精品解析：甘肃省靖远县第一中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

2026-2027学年度第一学期9月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或， ，此时，不能满足题意； 时，，满足题意， 故. 3. 设全集，若集合满足，则M的子集个数为（    ） A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由补集运算求得集合，再根据子集的概念即得. 【详解】因为全集，，所以. 则M的子集有共4个. 故选：C. 4. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合等式性质分别判断充分性和必要性是否成立可得. 【详解】充分性：若，根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意实数，等式仍然成立，可得，因此充分性成立. 必要性：取，则满足条件，但不成立，因此必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 5. 设，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先把不等式变形为标准的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 所以不等式的解集为． 7. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 8. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系. 【详解】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误. 故选：AC. 10. 下列命题中不正确的是（ ） A. 是空集 B. 若，则 C. 集合中只有一个元素 D. 集合是有限集 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据表示集合的列举法的方法可判断A；当时可判断B；解C中方程即可判断C；时，可判断D． 【详解】A：是含有一个元素的集合，不是空集，故A错误； B：若，则，故B错误； C：，故C正确； D：时，均有且，故是无限集，故D错误． 故选：ABD． 11. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A：对两边同乘负数，可得；对 两边同乘负数，可得 ； 因此正确的大小关系为，因此A为假命题； 选项B：原命题“”的否定应为“”， B错误改变了的范围，因此B是假命题； 选项C：对配方得， 因为，所以对任意恒成立，因此C是真命题； 选项D：必要性：若 成立，则一定满足 ，必要性成立； 充分性：若成立，无法推出一定满足，充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件，因此D为真命题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足 条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， ，， 所以，共个. 13. “”是“或”的　______　条件． 【答案】既不充分也不必要 【解析】 【详解】∵或，并且或， ∴“”是“或”的既不充分也不必要条件． 14. 命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或 所以或 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 16. 已知函数（），且的解集为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在区间上单调，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）一元二次不等式解集的端点对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程组求解参数得到函数解析式； （2）对二次函数配方，找到顶点，结合开口方向确定值域； （3）先求出二次函数对称轴；函数在开区间上单调，说明整个区间落在对称轴的同一侧，据此列出不等式求解范围． 【小问1详解】 因为的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，解得，，所以． 【小问2详解】 配方：， 因为抛物线开口向上，最小值为，所以值域为． 【小问3详解】 由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或，即． 17. 已知关于x的不等式（） （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解法求解即可； （2）利用二次不等式恒成立的条件即可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以可化为， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 可化为， 因为不等式的解集为，所以在上恒成立， 则函数的图像恒在轴上方，与轴无交点， 从而一元二次方程无实数根， 故，即，得， 所以的取值范围为. 18. 已知，都是正实数，解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案； （2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案． 【小问1详解】 由题意，知， 所以， （当且仅当 ，即取等号）， 故的最小值为5. 【小问2详解】 因为都是正实数，， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 故的最小值为18； 19. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 【答案】（1） （2） 年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年 【解析】 【分析】（1）根据已知写出总收入和总成本，作差即可得盈利总额的表达式； （2）根据题意得到平均盈利额，应用基本不等式求其最大值并确定对应使用年数. 【小问1详解】 由题意，设备使用年后的总收入为万元， 总成本包括购买设备的费用和总维修保养费用，即万元， 所以，化简得， 因为为设备使用的年数，所以， 因此，关于的表达式为； 【小问2详解】 设该设备的年平均盈利额为万元，则，​ 因为，得到， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以等号可以取到，此时的最大值万元， 所以该设备的年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期9月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 3. 设全集，若集合满足，则M的子集个数为（    ） A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 4. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中不正确的是（ ） A. 是空集 B. 若，则 C. 集合中只有一个元素 D. 集合是有限集 11. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. D. “”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足 条件的集合A的个数为______． 13. “”是“或”的　______　条件． 14. 命题“，”的否定是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数（），且的解集为． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若在区间上单调，求实数的取值范围； 17. 已知关于x的不等式（） （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 18. 已知，都是正实数，解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值． 19. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $