精品解析：陕西省渭南市韩城市象山中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

象山中学2026-2027学年度第一次月考试题高二数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单项选择题（每题5分，共40分）. 1. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 4. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 5. 已知直线与直线互相垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 6. 一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 7. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 8. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 二､不定项选择题（每题6分，共18分）. 9. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 10. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 11. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 【答案】ABD 【解析】 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 第II卷（非选择题） 三､填空题（每题5分，共15分）. 12. 圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 13. 已知椭圆的右焦点，则C的离心率为__________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】由题设且，而， 所以离心率. 14. 已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【详解】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 四､解答题（共77分）. 15. 求适合下列条件的直线的方程： （1）在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】（1）或 （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． 【小问2详解】 设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. （1）求圆的一般方程； （2）若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【小问1详解】 设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 17. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【小问1详解】 若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． 【小问2详解】 因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 18. 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. （1）求的方程； （2）求的圆心坐标和半径； （3）判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 【答案】（1） （2）圆心坐标为，半径为5 （3）相交， 【解析】 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【小问1详解】 因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. 【小问2详解】 因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. 【小问3详解】 将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. 19. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】（1），圆的方程为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【小问1详解】 将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 【小问3详解】 当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2026-2027学年度第一次月考试题高二数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单项选择题（每题5分，共40分）. 1. 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线互相垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二､不定项选择题（每题6分，共18分）. 9. 已知两条直线：与，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若直线的一个方向向量为，则 D. 当时，始终不过第四象限 10. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 11. 已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（ ） A. 长轴长为4 B. C. 离心率为 D. 的周长为6 第II卷（非选择题） 三､填空题（每题5分，共15分）. 12. 圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 13. 已知椭圆的右焦点，则C的离心率为__________． 14. 已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 四､解答题（共77分）. 15. 求适合下列条件的直线的方程： （1）在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. （1）求圆的一般方程； （2）若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 17. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 18. 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. （1）求的方程； （2）求的圆心坐标和半径； （3）判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 19. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $