2.2.2直线的两点式方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修

直线的两点式方程 层级(一)　“四基”落实练 1.(多选)下列说法错误的是 (　　) A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.-=1与+=-1是直线的截距式方程 C.直线方程的斜截式都可以化为截距式 D.在x轴、y轴上的截距分别是5,-2的直线方程为-=1 2.已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线l上的点是 (　　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(2,1) 3.若直线+=1过第二、三、四象限,则 (　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 4.一条光线从P(6,4)射出与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则反射光线所在直线的方程为 (　　) A.x-y+1=0 B.x+y-5=0 C.x-y-2=0 D.x+y-2=0 5.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(kg)的关系如图所示,则旅客最多可免费携带行李的质量为 (　　) A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg 6.经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则点P的坐标为　　　　.  7.已知直线+=1与坐标轴围成的图形面积为6,则a的值为　　　　.  8.(1)已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过点(6,-2),求直线l的方程. (2)三角形的顶点坐标为A(0,-5),B(-3,3),C(2,0),求直线AB和直线AC的方程. 层级(二)　“能力”提升练 9.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x 和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则直线AB的方程为 (　　) A.y=-x+5 B.y=x-5 C.y=x+5 D.y=-x-5 10.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 (　　) A. B.∪(1,+∞) C.∪ D.∪ 11.若直线l:+=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是　　　　.  12.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程; (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程. 13.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:a.△AOB的周长为12;b.△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 层级(三)　“素养”培优练 14.过点P(1,3)作直线l,若l经过点A(a,0)和B(0,b),且a,b均为正整数,则这样的直线l可以作出 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 15.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.-3 D.3 直线的两点式方程参考答案 层级(一)　“四基”落实练 1.解析:选ABC　因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线,所以A错误.因为方程-=1与+=-1不符合截距式方程的结构特点,所以B错误.因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况,而此类直线不可以化为截距式,如直线y=2x,所以C错误.易知D正确. 2.解析:选D　由直线的两点式方程,得直线l的方程为=,即x-y+1=0.将各个选项中的坐标代入直线方程,可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上. 3.解析:选D　因为直线+=1过第二、三、四象限,所以直线在两坐标轴上的截距都小于0,所以a<0,b<0.故选D. 4.解析:选D　P(6,4)关于x轴的对称点P'(6,-4),光线从P(6,4)射出与x轴相交于点Q(2,0),则反射光线经过点P',Q,由两点式方程可知,所求直线方程为=,化简得x+y-2=0. 5.解析:选C　由图知点A(60,6),B(80,10),由直线方程的两点式,得直线AB的方程是=,即y=x-6.依题意,令y=0,得x=30,即旅客最多可免费携带30 kg行李. 6.解析:由两点式得MN的方程为=,即2x+3y-17=0,令y=0,得x=,故P. 答案: 7.解析:由+=1知S=|a|·|6|=6,所以a=±2. 答案:±2 8.解:(1)设直线l的截距式方程为+=1,把点(6,-2)代入得-=1,化简整理得a2-3a+2=0,解得a=2或a=1,故直线l的方程为+=1或+y=1. (2)∵直线AB过点A(0,-5),B(-3,3)两点,由两点式得=.整理,得8x+3y+15=0. ∴直线AB的方程为8x+3y+15=0. 又∵直线AC过A(0,-5),C(2,0)两点,由截距式得+=1,整理得5x-2y-10=0. ∴直线AC的方程为5x-2y-10=0. 层级(二)　“能力”提升练 9.解析:选C　依题意,a=2,P(0,5). 设A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点坐标公式,得解得所以A(4,8),B(-4,2).由直线的两点式方程,得直线AB的方程是=,即y=x+5. 10.解析:选D　设直线l的斜率为k,如图, 过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(-∞,-1)∪. 11.解析:由直线经过点(1,2)得+=1,于是a+b=(a+b)×=3++.因为+≥2=2,当且仅当=,即a=1+,b=2+时取等号,所以a+b≥3+2. 答案:3+2 12.解:(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为+=1,即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在直线的方程为=,即x+y-4=0. (2)由题意,得点D的坐标为(-4,2), 由两点式,得中线BD所在直线的方程为=,即2x-y+10=0. 13.解:设直线方程为+=1(a>0,b>0),若满足条件a,则a+b+=12. ① 又∵直线过点P,∴+=1. ② 由①②可得5a2-32a+48=0, 解得或 ∴所求直线的方程为+=1或+=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0. 若满足条件b,则ab=12, ③ 由题意得+=1, ④ 由③④整理得a2-6a+8=0,解得或 ∴所求直线的方程为+=1或+=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0. 综上所述,存在同时满足a,b两个条件的直线方程为3x+4y-12=0. 层级(三)　“素养”培优练 14.解析:选B　∵a,b均为正整数,∴可设直线l:+=1,将P(1,3)代入直线方程,得+=1,当b=3时,=0,方程无解,∴a===1+,∵a∈N*,≠0,∴∈N*,∴b-3=1或b-3=3.∴或即满足题意的直线l方程有2条. 15.解析:选C　由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3)知,△ABC的重心为,即(1,1).因为BC⊥AB,所以△ABC为直角三角形,所以外心为斜边中点,即,所以可得△ABC的欧拉线方程为=,即x+2y-3=0.因为ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,所以=≠,解得a=-3. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $