2.2.2 直线的两点式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.2 直线的两点式方程课后同步作业 （限时：45分钟） 1．过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 3．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 4．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 6．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 8．（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 10．（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．经过点和的直线的方程为________． 12．直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 13．已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 14．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 15．已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 直线的两点式方程课后同步作业 （限时：45分钟） 1．过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 2．已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可. 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 3．已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 4．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线方程化为斜截式，结合直线倾斜角与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】由. 因为该直线的倾斜角为， 所以. 5．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 6．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 7．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 8．（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据截距式直线方程的定义进行求解即可. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 10．（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 11．经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 12．直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 13．已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 14．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 15．已知直线l经过点. (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距3倍，求直线l的方程； (3)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，求当的面积取得最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）利用直线l与直线垂直，求得直线l的斜率，由点斜式可求直线l的方程； （2）讨论两种情况：直线过原点时求得斜率，由斜截式可得直线方程；直线不过原点时，设出截距式方程，将代入方程，结合直线l在轴上的截距是轴上的截距倍，列方程可得结果; （3）设直线方程为，可得，利用基本不等式得，，当，从而可得结果. 【详解】（1）由直线的斜率为，根据直线l与直线垂直， 可知直线l的斜率为， 则由点斜式可知直线l为， 整理得l的直线方程为：; （2）当直线过原点时，可设直线方程为， 将点坐标代入可得，直线方程为 直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得直线方程为， 故所求直线方程为或. （3）由题意可设直线l方程为，由直线l经过点， 可得，从而得， 所以三角形面积，当时取等号， 所以三角形最小面积为12， 此时，直线方程为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $