精品解析：四川成都市温江区冠城实验学校2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

成都冠城实验学校2026-2027学年九上第一学月质量检测 总分150，监测时间：120分钟 A卷（100分） 一、选择题：（每题4分，共32分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 11 D. 2 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 相邻两角互补 D. 对角线相等 5. 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m≠2 C. m＞0 D. m≠0 6. 如图，，为菱形的对角线，已知，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：（每题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 10. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____________． 11. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则______． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 13. 如图，点E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，当与满足条件________时，四边形是菱形． 三、解答题：（共48分） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 解方程： （1）； （2）（公式法）； （3）； （4）（配方法）． 17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，连接，恰好经过对角线的中点O，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，则　　． 18. 如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． （1）求的长； （2）木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； （3）如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ B卷（50分） 一、填空题：（每个4分，共20分） 19. 以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_________． 20. 关于的方程是一元二次方程，则的值为_______． 21. 如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是________． 22. 如果m是方程的实根，那么代数式的值是________． 23. 探究与发现： 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，……，点，，，，……在直线上，点，，，，……在轴正半轴上．则 （1）的坐标是_______； （2）前个正方形对角线长的和是_______． 二、解答题：（30分） 24. 关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0． （1）若k=0，求方程的解； （2）求证：无论k取任何实数时，方程总有两个实数根． 25. 如图，要求使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由 26. 如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出三者间有何关系？ （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； （3）【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都冠城实验学校2026-2027学年九上第一学月质量检测 总分150，监测时间：120分钟 A卷（100分） 一、选择题：（每题4分，共32分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】对照一元二次方程标准式提取二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解：已知， 则，，， 故该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，． 3. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 11 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程中即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程中，可得 即 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的系数问题，掌握代入法是解题的关键． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 相邻两角互补 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同,可得到答案. 【详解】矩形的对角线相等且平分, 菱形的对角线垂直且平分,所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等, 故选: D. 【点睛】本题主要考查矩形和菱形对角线的性质. 5. 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m≠2 C. m＞0 D. m≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：m﹣2≠0， 解得：m≠2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 6. 如图，，为菱形的对角线，已知，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：，菱形的面积为， ，即， 解得． 7. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，结合角平分线的定义证得，得到即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 8. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛21场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】类似的场次比赛相互问题可看做“握手问题”，由于赛制是单循环（每两队都赛一场），设有 队参赛，因此比赛总的场次为 场，剧题意总场次为21场，依此等量关系列出方程. 【详解】设共有 队参赛，此次比赛总场次为 已知共比赛21场. 根据题意列方程为 故答案选D. 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系为解题的关键. 二、填空题：（每题4分，共20分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是____________． 【答案】20． 【解析】 【详解】试题分析：因为菱形的对角线垂直平分，对角线AC，BD的长分别是6和8， 所以一半长是3和4， 所以菱形的边长是5， 所以周长是5×4=20． 故答案为：20． 考点：菱形的性质． 11. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则______． 【答案】2020 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】把代入方程得：， ∴， ∴ ． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝2，即可得出答案． 【详解】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长． 13. 如图，点E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，当与满足条件________时，四边形是菱形． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理说明四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可解答． 【详解】解：连接，， ，分别为，的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， ，分别为，的中点， ， ， ， 是菱形． 三、解答题：（共48分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，乘方，绝对值，解答即可． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：；值： 【解析】 【分析】首先，利用分式的混合运算， 进行化简，然后，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 16. 解方程： （1）； （2）（公式法）； （3）； （4）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，连接，恰好经过对角线的中点O，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，则　　． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由可证，可得，即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． （1）求的长； （2）木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； （3）如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】（1）米 （2）木棍在滑动过程中，线段的长度未发生改变； （3）米 【解析】 【分析】（1）根据题意，由勾股定理直接代入值计算即可； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）在新情况下，由勾股定理求出长，与原来米比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意可知米，米， 在中，由勾股定理可得（米）； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 在中，为的中点，则（米）； 【小问3详解】 解：如图所示： 当木棍的底端向外滑出米时，米，米， 在中，由勾股定理可得（米）， 刚开始时米， 木棍的顶端沿墙下滑距离为米． B卷（50分） 一、填空题：（每个4分，共20分） 19. 以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根及解法，掌握因式分解法解方程是关键．根据一元二次方程的根以及因式分解法解一元二次方程即可得到答案， 【详解】解：以2和3为根且二次项系数为1的一元二次方程是： ，即：． 故答案为：． 20. 关于的方程是一元二次方程，则的值为_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0． 【详解】因为关于 x的方程是一元二次方程 所以且 解得m=-2 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义． 21. 如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，本题的解题关键是知道题中重合的部分的面积是不变的，总是等于正方形面积的． 根据正方形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定得出，即可求出四边形的面积三角形的面积，即可得出答案． 【详解】解：如图： 连接和，则和都过点O， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：4． 22. 如果m是方程的实根，那么代数式的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出的值，再分别代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵m是方程的实根， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 当时，， 当时，， 综上所述，代数式的值是或． 23. 探究与发现： 在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，……，点，，，，……在直线上，点，，，，……在轴正半轴上．则 （1）的坐标是_______； （2）前个正方形对角线长的和是_______． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图像可以求得、、、的坐标，从而可以发现其中的变化规律进而求得的坐标； （2）在（1）结论的基础之上，可求得、、、的长度，再由正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧即可求得前个正方形对角线长的和． 【详解】解：（1）∵根据题意可得， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ∴点的坐标为． （2）∵由（1）可知， ； ； ； ； ∴前个正方形对角线长的和是： ∵设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴前个正方形对角线长的和是： ． 故答案是：（1）；（2） 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、找规律题型（点的坐标）、正方形的性质、勾股定理以及错位相减法求和技巧，解答本题的关键是明确题意，并利用数形结合的思想解答． 二、解答题：（30分） 24. 关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0． （1）若k=0，求方程的解； （2）求证：无论k取任何实数时，方程总有两个实数根． 【答案】（1）x=1或x=2； （2）∵△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2） =k2+6k+9﹣8k﹣8 =k2﹣2k+1 =（k﹣1）2≥0， ∴方程总有2个实数根． 【解析】 【分析】(1)直接代入k=0，求解方程; (2) 证明无论k取任何实数时, △≥0，即方程总有两个实数根. 【详解】解：（1）当k=0时，方程为x2﹣3x+2=0， 则（x﹣1）（x﹣2）=0， 所以x﹣1=0或x﹣2=0， 解得：x=1或x=2； （2）略 【点睛】本题主要考查解一元二次方程及当△≥0时, 方程总有两个实数根． 25. 如图，要求使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由 【答案】（1）6米 （2）解：不能围成面积为90平方米的花圃，理由如下： 设米，则米， 由题意得， 整理得， 此时，即原方程无解， ∴不能围成面积为90平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）设米，则米，根据长方形的面积公式建立方程求解即可； （2）设米，则米，根据长方形的面积公式建立方程，利用判别式判断方程是否有正根即可得到结论． 【小问1详解】 解：设米，则米， 由题意得， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴； 答：的长为6米； 【小问2详解】 略 26. 如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 （1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出三者间有何关系？ （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； （3）【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】（1） （2）解：结论仍然成立． 理由如下： 延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【小问1详解】 解：延长到点，使，连接，如图所示： ，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，，则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $