精品解析：陕西咸阳市兴平市南郊高级中学2026-2027学年第一学期质量检测高二数学试题

兴平市南郊高级中学 2026－2027学年第一学期第一次质量监测 高二数学试题 命题人：林克生 审题人：杨睿博 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填图在答题卡相应位置上） 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 2. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 3. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果. 【详解】由于，，， 由空间向量共面基本定理知，，，均与共面， 不能构成一组基底，故ABD均错误. 故选：C. 4. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 5. 已知空间向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 6. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 7. 如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量回路方法运算求解即可. 【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且， 所以，， 在平行六面体中，，，， 所以，， 所以 ， 故选：A． 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法. 8. 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与为异面直线 D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选的得部分分，不选或有选错选的得0分） 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 10. 若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确； 对于B，由，得，则，解得，B正确； 对于C，由，得，，，则或，C错误； 对于D，由，得，，，则，D正确. 故选：ABD 11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故答案为： 13. 已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积求出和夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围为，即可求出异面直线AB和CD所成角的大小． 【详解】， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线AB和CD所成角的大小为. 故答案为：. 14. 若空间中有三点，，，则A到直线BC的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离. 【详解】由可得 则， 又，则 则到直线的距离为 故答案为：. 四、本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，计算： （1），，，； （2）. 【答案】（1），，，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量模长公式，及空间向量的坐标运算法则进行计算； （2）利用空间向量的坐标夹角公式进行求解. 【小问1详解】 ，，，，所以 【小问2详解】 16. 已知空间中三点． （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的夹角公式求出，再结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为向量与平行，所以可设， 所以， 因为，所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以的面积， 所以以为邻边的平行四边形的面积为． 17. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【小问1详解】 在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . 【小问2详解】 正四面体的棱长为1，则， 所以. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 法一:是等边三角形，且是中点 面，面  面，面，且 面 面  AI 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以 ，，则，即； AI （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论； （2）可由等体积法计算即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴平市南郊高级中学 2026－2027学年第一学期第一次质量监测 高二数学试题 命题人：林克生 审题人：杨睿博 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填图在答题卡相应位置上） 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 2. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知空间向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体中，（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则 A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 直线与为异面直线 D. 平面 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选的得部分分，不选或有选错选的得0分） 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 10. 若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量，，若，则_____. 13. 已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为______. 14. 若空间中有三点，，，则A到直线BC的距离为_______． 四、本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，计算： （1），，，； （2）. 16. 已知空间中三点． （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积． 17. 已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. （1）用，，表示； （2）求的值. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $