精品解析：陕西省渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

陕西省渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题（8×5=40） 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：B. 2. 已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 13 C. 5或9 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义求解. 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 4. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为“直线和直线垂直， 所以或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 5. 已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解的最大值即可. 【详解】圆的方程即：，圆心坐标为，半径为， 代数式表示圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程为，与圆的方程联立可得： ， 考虑临界条件，令可得： ，则的最大值为. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，把线面距转化为点面距，利用点面距的公式可得答案. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建 立空间直角坐标系，如图所示. 则， ， ，则. 又平面平面平面EFGH. 到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则， 又点到平面EFGH的距离， ∴直线到平面EFGH的距离为. 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B. 二、多选题（6×3=18） 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，以及展开式的通项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A，二项展开式中的所有奇数项的二项式系数和为，所以A正确； 对于B，令，可得二项展开式中所有的系数和为，所以B正确； 对于C，由二项式的二项展开式中有11项， 其中展开式中的二项式系数的最大为中间项，即第6项的二项式系数最大，所以C不正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 令，解得，所以二项展开式中的常数项是第9项，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确； 对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 11. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，下列结论正确的有（ ） A. 甲恰好击中目标2次的概率是 B. 乙至少击中目标2次的概率是 C. 乙恰好比甲多击中目标2次的概率是 D. 甲、乙恰好击中目标次数相同的概率是 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A利用独立重复试验概率公式直接计算即可，选项B乙至少击中目标2次，分乙击中2次和3次求解，选项C乙恰好比甲多击中目标2次，“分乙击中2次且甲击中0次”，“乙击中3次且甲击中1次”两种情况求解；选项D甲、乙恰好击中目标次数相同分两人同时击中0、1、2、3次四种情况求解即可； 【详解】由题意得甲恰好击中目标2次的概率是,选项A正确； 乙至少击中目标2次的概率是，选项B正确； 设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件 ，“乙击中2次且甲击中0次”为事件， “乙击中3次且甲击中1次”为事件，则 , 互斥， 则，选项C正确； 甲、乙恰好各自击中目标0次的概率是， 甲、乙恰好各自击中目标1次的概率是， 甲、乙恰好各自击中目标2次的概率是， 甲、乙恰好各自击中目标3次的概率是， 甲、乙恰好击中目标次数相同的概率是，选项D错误. 故选：ABC 三、填空题（3×5=15） 12. 已知空间向量，则_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算法则可求，利用向量线性运算的坐标运算法则求得的坐标，进而求模即可. 【详解】因为，则， 所以， 所以. 故答案为：①；②. 13. 已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有_______种. 【答案】 【解析】 【分析】利用分步计数原理，优先安排甲，再排其他3人，最后利用乘法即可求解. 【详解】甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒， 则首先安排甲跑第二或第四棒，共有2种方法； 再安排剩下三棒，共有种方法； 所以不同的交接棒安排顺序有种方法， 故答案为：. 14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 四、解答题（共77） 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 16. 甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，由并应用独立事件乘法公式求概率； （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率. 【小问1详解】 记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. 【小问2详解】 记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则， 因为， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求直线到直线的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . 【小问2详解】 因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 18. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线的方程； （2）若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，写出关于的方程组，即可求解； （2）直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设直线与双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ，解得：. 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】(1利用椭圆的定义求解椭圆的方程即可， （2）设直线方程，利用结合韦达定理求解出直线的斜率从而求解出直线的方程得到答案. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以则． 又因为离心率，，所以． 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 根据题意，直线的斜率存在，且不为0． 设直线， 令消去得． 令，解得或． ① 设，， 则，， 又因为直线， 令，则． 同理． 因为，且，所以． 所以 ． 故，解得，满足①式． 所以直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单选题（8×5=40） 1. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 13 C. 5或9 D. 5或6 3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. 4. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 0 6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（6×3=18） 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 10. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点使得 C. 若，则 D. 面积的最大值为12 11. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，下列结论正确的有（ ） A. 甲恰好击中目标2次的概率是 B. 乙至少击中目标2次的概率是 C. 乙恰好比甲多击中目标2次的概率是 D. 甲、乙恰好击中目标次数相同的概率是 三、填空题（3×5=15） 12. 已知空间向量，则_________，_________． 13. 已知校运动会米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，则不同的交接棒安排顺序有_______种. 14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 四、解答题（共77） 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 16. 甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求直线到直线的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线的方程； （2）若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $