河南湘豫联考2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

10月高三数学参考答案 题号 1 2 5 6 7 10 11 答案 B B A D C A B ACD BCD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1,B【试题立意】本题主要考查全称量词命题的否定，体现了数学的逻辑推理能力， 【解析】根据全称量词命题否定的定义，得命题“Hx∈(0，十o∞)，x十sinx十1>0”的否定是“彐x∈(0， 十oo),|x十sinx十1≤0”.故选B. 2.C【试题立意】本题主要是考查集合的运算及其表示， 【解析】由题集合D={x∈Nx6}={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},B={0,1,4},得AUB={0,1,2,4.所以 Cn(AUB)={3,5}.故选C. 3.B【试题立意】本题以不等式的解法为情境考查充分条件与必要条件的判断，体现了数学的逻辑推理能力， 以及数学逻辑结构的数学袖象能力· 【解析】由昌1，得号胃-10，即号<0，所以一1>0，所以>1，可得≥1成立，反之不成立，故选B 4,A【试题立意】本题主要考查函数奇偶性的定义及其在求参数中的应用，体现了数学的逻辑推理和数学运 算能力，以及从特殊到一般的思维方法. 析】因为八)是偶函数，定义城为R,且y=为奇函数，所以g()二为奇函数.由奇函数的性质 0)=0,所以0-1安=0Pa=-1验证可释-)多号=-0：满足专品数 3+1-2 的定义，所以u=一1.所以)多·，所以1》×1=宁故选A 5.D【试题立意】本题主要考查两角和与差的公式运用，体现了数学运算能力，以及灵活运用公式进行三角恒 等变换的能力。 【解析】因为m=sin102°+√5cos102°=2sin(102°+60)=2sin162°=2sin18°，n=cos78°+cos42°= cos(60°+18°)十c0s(60°-18)=2cos60°c0s18°=c0s18°，又m2十tm2=4,所以4sin218°+tcos218°=4，所以 t=4,故选D. 6,C【试题立意】本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求解单调区间，体现了数学运算能力，以及通过 导函数研究函数性质的基本方法， 【解析】由f)=1-2n,∈[0,2m.令f)<0,即s>,得吾<r<要所以)在（吾，要）上 单调递减.故选C 7.A【试题立意】本题主要考查解三角形，体现了数学的直观想象能力和数学键模能力， 以及方程思想. 【解析】如图，过M,点作ME⊥BA于，点E,作MF⊥CD于点F,则∠AME=45°， DMF=30,设AE=x,则EM=AE=x,DF=AE=x,由an∠DMF=-有，得 数学参考答案第1页（共9页） MF=√3x.易得BN=EM=x,CN=FM=√3x,又BC=3,∠BNC=150°，所以由余弦定理可得cos∠BNC= NSCC-3-解得-9所以AB-MN+AE=选A 2BN·CN 2.xX√3x 7 8.B【试题立意】本题主要考查通过构造函数，利用函数的单调性比较代数式大小，体现了数学的逻辑推理能 力，以及构造辅助函数解决比较大小问题的策略性思维. 【解析】设f(x)=x-sinx,x∈(0,1)，则f'(x)=1-cosx>0,所以f(x)=x-sinx在(0,1)上单调递增.所 以0<r<1时fx)>f0)=0,即>simx因为1>sin>sin0>0,所以c=im(sn动）<sm0< sin西-a设Fx)=x-lnx+1D,x∈(0.1)，则F()=1-=千>0，所以F()=x-ln(x+1)在 (0,1)上单调递增.所以F(sin）)>F(0)=0,即sin品>ln(1+sn0,6=sin的>sin0>ln(1+ sin 50 ）=a.构造画数g(x)=sinx-ln(x十1D,x∈[0，sin品]，则g()=cosx-有令h(x)=cosx hxe[0.sin]，对()=-snxaD令m()=-sim+aDxe[0.s品]，则 m(x)=-cos x- a子)<0.所以mx)在[0sin品]上单拥递减.可得m0)=M≥-sm(sin动) >()》->0，所以g()=0sx在[0sm前]上单调递增，所以g(x)≥g0)= 1 0,所以ga)在[0，sn前]上单调递增.所以g(sn动)>g0)=0,申c=sin(sn动)>ln(1十sn动)=a, 即c>a.综上所述，a<c<b.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.ACD【试题立意】本题主要考查不等式的基本性质，体现了数学的逻辑推理能力，以及利用反例排除错误选 项的批判性思维. 【解析】因为2<a<3,-2b-1,所以-4<2b-2,1<-b<2,所以-2<a十2b1,3<a-b=a十(-b)< 5,A,C正确.因为1<-b<2,所以2<-ab<6,-6<ab-2(或当a=2.9,b=-1.8时，ab4(-4,-3)),B 错误，由1<-K2,得号<-古<1，所以1K一号=a·(-)<3,所以-3<号<-1，D正确，故选 ACD. 10.BCD【试题立意】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换及取值范围问题，体现了数学的逻辑推 理能力（从条件到结论的严密推导）、数学运算能力（复杂的三角化筒），以及分类讨论和函数思想。 【解析】由题知A,B,C∈(0，)，所以sinA>0,sinB>0,sinC>0.对于A,因为cos(B-C)十cosA= √3 bsin Ccos A,所以cos(B-C)-cos(B+C)=√3 bsin Ceos A,化简得2 sin Bsin C=√3 bsin Ccos A,所以 2sinB-√3 bcos A=0.由a=2,得asin B-√/3 bcos A=0.根据正弦定理，得sin Asin B-√3 sin Bcos A=0,所以 snA-osA=0,则mA=万，所以A=子所以an2A=-5.A错误，对于B,由正孩定里得品A-2rU 数学参考答案第2页（共9页） 为△ABC外接圆的丰径)，即2三2r,解得三，B正确，对于C,因为△ABC为锐角三角形，所以 3 2 得后<B<登，则合人血B<1.由正孩定理A的B得6=留R-2 _b 0<C=-B<受 sin A 3 n号 mB,所以(，9)即6的取位花周为(5,5) 3 C正确.对于D,设B=受-0，C=于十0，由 3 3 △ABC为能角三角形，得-无<0<舌，则0s0E(慢，1，由正孩定理得 b 2 、、4 sin B sin C sin A sin 则b后nB.春mC所以6+（后[m(等）+m(号+)]后x2n导a9=o9 (2√3,4]，即b十c的取值范围是(2√5,4].D正确.故选BCD. 11.AC【试题立意】本题主要考查新定义函数与复合方程的综合问题，体现了数学的直观想象能力（函数图象的 绘制与分析)、逻辑推理能力（零点存在性定理与参数范围的转化），以及换元法、数形结合等核心数学思想. 【解析】如图，画出f(x)在[一2,4]上的图象，观察图象可知，当一2≤ x≤-1时，f(x)=3x十6；当-1<x≤1时，f(x)=x2+2;当1<x≤4 3x十6，x∈[-2，-1]， 时，f(x)=4-x.所以f(x)=了x2十2，x∈(-1,1]，方程[f(x)]2 4-x,x∈(1,4]. mf(x)+6=0在[-2,4]上有8个不同的实数根，令t=f(x),即函数 g(t)=t一t十6在t∈(2,3)上有2个不同的零，点，所以 1△=m2-24>0, 2< 2<3, 解得2/6<m<5.故选AC. g(2)=10-2m>0, g(3)=15-32>0, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.2x一y十1=0（或y=2x十1，其他形式正确即可得分）【试题立意】本题主要考查导数的几何意义，体现了数学 的运算能力，以及对导数几何意义的理解. 【解析】因为y'=2cosx一rsin x,所以当x=0时，y'=2,所以曲线y=rcos x十sinx十1在点(0，l)处的切线 方程为y=2x十1，即2x-y十1=0. 13.2000【试题立意】本题主要以光伏储能系统为背景考查利用基本不等式求最值，体现了数学建模能力和 数学运算能力，同时渗透了数学在新能源领域的应用价值. 【解析】由题意可知，容量配置与维护成本为0.2x元，容量不足风险成本为800000元，因此每天的综合调度 成本C)=0.2x+800000x>0.又C(x)=0.2x+800000≥240.2xX800000 =800,当且仅当x= 2000时，等号成立.故每天的综合调度成本最低时，储能电池的额定容量x应设计为2000kW·h. 2 14,言【试题立意】本题主要考查三角不等式的恒成立问题及参数最值的求解，体现了数学的逻辑推理能力和 数学抽象能力， 数学参考答案第3页（共9页） 【解标】方法-：令1=专，d=分2，则x=1什dy=1d,(0,x.d<受，则f)+f)-(之） sinw(t十d)十sinw(t-d)-sin wt-=sin wt·(2 cos wd-l).要使上式对任意x,y∈(0，π)恒大于0，令x=y, 则需sin wt>0①.因为t∈(0，π)，所以0<wtwπ.根据①，得0<wπ≤π，所以w≤1.