精品解析：河南新乡市辉县市苏门初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年度第一学期阶段性复习作业（1/4） 九年级数学（HS） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，被开方数里含有能开得尽方的因数，故该选项不符合题意； C、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、符合最简二次根式的条件，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知：， 故一定是一元二次方程的是， 故选D． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加、乘、除运算．根据二次根式加、乘、除运算法则计算即可作答． 【详解】解：A、，本项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本项不符合题意； C、，本项符合题意； D、，本项不符合题意； 故选：C． 4. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为标准形式，确定系数、、，再根据求根公式判断“□”处应填． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 求根公式为， ∴“□”处应填． 故选A． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 【详解】解：，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 若，则下列表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解：， 故选：B． 7. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的化简，由数轴得到，，则，再根据二次根式的性质与绝对值进行化简即可． 【详解】解：由实数在数轴上对应的点的位置可得，，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．根据题意分别求得两个正方形的边长，进而求得长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：∵正方形得面积为，正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴长方形的面积， 即便签区的面积为， 故选：C． 9. 经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每件降价x元，那么降价后每件盈利元，每天可卖出件，根据每天销售利润达到6250元，即可列出方程． 【详解】解：设每件小商品降价x元，则降价后每件盈利元，每天可卖出件， 根据题意得． 故选：A． 10. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断． 【详解】A. 解方程−3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意； B. 解方程得x1=2，x2=-，当−=2×2，4m+n=0；当−=×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意； C. 解方程得x1=2，x2=−，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意； D. 解方程得x1=−m，x2=n，而2m+n=0，即n=−2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意． 故本题选B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可．掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 一个矩形的面积为，长为，则这个矩形的宽为_______． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 直接根据题意列式，然后再运用二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】10或11##11或10 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 等腰三角形的腰为3，底边为4或等腰三角形的腰为4，底边为3， 等腰三角形的周长为或． 故答案为：10或11． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 14. 已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 15. 观察下列等式：；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过对比已知等式中序号、根号内分数分母与结果的关系，归纳出含正整数的通用等式，即可得解． 【详解】解：； ②； ③． 根据题中等式的规律可得：， ∴． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与加减乘除运算． ()先将每个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并计算； ()先分别完成二次根式的乘法、除法运算并化简，再合并被开方数相同的二次根式得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 解得或 ∴． 18. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （）把代入公式计算即可； （）把代入公式计算即可； 【小问1详解】 解：当时，， 答：从高空抛物到落地的时间为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：玩具抛出前离地面的高度为． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等实数根”；（2）根据根与系数的关系，找出关于m的一元二次方程． 20. 已知：，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应式子的值． （1）根据平方差公式和，可以求得所求式子的值； （2）根据完全平方公式和，可以求得所求式子的值． 【小问1详解】 解：， ， ； ； 【小问2详解】 解：； ． 21. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】（1） （2）道路宽度为 【解析】 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 22. 阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． （1）则的值是______． （2）请利用上述方法，求的值． （3）若，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）32 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用二次根式的性质求解即可； （2）仿照题干方法，利用二次根式的运算法则和性质求解即可； （3）仿照题干方法，给等式两边乘方，再利用二次根式的运算法则和性质求解即可． 【小问1详解】 解：由二次根式性质得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，两边平方得：， 即，， ． ∵， ； 【小问3详解】 解：给两边平方， 得， ∴， 整理，得， ∴，解得． 23. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． （1）经过多少时间时，四边形为矩形； （2）经过多少时间时，四边形的面积为； （3）经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 【答案】（1）当时，四边形为矩形； （2）当t为5时，四边形的面积为． （3）当t为或时，点P和点Q的距离为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：当运动时间为时，，，，． 依题意得：， 解得：． 答：当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． 【小问3详解】 解：过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性复习作业（1/4） 九年级数学（HS） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 用公式法解方程时，得，则“”处应填（） A. B. 5 C. D. 7 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 若，则下列表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A. 0 B. C. D. 8. 如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是_________________ 12. 一个矩形的面积为，长为，则这个矩形的宽为_______． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 14. 已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 15. 观察下列等式：；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） （1）求从高空抛物到落地的时间； （2）若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 19. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为，，且，求的值． 20. 已知：，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 21. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 22. 阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． （1）则的值是______． （2）请利用上述方法，求的值． （3）若，求n的值． 23. 如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒的速度向点D匀速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动． （1）经过多少时间时，四边形为矩形； （2）经过多少时间时，四边形的面积为； （3）经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $