甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.B因为集合A={x-1<x<3},B={xx>1},所以AUB={xx>-1}.故选B. 2.C由题知3-x>0,解得x<3,所以f(x)的定义域为（一∞，3）.故选C. 3.B由x2<1,得-1<x<1,所以“-2<x<2”是“x2<1”的必要不充分条件.故选B. 4A由题知所数的定义城为-，0U0.十∞).又仪一)号=二2=-了所以函数)为奇 函数，排除C.D,令x=1,得1)=号>0，排除B,故A正确故选A 5.D当x=3时，y=a°一2=-1，所以函数y=a-3-2(a>0且a≠1)过定点P(3,-1),将其代入y=logm(m>0且 m≠1)冲，得1og3=-1,解得m=弓故选D. 6.A因为函数y=2,y=log2x,y=x3,y=2x一1，y=2x一4都是增函数，所以函数f(x)=x3+2x一1，g(x)=log2x+ 2x-4,h(x)=2+2x一4都是增函数，因为f(0)=-1<0,f(1)=2>0,即f(0)·f(1)<0,所以f(x)在区间(0,1)内 存在唯一零点，即a∈(0,1)：因为g(1)=-2<0,g(2)=1>0,即g(1)·g(2)<0,所以g(x)在区间(1,2)内存在唯一零 点，即b∈(1,2)；因为h(1)=0,所以c=1.综上，b>c>a.故选A. 7.D因为1og6>eg:3,所以1+bg2>g,3.令1og2=,则>0且1g3=,可得1+>，解得1>5或1< -1(会)，又bg2=子cg8<1oe9=号，所以1os2的值所在的K间为(5，号)故选D 2 8.C因为f(2x+1D)是R上的奇函数，所以f(-2x+1)+f(2x+1)=0,则f(号)+f(号)=0，即f(号) -f(3)=-1,又fx+2)+f)=0,所以f(号)=-f(2）=-1,f(3)=-f(2)=1,f(号)=-f(号) 1,因此，g1)+g(2)+g3)+g4)+g5)=f(3)+2f(是)+3/（号）+4（子）+5f(号)=5.故选C 9.BC因为ac-bc=c(a一b)<0,所以ac<bc,A错误；因为a<b,所以a3<b,B正确：因为a<b,所以2a<2,C正确：因 为a<b<0,所以-a>一b>0,所以log2(一a)>log2(-b),D错误.故选BC. 10.AC令t=2,则x=log2t(t>0),则f(t)=(1og2t)2-21og2t(t>0),所以f(x)=(1og2x)2-2log2x=(log2x-1)2 1(x>0),所以f(2)=一1，A正确，B错误；结合复合函数的单调性可知：当log2x≥1，即x≥2时，函数f(x)单调递增； 当1og2x≤1，即0<x≤2时，函数f(x)单调递减，所以当x=2时，f(x)的最小值为一1，C正确，D错误.故选AC 11.ACD函数f(x)的图象如图所示.由图知0<x1<1<x2<4<3,A 正确；由f(x)=f(x2),得-1og20=log2x2,所以12=1，B错误；设 f)=x)=)=1,则0<1<2，=2=2，=，所以 4十n-=2+2-9,又函数)=2+20=-8在区间(0,2) 【高一质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 上单调递增，所以=2+2一在(0,2)上单调递增，所以十a一。的取值范围为(-∞，十），C正确；由图知， 函数f(x)的值域为[0，十∞)，结合函数g(x)=f(x)+√一f(x),知0≤f(x)≤1，令√-f(x)=λ(0≤A≤1)，则 f)=1-,所以g(x)=g(a)=-是++1=-（久-号）+是，又(0）=9(1)=1，所以函数g(x)的值域为 [1,],D正确故选ACD 122√-是)+bg反=√（号）+21g:2=昌+3=2 13.(-∞，l]不等式lnx≥a一x恒成立可化为a≤x+lnx(x≥l)恒成立.由函数f(.x)=x十lnx(x≥l)为增函数，知 f(x)mm=f(1)=1,则不等式a≤x十lnx恒成立，只需a≤1，所以实数a的取值范围为(-o∞，1]. 14(-oo,-2]令g(0=f0+2,由f-x)=fx)+2,得f(-x)+(-x)=f)+2,则g(-)=g(x),放 函数g(x)为R上的偶函数.又函数f(x)和y=x3在区间[0，+∞)上单调递增，所以函数g(x)在区间[0，十∞)上单调 递增，所以函数g(x)在区间（一∞，0]上单调递减.不等式f(t)≥f(t+1)+3+3t+1可化为f(t)+≥f(t+1)+ 2+32+3+1=f1十1)+(1+1)，即g()≥g(+1).由函数g(x)的单调性，知≥什1，解得≤-7. 15.解：(1)由x2十3≤4x,得1≤x≤3，即A=[1,3].… …1分 当a=1时，B=[1,5],… 2分 所以A∩B=[1,3].… 3分 又CkA=(-∞，1)U(3,十o∞)，CRB=(-o∞，1)U(5,+∞)，… 5分 所以(CRA)U(CRB)=(-∞，1)U(3,+∞. 6分 (2)因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A手B.… 8分 a≤l, 故 且等号不同时成立， …11分 3a+2≥3， 解得弓<a<1, 所以实数a的取值范围为[子，1门 …13分 16.解：(1)由幂函数的定义知m2-m十1=1，解得m=0或m=1.…3分 ①当m=0时，f(x)=x,函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增，满足题意；…4分 ②当m=1时，f(.x)=x2,函数f(x)在(0，十o∞)上单调递减，不合题意，舍去.…5分 由①②知，实数m的值为0.… …6分 (2)由(1)知，函数f(x)=x. 由x∈[-3,0)，af)-4f)-40恒成立，得a≤号+兰，x∈[-3,0)恒成立. …9分 又号+=4（十号）》-1.所以当x=一2时，号+取得最小值-1…… …13分 故a≤-1，即a的取值范围为（一o∞，一1].… ..…15分 【高一质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 17.解：(1)因为当0≤≤2时，血液中的药物浓度y(μg/mL)与时间1(h)成正比，且过点(2,1)， 所以y=之： 3分 当t≥2时，y与t的函数关系式为y=ka(t≥2，a>0,且a≠1，k,a是常数)，且过点(2,1)，(4,0.5)， ka2=1. 所以 解得 所以y=2×()= 6分 ka=0.5, k=2 ,0≤1<2， 1 所以y 7分 2-,t≥2. (2)当0≤1K2时，令7≥0.25，得0.5≤1<2， …… …10分 当t≥2时，令2≥0.25，得2≤1≤6. …13分 因此当0.5≤t≤6时，药物有效，有效时长为6-0.5=5.5h. …15分 18.解：(1)因为f(x十1)-f(x)=-(x+1)-log2(x+1)-(-x-1og2x)=log2x-log2(x+1)-1<0,…3分 所以f(x+1)<f(x), 故f(x)为“1距”减函数. 4分 (2)由题知f(x+a)<f(x)在R上恒成立，即2(x+a)-(x+a)3<2x-x3, 整理得3.x2+3a.x+a2-2>0在R上恒成立， … 6分 a>0, 即〈 解得a>2√2，… 8分 (3a)2-12(a2-2)<0, 所以实数a的取值范围为(2√2，十∞).… … 9分 （3因为0=(3)广-=2022-是"2距被西数散2026-<2024. 即-(x十2)2一k(x+2)<-x2-k.x,即k>-2x-2在x∈[2，+∞)上恒成立， 所以k>一6，即实数k的取值范围为（一6，十∞）.… …11分 设函数g(x)=一x2一kx,x∈[2，十∞)，则g(x)图象的对称轴为x=一 2 3 …13分 所以当-合<2，即>-4时，g)=g2)=-4一2k: .…14分 当2<-冬<3，即-6<<-4时，g(x)=g(-冬）=。 ……15分 又函数y=2024为增函数，所以当k≥一4时，函数f(x)的最大值f(x)mx=2024-4-;…16分 当-6<k<-4时，函数f(x)的最大值f(x)mx=2024号. 17分 19.(1)解：由函数f(x)为偶函数，知f(x)=f(一x), og (+1)+ar-og(+)-ar,log.og …2分 【高一质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 ,g++2ar=0,logs2+2ax=0,2x+2ax=0,(a+1)x=0. 所以1og4g+1 42 又x∈R,所以a十1=0，解得a=一1， 所以实数a的值为一L.…4分 (2)证明：设2>x1≥0， 由1)知f)=l1og(4+1)-x=lg(2+2）片 ………5分 又(2+）(2+)=28-21+.器-(2m-2)(1-）月 …7分 因为x2>x1≥0，所以x十x2>0,所以21+2>1,29>21， 所以12>0,24-24>0. 所以20+品>2+六 …………………………8分 因为函数y=1ogx在区间(0，十∞)上单调递增，所以1og(2+元)>1og(2+2六)，即()>f, 所以函数f(x)在区间[0，十0∞)上单调递增。…9分 (3)解：由(2)及函数f(x)为偶函数，可得函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，在[0，十o∞)上单调递增， 所以f(x)mn=f(0)=l0g22=1.…10分 又由g(x)=一x2+2x+1=一(x一1)2+2，知函数g(x)在区间(-∞，1]上单调递增，在区间[1，+o∞)上单调递减. …11分 当x∈[m,]时，设函数f(x)的值域为[p,g],显然有g>≥1， (g(p)=q, 可得函数g(f(x)的值域为[g(q),g(p)],即 …13分 g(q)=p. 一p2+2p+1=q, p=1,p=2, 则有 解得 或 -gd+2q+1=p, q=2,q=1. 又q>p,所以p=1,q=2, 故函数f(x)的值域为[1,2]. 又由函数f(x)的单调性，及f(x)mm=1,知f(m)=2或f(n)=2. 15分 由)=2，即16e=2得-4：2+1=0，(2y户-4…2十1=0， 解得x=log2(2+√3)或x=log2(2-√3). 由函数的单调性可得1一m的最大值为1og(2+)-1g(2-月)=og士-1og(7+45). …17分 2-√5 【高一质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写 清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签 字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册第一~三章（约40%）、第四~五章（约60%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x>1},则AUB= A.{xx>1} B.{xlx>-1} C.{xl1<x<3} D.{x|-1<x3} 2.函数f(x)=log2√3一x的定义域为 A.R B.(0,3] C.(-∞，3) D.(-∞，3] 3.“-2<x<2”是“x2<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 4.函数f(x)=2二2一的部分图象大致为 y B D 【高一质量检测·数学第1页（共4页）】 5.已知函数y=a-3-2(a>0且a≠1)的图象过定点P,函数y=logm(m>0且m≠1)也经过点P,则m 的值为 A.9 B.3 c 6.已知函数f(x)=x3+2x-1,g(x)=log2x+2x-4,h(x)=2x+2.x一4的零点分别为a,b,c,则 A.bc>a B.abc C.c>a>b D.a>c>b 7.用计算器计算可知：log36>log23,则log32的值所在的区间为 A(号2) B(0,）) c(号) n5号》 8.若定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)+f(x)=0,f(2x+1)是奇函数，f(2)=1,设函数g()= xf(x-2),则g1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)= A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若a<b<0<c,则下列不等式成立的是 A.ac>bc B.a3<b3 C.2a<2 D.log2 (-a)<log2(-b) 10.已知函数f(2)=x2一2x,则 A.f(x)的定义域为(0，十∞) B.f(2)=0 C.f(x)的单调递增区间为[2，十o∞) D.f(x)的最小值为一4 |log2x|,0<x≤4， 11.已知函数f(x) 且x1<x2<x3时，f(x1)=f(x2)=f(x3),则 8 ,x>4, A.0x1<1<x2<4<x3 B.x1x2=2 Ca十一的取值范围为(-，) D函数g()=fx)+—f的值域为[1，] 【高一质量检测·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.√(-+-log:/2= 13.若命题p:“Hx≥1，lnx≥a一x”是真命题，则实数a的取值范围为 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(一x)=f(x)+2x3,且函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则 关于t的不等式f(t)≥f(t+1)+3+3t+1的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知集合A={x|x2+3≤4x},B={x|a≤x≤3a+2}. (1)当a=1时，求A∩B和(CRA)U(CrB): (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围， 16.(本小题满分15分) 已知幂函数f(x)=(m2一m十1)x1-3m在(0，+o∞)上单调递增. (1)求实数m的值： (2)若对任意x∈[一3,0)，a[f(x)]-4f(x)一4≤0恒成立，求实数a的取值范围. 【高一质量检测·数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中 的药物浓度y(ug/mL)与时间t(h)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=ka(t≥2，a>0, 且a≠1，k,a是常数)，如图所示： (1)根据图象写出y关于t的函数表达式； 个药物浓度y(ug/mL) (2)据测算，药物浓度不低于0.25g/mL时才有效，求该药物 0.5 的有效时长 时间rh) 18.(本小题满分17分) 定义：若对定义域内任意x,都有f(x十a)<f(x)(a为正常数)，则称函数f(x)为“a距”减函数 (1)若f(x)=一x一log2x,x∈(1，十∞)，判断f(x)是否为“1距”减函数，并说明理由； (2)若f(x)=2x一x3,x∈R是“a距”减函数，求实数a的取值范围； 3犯知/x)-(22 x十 ,x∈[2，十∞)，其中k∈R,若f(x)是“2距”减函数，求实数的取值范 围及f(x)的最大值： 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log2(4十1)十a.x为偶函数. (1)求实数a的值： (2)证明：函数f(x)在区间[0，十∞)上单调递增； (3)若函数g(x)=一x2十2x+1,当x∈[m,n]时，函数f(x)与函数g(f(x))的值域相同，求n一m的 最大值 【高一质量检测·数学第4页（共4页）】