精品解析：河南省叶县高级中学2026-2027学年高三上学期10月调研考试数学试题

高三数学10月调研考试 考试注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合．若，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 7. 《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，且为钝角，则 11. 对于非空集合，定义函数，，，若存在，使得，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在处的切线方程为_________. 13. 道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若的周期为，求的单调递增区间； （2）若在区间上单调递增，从下面①②③中选择一个作为条件，使存在，并求出的解析式. ①为偶函数；②；③直线为图象的对称轴. 16. 已知函数． （1）若是的极值点，求； （2）若有两个零点，求的取值范围． 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）求角C的大小： （2）若边，求的面积S的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不等实根，证明：. 19. 已知函数（），． （1）当时，求的单调区间． （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）若存在两个极值点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学10月调研考试 考试注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 2. 已知集合．若，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知条件，得到且，进而分别求出实数的取值范围即可. 【详解】由于集合，即集合，或， 已知，则且，所以实数满足，解得， 因此实数的最大值是，故C正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由或或. 所以时，必成立； 当时，可以不成立，如时，但不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得函数关于点中心对称，从而可求解. 【详解】因为， ， 所以函数关于点中心对称， 则在区间上的最大值为，最小值为，可得. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式将的三角函数值转化为的三角函数值，判断三者符号后再比较正数的大小即可得到结果. 【详解】因为，所以，，， 因为是第三象限角，所以，， 所以，， 又，即， 而， 因为，所以， 所以. 6. 设函数在区间内的两个零点分别为，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据零点的定义及余弦函数图象的对称性可得，再根据二倍角公式及同角三角函数平方和为1的关系，即可求出的值. 【详解】令，则，又，为的两个零点，则，， 所以，根据余弦函数图象的对称性可得，与关于对称， 又，则，所以，即， 所以， 又，，则， 所以. 7. 《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（ ） A. 步 B. 步 C. 步 D. 步 【答案】C 【解析】 【详解】设海岛到前表水平距离为，岛高为， 则，解得， 岛高为步． 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.已知两个正数和为定值，可通过代入消元结合不等式组，求解变量的取值范围；B.求解平方和最值问题，优先利用完全平方公式变形，结合基本不等式判断式子取值大小；C.含对数的双变量大小比较，可构造单变量函数，利用导数判断单调性，得到不等关系；D.指数型双变量最值问题，可换元转化为单变量函数，通过导数分析单调性结合端点值确定取值区间. 【详解】A选项，由，得，由得，且， 故1，A正确； B选项，由，得，故， 因为，，由基本不等式得， 所以，故，B错误； C选项，设函数 ，， 当，，在单调递增，由A：， 所以，即，也就是，C正确； D选项，，令，，， ， 当，，，故，所以，， 所以在单调递增， ，；，， 所以时，，即，D正确. 10. 的内角，，的对边分别为，，，已知，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，且为钝角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合三角恒等式和三角形的正弦定理的边角转化、余弦定理，分别对每个选项进行化简计算从而进行解答. 【详解】选项A：因为， 所以由三角恒等式可得， 即， 所以由正弦定理可得，故选项A正确； 选项B：由余弦定理可得， 由A可知，代入可得 ，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，故选项B正确； 选项C：由余弦定理可得， 由A可知， 所以，由正弦定理可得， 所以，故选项C错误； 选项D：由A可知， 因为， 所以， 因为， 所以． 因为为钝角， 所以，即， 因为， 所以，故选项D正确. 11. 对于非空集合，定义函数，，，若存在，使得，则实数的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意确定，先由余弦函数的性质求解集合，分、或和结合的补集求解即可求解. 【详解】因为，所以， 且由解得， 所以，，， ①当时， ②当或时，， 若，则或，解得或， 故取其补集. ③时，若， 则或 ，解得或 (舍去)， 故取其补集为，综上的取值范围为， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【详解】函数，则， ，则， 所以切线方程为，即. 13. 道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 【答案】821 【解析】 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】求导得，令，则. 由，可设，，则， ，其值域为. 性质要求存在不同的两点，其切线斜率乘积为，即存在使得. 由于乘积为负，与异号，故区间必须包含正数和负数，即，解得. 存在异号两数乘积为等价于存在使得且，即且， 结合得，即，所以，故. 因此性质成立当且仅当，此时，由柯西不等式，得， 当时取等，于是，故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若的周期为，求的单调递增区间； （2）若在区间上单调递增，从下面①②③中选择一个作为条件，使存在，并求出的解析式. ①为偶函数；②；③直线为图象的对称轴. 【答案】（1）单调递增区间为. （2）选条件②或③时，均可得到；选条件①时，函数不存在. 【解析】 【分析】（1）先利用和差角的正弦公式展开，再用三角恒等变换进行化简，最后利用周期公式求和整体换元求单调增区间即可. （2）先利用正弦函数的增区间求出的范围，再选择条件作答，选择①结合偶函数的性质可判断不存在，选择②直接代入求解确定唯一的，选择③结合正弦函数的对称轴，整体代入求解确定唯一的即可 【小问1详解】 ∵ ， 又的周期为，∴， 则， 令， 解得，即的单调递增区间为. 【小问2详解】 ∵的单调递增区间为， 又在区间上单调递增， ∴，即必须取0， 且，又，∴， 选条件①：为偶函数 若为偶函数，则当时，取得最值， 但，∴不可能为偶函数，即条件①不成立， 选条件②： ∵，∴， 则， 当时，满足条件，此时. 选条件③：直线为图象的对称轴 代入对称轴公式得， 即，∵， ∴当时，满足条件，此时. 16. 已知函数． （1）若是的极值点，求； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零构造方程求解，注意最后要检验； （2）把有两个零点，转化为方程有两个正实数根，分离参数得到，令问题转化为与的交点个数，令求导，并分析的单调性求出最小值，再分段讨论求解． 【小问1详解】 函数求导得，已知是极值点， 则，解得． 当时，， 当时，；当时，，故是极小值点，符合题意． 故． 【小问2详解】 已知有两个零点，即方程有两个正实数根， 则， 设，问题转化为与的交点个数， 令，则， ，令，得， 当时，，单调递减； 当且时，，单调递增； 当时，在处取得极小值，， 故在处取得极小值，为； 当和时，； 当时，且单调递增，故单调递增且， 故方程最多有一个零点； 要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即． 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）求角C的大小： （2）若边，求的面积S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不等实根，证明：. 【答案】（1） （2） （3）将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证. 【解析】 【分析】(1)代入后通过单调性求解. (2)通过单调性一步步对范围进行排除，最后确定的范围. (3)通过实根的性质构造新的关于的函数求证. 【小问1详解】 当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， . 【小问2详解】 当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， . ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立； ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉； ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求. 【小问3详解】 略 19. 已知函数（），． （1）当时，求的单调区间． （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）若存在两个极值点，且，求证：． 【答案】（1）在和单调递减，在单调递增. （2）. （3）证明：因为，对其求导. 存在两个极值点，，所以方程有两个不同正根，， 所以，，，所以，. 因为，， 所以， 因为，所以. 又，所以. 令，所以，，. 所以，，，. 所以，. 原不等式等价于证：，恒成立. 整理得： 设，即只需要证明在上恒成立. 对其求导，此时； 令，对其求导得：， 此时； 令，对其求导：， 令，对其求导得：，当时，，所以单调递增. 由，所以当时，恒成立，所以在时单调递增； 又因为，所以当时， 恒成立，即在时单调递增； 由，所以在时恒成立，即在时单调递增； 所以，即当时，，即证. 【解析】 【分析】（1）求导找临界点，分区间判导函数正负得单调区间； （2） 化简消元后构造函数，利用端点最小值即可求解. （3）先由极值点条件得出，，再对化简，通过换元双变量问题转化为单变量问题，最后构造函数并利用导数分析单调性来证明不等式. 【小问1详解】 当时，. 对其求导得：； 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，在和单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 将、代入可得： ，整理得：. 分离参数得：移项得. 令.求导得：. 令.对其求导得：. 因为，所以，所以在单调递增，所以， 即在大于0恒成立. 所以恒成立，即在单调递增. 要满足恒成立，即. 综上所述，. 【小问3详解】 略 【点睛】（1）求导进行讨论单调性； （2）运用分离参数的方法进行求解； （3）用韦达定理化简，换元转单变量，构造函数求导证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $