小值为 0 C. f(x) 的最大值为 2 D. f(x) 在 R 上单调递增 11. 已知函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上单调递减，则下列结论正确的是（ ） A. f(1) > f(2) B. f(0) > f(3) C. f() ≤ f(0) D. f( + 1) < f(1) 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 函数 f(x) = 的单调递减区间是________。 13. 函数 f(x) = − + 4x − 2 在区间 [0, 3] 上的最大值为________。 14. 某公司一年需购买某种原料 400 吨，每次购买 x 吨，每次购买运费为 4 万元，一年的总存储费为 4x 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买________吨。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 用定义证明：函数 f(x) = 在区间 [1, +∞) 上是增函数。 16. 已知函数 f(x) = − 2ax + 2，x ∈ [−1, 1]。 （1）当 a = 1 时，求 f(x) 的最大值和最小值； （2）求 f(x) 的最小值 g(a) 的解析式。 学科网（北京）股份有限公司 $