则只需2 cos wd-1>0, 即os>@.因为d<吾所以ad<警根据@，样0<受<音所以0<w<号登证：当w= 2时 号>0c0s兰>cs号=，故原不等式但或，所以实的大值为 2d、 sin 方法二：由f)+fy)>f(）,得sin r+siny>sin卫，所以2 sin卫cosa,卫> 2 2 2 n6卫.①当0<w<1时，0<生2<mn卫>0，所以e0s22>北时-受< 2 2 ,卫<竖，结合余孩品载的对称性：受<吾即可，所以w<子.②当w>1时，0<r》<m若 2 2 sin2>0,显然矛盾，若m安卫<0原不等式为as22<号一警<22<警：0∈ 2 2 2 2 2 2 (-受受）0s0=1此时c0s2卫<分不成立，不符合题意，综上所迄，正实数m的最大值为号 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【试题立意】本题主要考查三角函数的图象变换及任意、存在性问题，体现了数学的直观想象能力和逻辑推 理能力，以及数形结合思想。 【解析】(1)方法一：因为∫(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为π， 所以f(x）的最小正周期为2Xπ=2π，即ω=1.…………………2分 所以f(x)=√3sinx+(2a-1)cosx. 又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0, 即(2a-1)cos0=0,解得a=之 1 ，……………………………………………4分 所以f(x)=√3sinx,………5分 方法二：由f(x)=√3sinx+(2a-1)cOSwz,知其定义域为R. .1 又f(x)为奇画数，所以f(0)=0,解得a=2 所以f(x)=√5 sin wx,…… …………2分 因为f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为π，所以f(x)的最小正周期为2元.…3分 由2红=2元，得w=1.…4分 所以f(x)=√3sinx.……… ………………………………5分 (2)将f()的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），可得y=2sinx的图象，…6分 3 将函教y=2sinx的图象向左平移号个单位长度，即得y=2sin(x十号)的图象， 然后把y=2sin(x十号）的图象上各点的横坐标支为原来的（纵坐标不变）即得g(x)=2sin(2x十号) 的图象.…8分 数学参考答案第4页（共9页） 因为对任意x1∈R,总存在x2∈R,使得g(x1)<(x2)成立， 所以g(）ma<g(江）mx……9分 显然g(x)max=2。……10分 下面求(x)的最大值， p(x)=2 usin-c0sx-2=V小干(2m产sin(x-)-2,其中ang=2m（m≠0， 易得(x)x=1十(2m)7-2.…11分 所以中-2>2，解得K-雪发m心四 2 当m=0时，9(x)=一cosx一2，则o(x)ms=一1，显然不符合题意. 故实数m的取值范国为(-0，一 四)u(,+) ………13分 16.【试题立意】本题主要考查含参分式函数的最值与极值问题，体现了数学的逻辑推理能力和数学运算能力 (导数计算与不等式求解)，以及严谨的数学表达素养. T2 -2x2-2x 【解析】1)方法一：因为f(x）=-2x,所以f(x)= (-2x-1)2 2分 当x∈（-2，-1)时，f(x)<0,所以f(x)在(-2，-1)上单调递减； 当x(-1,-号)时，(x)>0,所以f)在(-1，-号)上单调递增.…4分 又f-1)=1-2)=专(-子)=冬， …5分 所以)在区间[-2，-号]上的最大值为膏最小值为1.… 6分 方法二)=云[-2，号] 令1=-2红-1则[号]=号 则h(t) (-r+传 2分 所以0=十(1-)： 当[子，1)时，h()<0:当∈(1,3]时，h>0, 所以h)在[子，1)上单调道减，在(1,3]上单调道增.…4分 又h(号）=h(3)=号h(1)=1,…5分 故f在区间[-2。一号]上的最大值为号最小值为1。 6分 (2)由k<0,得)的定义城为{✉x≠} …………7分 易知了)=平 x'k-2x …8分 当<0时，令∫()<0，解得<是或x>0. 数学参考答案第5页（共9页） 所以f()在区间(-©，是)和(0，十∞)上单调递减。 …………………………………10分 令∫()>0，解得号<<0，且x≠大， 所以f(x)在区间（号，）和（名0）上单调递增.……12分 所以)的短小值点为=号 ……13分 由f(会）-是，又是<1，得k<-2减>2（舍去）. 故k的取值范固为（一00，一2）。………15分 17.【试题立意】本题主要考查正弦定理、角平分线的性质、余弦定理及周长问题，体现了数学的逻辑推理能力、 数学运算能力，以及转化与化归、函数建模等核心思想. 【解析】(1)由题得c2-a2=ab. 根据余孩定理，得c06A-士Q_6b_6g.1分 2bc 2bc 2c 所以2 ccos A=b十a. 再由正弦定理，得2 sin Ccos A=sinB十sinA=sin(A十C)十sinA=sin Acos C十cos Asin C十sinA. 所以sin Ccos A-sin Acos C=sinA. 所以sin(C-A)=sinA.……………3分 又0<A<π，0<C<π，所以-π<C-A<π 因此仅有CA=A,即C=2A.……………………………………4分 (2)方法-：由A=晋，∠BCA=2A,得∠BCA=受 因为CD是∠BCA的平分线，所以∠ACD=∠BCD=吾， π=3 所以B=受∠ADC-否，∠BDC-号，as∠ACD=cOs∠BCD=6Os舌-号 …5分 在△ACD巾，由正放定现升品m折所以CD停4C-号 AC 3 由E为CD的中点，得CE=CD-& 在△ACE中，由余弦定理得AE=AC2十CE-2CA·CE·cos∠ACD, 即AE=6+(号)°-26.号9-豆 ,2=12 6分 在R△DBC中，由直角三角形斜边中线的性质，得BE=CD=×(停)'=立. ………7分 所以AE BE2 =7,所以=万. BE …………8分 方法二：由A=吾，∠ACB=2A.CD为∠BCA的平分线，得∠ACB=晋B=受∠ACD=∠BCD=若. ……………………………5分 数学参考答案第6页（共9页） 建立如图所示的平面直角坐标系， 设c1.0.则D(0号)A05.E() ,……………6分 5W3 所以AE 、6 BE ……………8分 √+( D (3)由正弦定理，得c b sin C sin A sin B' B 所以a=csin A_ 2sin A 2sin A 1 sin C sin 2A 2sin Acos Aco,6=csin B=2sin 3A sin C sin 2A sin 3A sin Acos A' 1 a+b+c= sin 3A cos A sin A cos A2. …………………9分 因为sin3A=sin(2A十A)=sin2 Acos A+cos2 Asin A =2sin Acos2A+(1-2sin2A)sin A=2sin A(1-sinA)+sin A-2sinA =3sinA-4sin3A,………………11分 所以a+b十c=1十3sin44sinA+2=1+3-4sinA+2 cos A sin Acos A cos A Cos A -4-4inA2-4cosA2=4cs A+2. cos A cOs A ……13分 由1)知B=元-(A十C=元-3A,则x-3A>0,所以0<A<号 所以 立<cosA<1,所以4<4c0sA+2<6. 故△ABC周长的取值范固为(4,6).……………………………15分 18.【试题立意】本题主要考查导函数与原函数的关系、存在性问题转化为最值问题、割线放缩证明双变量不等 式，综合性极强，体现了数学的逻辑推理能力、直观想象能力，以及转化与化归、数形结合等数学思维。 【解析】(1)设点(x,y)为'(x)的图象上一点， 则它关于直线y=x对称的点(y,x)在g(x)=e一a+1的图象上，则x=ea+l. 所以y=lnx十a-1,即f(x)=lnx十a-1.……1分 又f'(x)=lnx十p十1，………………2分 所以f(1)=p十q=a-2,且a-1=p十1，得p=a-2,q=0. 故f(x)=xlnx十(a-2)x,……3分 (2)根据题意，存在正实数x,使得xlnx十(a一2)x≥e2r十2x2,即e2r≤xlnx一2x2十(a一2)x成立.… …小小……小………小…小小小小……小…………小………小4分 由>0，不等式两边同时除以x,得≤1nx一2x十a一2. 即a≥（-n+2x+2） ,…………5分 令h()= --lnx+2x+2(x>0), 数学参考答案第7页（共9页） 则/()=2e-c-1+2=2x-D+2红-1-2x-1D(e2+ 易得x>0,e十x>0,则h(x)的符号完全由2x-1决定. 当x∈(0，)时，()<0，A(x)单调道减： 当xE(合，十）时，h'(x)>0,h()单调递增. 所以A=A号)=空-h号2×克+9=28+n2,华≥2c+3+h2 ……6分 2 故实数a的取值范围为[2e十3十ln2,十∞). ………7分 (3)根据题意，得方程f(x)=(a一2)x一。吉有两个实数根，即nx=一 有两个实数根：… 令F(x)=xlnx,则F(x)的定义域为(0，十oo),F(x)= In z+1. F(ex)=xlnx)=。 令F(x)<0,解得0<x<日；令F(x)>0,解得x>日 所以℉(x)在(0，）上单调递减，在（日，十∞）上单调 t(x)=-x 递增， 所以F(x)na= (日)=-& …………10分 所证不等式用割线放缩的方法， 这两条制线为F(x)图象的最低点（日，-）与(0,0）及(1,0)的连线， 即(x)=-x与l(x)=ex-1). ………11分 设两制线(，()与直线y=一吉交点的横坐标分别为以， 解方程可得。合=-(c-1日十1，所以一=1一合 1 当x∈(0，是)时，lnx十x=xnx+1)<0,所以F(x)<(x): 当x(日)时hx-0=[hxe(1-)] …13分 令m)=lh(1-）则m)-e (e-1).x2 由m)<0,得<<。由mx)>0,得。<<1， 所以m()在（日。）上单调递减，在（马1）上单调递增。 而m(） =m(1)=0,所以m(x)0,即F(x)<l(x).…15分 t(x1)>F(1)=t(x3)=l(x1)=F(x2)=- <1 数学参考答案第8页（共9页） 根据单调性，可得x1<x,x2>x1, 所以x2一x1>x一x=1一。，证明完毕，…17分 19.【试题立意】本题主要是以“对合函数”为新定义，考查函数性质的判断与证明以及不等式证明，体现了数学 抽象能力、逻辑推理能力和数学建模能力，以及类比、归纳等探究性思维， 【解析】(1)因为y=x,x∈(0,1)，p>1, 所以y=x-1,y”=p(p-1)x2-2.… ……1分 因为y”≥0，所以y=x”在(0,1)上为凸函数，………2分 1-x 2调为W✉》=(（是）产)=( 1十Ax1 「(1十A)x7方 1十λ 1-xP/ 1十λ =x,…4分 1十Ax2 所以f(江)是对合函数。……………………5分 令g(x)=[f(x]P,有g(x)=二l1+Ax)-（1-)p==p1+ADx (1十λxP)9 (1+A.xP)2-· 因为A>-1,p>1,所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，故函数f(x)在(0,1)上单调递减.………7分 (3)(i)由(2)知f(x)为对合函数，则f(f(x1))=x1· 因为f(x1)≥x2,由(2)知f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(f(x1)≤f(x2),即x1≤f(x2) 又f(x2)≤x1,所以x1=f(x2),所以f(f(x2))=f(x1)=x2 由)=，两边取p次幂，可得z十是，即中十对十入z对=1.… 设A=x>0,B=x>0,则A十B=1-λAB. 当A>0时，AAB>0,A十B=1-入AB<1,即xf十x<1；… 11分 当-1<A<0时，AB<0,A十B=1-AAB>1,即x中十x>1,…13分 (ii)设h(t)=t护，t∈(0,1)，p>1, 由(1)知h(t)=t护在(0,1)上为凸函数，………………………………14分 所以对任意0Dh(士）<型，即（色）厂<之基 2 因为p>1,所以函数h(t)=tP在(0,1)上严格单调递增， 对上选不等式两边同时开。次方，得5士严≤()产】 2 因为≠>1，所以5<()护 ………………………………15分 根据(i)可得入>0时，x中十x<1,…………………………………16分 所以<（号），所以十x2方，……………17分 数学参考答案第9页（共9页） 26.10高三数学评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第17题： 第(1)问补充其他解法（两个)： 7m35= (9-÷/0所c22=xb n℃-，A二A,AS2mB ·-1 c十hA)1(-心以4)=2曾Ax2em:9 S(Arc)sh(c-A)=shA5mB (c-A)-、--3 2府，C七(6x)公C-=月 C=A---·4' 1t&产-哈-=o中c=ab I7.h.:c:9r 在 4年装： 2元 —71 42A1=2-货广1-整-2会 21+11 网24C.2wA7°0cAe径ae明c元 第(2)问补充其他解法： 门p波-DC:m,A产能-咖wW: 一向学满 6 形网风)4m++m万m里)=京m伦原7 BE:心：m。、 %多万 第1页共3页 第18题：第（2)问 补充其他解法一： 2) 718.3xclot Xluxt (ax 92 xta2)》号+次刻a3景t2以-2 t:是 创产 景学+2 -4 tto e) enlod x(g2)时t<。为浮93诚 Xe(2,t时时x7心tcx)2(回 、fw)2=t(z)=2e azt+latt2 (t2e) 、--.6 hd:tt/dt2'W=I什Eokd)花(e.o)上 浮之场 azhd)3tln2tze ta仿克同上3ln2t2e,t)…7 补充其他解法二(5-6分处)： 1Pp)中0之齐-ax++2=为 h1w=e2*h￥ 十lx)十2 仑2xhb-七htye+t+2 52rh7YW:2-克：￥-，时r宝 X+9日少%足弱 pxpli)=ith 24+y:e*1+hL-e+%3.-f 第2页共3页 第19题：第(3)（i)问 补充其他解法： TP9自心A3%)p1且产，0 公Hx)>0 B 丧图弘（十M)≥名>0 4W「≥>D 小树≤ -.98 由泽式作得 入P C1-r 1-≥+K、、小名 P ≥为P +-矿 sxP 卜P总护+ 作P 支 1-=H+入xP ”-、-1分 昂+为P=入N灯 从当入70时 xP,04+龙<|、-123 当0<和时<0小X+xP>1-B3 第3页共3页 姓 名__________ 准考证号__________ 绝密★启用前 10月高三数学 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，，则 A． B． C． D． 3．已知，则不等式“”是不等式“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数为偶函数，则 A． B． C． D． 5．设，，若，则实数的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．函数在区间上的单调递减区间为 A． B． C． D． 7．如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框，现测得长为，是立于门前垂直于水平地面的测量标杆，高为，点，，在水平地面上，在标杆顶点处测得点的仰角为，点的仰角为，且测得，则门框的高为 A． B． C． D． 8．已知，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是 A． B．外接圆的半径为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 11．定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为__________． 13．某科技园引入“光伏+储能”微电网系统．该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用．假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000．若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________． 14．已知函数，，若对于任意，，恒成立，则正实数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知奇函数（，），的图象的两个相邻对称中心之间的距离为． （1）求的解析式； （2）若把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，然后把所得图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．设，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）当时，求在区间上的最大值与最小值； （2）若的极小值小于1，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，是的平分线，交于点，为的中点，求的值； （3）若，求周长的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数的导函数为，与函数的图象关于直线对称，且． （1）求函数的解析式（含参数）； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，，且，求证：． 19．（本小题满分17分） 定义： ①若定义域内任意满足，则称函数为对合函数． ②若函数在区间上有定义，，，，则称为区间上的凸函数． ③对的导函数再次求导，得到的函数称为的二阶导函数，记作．若在区间上恒成立，则称在区间上是凸函数． 设函数（，），． （1）当时，证明：在区间上为凸函数． （2）判断函数是不是对合函数？若是，请证明，并指出的单调性；若不是，请举出反例． （3）结合定义②，设，，，满足，． （i）证明：当时，；当时，． （ii）当时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $