河南湘豫联考2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

an.5mn 已知函数f3+·x为偶函数，则步 A号 B.1 C.2 D.4 5.设m=sin102°+√3cos102°，n=cos78°十cos42°，若m2+tn2=4,则实数t 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 ⑥函数f(x)=x十2cosx在区间[0,2π)上的单调递减区间为 A(o,) B.(o.) c(后》 D(',2m 7.如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框ABCD, 现测得BC长为3m,MN是立于门前垂直于水平地面的测 量标杆，高为8m,点B,C,N在水平地面上，在标杆顶点 M处测得A点的仰角为45°，D点的仰角为30°，且测得 ∠BNC=150°，则门框的高AB为 A.17 7 m B.4 m C,17 D.5 m @知a=(+如)=n有=(动则 A.a<6<c B.a<c<6 C.c<a<6 D.b<c<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分 9.已知a∈(2,3)，b∈（一2，-1），则下列结论正确的是 A.a+2b∈(-2,1) B.ab∈(-4，-3) C.a-b∈(3,5) D.8∈(-3，-1D 10 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos(B-C)十cosA= √3 bsin Ccos A,a=2,以下结论正确的是 A.tan 2A=-2 B△A8C外接圆的半径为29 C.b的取值范围为 D.b+c的取值范围为(2√5,4幻 数学试题第2页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 11.定义min(a,b,c}为a,b,c中的最小值，设f(x)=min(3x十6，x2+2,4-x),若 方程[f(x)]2一mf(x)+6=0在区间[一2,4]上有8个不同的实数根，则实 数m的取值范围为下列哪些集合的子集 A.[2√6,6] B.(2,2√6) C.(-2√6,5] D.(-2,26) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=xcos x十sinx+1在点(0,1)处的切线方程为 13.某科技园引人“光伏十储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将 多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为 x(单位：kW·h),该系统每天的“综合调度成本”C(x)(单位：元)由两部分组 成：一是容量配置与维护成本，与x成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风 险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与x成反比，比例系数 为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量x应设计为 kW·h. ①4已知函数f(x)=sin w,x∈(0，)，若对于任意x,y∈(0，π)，f(x)+f(y)> f告）恒成立，则正实数w的最大值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（本小题满分13分) 已知奇函数f(x)=√3 sin wx十(2a一l)cos wx(w>0,a>0),f(x)的图象的 两个相邻对称中心之间的距离为π. (1)求f(x)的解析式； (2)若把f(x)图象上各点的纵坐标变为原来的23倍（横坐标不变），再将 3 所得图象向左平移于个单位长度，然后把所得图象上各点的横坐标变为 原来的。（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象.设p(x)=2 msin x cosx一2，若对任意x1∈R,总存在x2∈R,使得g(x1)<p(x2)成立，求 实数m的取值范围. 数学试题第3页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 山区域丰 16,本小题满分15分) x2 已知函数f(x)=x-k<0), (1)当=一2时，求f(x)在区间 2,一}的最大位与最小临， (2)若f(x)的极小值小于1，求k的取值范围， ⑦ 本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c(台)°-名-1=0， (1)证明：C=2A; (2)若A=F,CD是∠BCA的平分线，交AB于点D,E为CD的中点，求 能的值； (3)若c=2,求△ABC周长的取值范围. 数学试题第4页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 19. (本小题满分17分) 定义： ①若定义域内任意x满足f(f(x))=x,则称函数f(x)为对合函数， @若函数f(x)在区间I上有定义，V,∈1，f(任）≤ f)十f2),则称f(x)为区间1上的凸函数. 2 ③对f(x)的导函数f(x)再次求导，得到的函数称为f(x)的二阶导函数， 记作"(x).若”(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)在区间I上是凸 函数， 设函数f(x) (a-1p>zEo,. (1)当>1时，证明：y=x在区间(0,1)上为凸函数， (2)判断函数f(x)是不是对合函数？若是，请证明，并指出f(x)的单调性； 若不是，请举出反例. (3)结合定义②，设x1,x2∈(0,1)，x1≠x2,满足f(x1)≥x2,f(x2)≤x1. (i)证明：当λ>0时，xR+x8<1;当一1<λ<0时，x十x8>1. (i)当>0时，证明：x1十x2<21-÷. 数学试题第6页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp10月高三数学参考答案 题号 1 2 5 6 7 10 11 答案 B B A D C A B ACD BCD AC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1,B【试题立意】本题主要考查全称量词命题的否定，体现了数学的逻辑推理能力， 【解析】根据全称量词命题否定的定义，得命题“Hx∈(0，十o∞)，x十sinx十1>0”的否定是“彐x∈(0， 十oo),|x十sinx十1≤0”.故选B. 2.C【试题立意】本题主要是考查集合的运算及其表示， 【解析】由题集合D={x∈Nx6}={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},B={0,1,4},得AUB={0,1,2,4.所以 Cn(AUB)={3,5}.故选C. 3.B【试题立意】本题以不等式的解法为情境考查充分条件与必要条件的判断，体现了数学的逻辑推理能力， 以及数学逻辑结构的数学袖象能力· 【解析】由昌1，得号胃-10，即号<0，所以一1>0，所以>1，可得≥1成立，反之不成立，故选B 4,A【试题立意】本题主要考查函数奇偶性的定义及其在求参数中的应用，体现了数学的逻辑推理和数学运 算能力，以及从特殊到一般的思维方法. 析】因为八)是偶函数，定义城为R,且y=为奇函数，所以g()二为奇函数.由奇函数的性质 0)=0,所以0-1安=0Pa=-1验证可释-)多号=-0：满足专品数 3+1-2 的定义，所以u=一1.所以)多·，所以1》×1=宁故选A 5.D【试题立意】本题主要考查两角和与差的公式运用，体现了数学运算能力，以及灵活运用公式进行三角恒 等变换的能力。 【解析】因为m=sin102°+√5cos102°=2sin(102°+60)=2sin162°=2sin18°，n=cos78°+cos42°= cos(60°+18°)十c0s(60°-18)=2cos60°c0s18°=c0s18°，又m2十tm2=4,所以4sin218°+tcos218°=4，所以 t=4,故选D. 6,C【试题立意】本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求解单调区间，体现了数学运算能力，以及通过 导函数研究函数性质的基本方法， 【解析】由f)=1-2n,∈[0,2m.令f)<0,即s>,得吾<r<要所以)在（吾，要）上 单调递减.故选C 7.A【试题立意】本题主要考查解三角形，体现了数学的直观想象能力和数学键模能力， 以及方程思想. 【解析】如图，过M,点作ME⊥BA于，点E,作MF⊥CD于点F,则∠AME=45°， DMF=30,设AE=x,则EM=AE=x,DF=AE=x,由an∠DMF=-有，得 数学参考答案第1页（共9页） MF=√3x.易得BN=EM=x,CN=FM=√3x,又BC=3,∠BNC=150°，所以由余弦定理可得cos∠BNC= NSCC-3-解得-9所以AB-MN+AE=选A 2BN·CN 2.xX√3x 7 8.B【试题立意】本题主要考查通过构造函数，利用函数的单调性比较代数式大小，体现了数学的逻辑推理能 力，以及构造辅助函数解决比较大小问题的策略性思维. 【解析】设f(x)=x-sinx,x∈(0,1)，则f'(x)=1-cosx>0,所以f(x)=x-sinx在(0,1)上单调递增.所 以0<r<1时fx)>f0)=0,即>simx因为1>sin>sin0>0,所以c=im(sn动）<sm0< sin西-a设Fx)=x-lnx+1D,x∈(0.1)，则F()=1-=千>0，所以F()=x-ln(x+1)在 (0,1)上单调递增.所以F(sin）)>F(0)=0,即sin品>ln(1+sn0,6=sin的>sin0>ln(1+ sin 50 ）=a.构造画数g(x)=sinx-ln(x十1D,x∈[0，sin品]，则g()=cosx-有令h(x)=cosx hxe[0.sin]，对()=-snxaD令m()=-sim+aDxe[0.s品]，则 m(x)=-cos x- a子)<0.所以mx)在[0sin品]上单拥递减.可得m0)=M≥-sm(sin动) >()》->0，所以g()=0sx在[0sm前]上单调递增，所以g(x)≥g0)= 1 0,所以ga)在[0，sn前]上单调递增.所以g(sn动)>g0)=0,申c=sin(sn动)>ln(1十sn动)=a, 即c>a.综上所述，a<c<b.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.ACD【试题立意】本题主要考查不等式的基本性质，体现了数学的逻辑推理能力，以及利用反例排除错误选 项的批判性思维. 【解析】因为2<a<3,-2b-1,所以-4<2b-2,1<-b<2,所以-2<a十2b1,3<a-b=a十(-b)< 5,A,C正确.因为1<-b<2,所以2<-ab<6,-6<ab-2(或当a=2.9,b=-1.8时，ab4(-4,-3)),B 错误，由1<-K2,得号<-古<1，所以1K一号=a·(-)<3,所以-3<号<-1，D正确，故选 ACD. 10.BCD【试题立意】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换及取值范围问题，体现了数学的逻辑推 理能力（从条件到结论的严密推导）、数学运算能力（复杂的三角化筒），以及分类讨论和函数思想。 【解析】由题知A,B,C∈(0，)，所以sinA>0,sinB>0,sinC>0.对于A,因为cos(B-C)十cosA= √3 bsin Ccos A,所以cos(B-C)-cos(B+C)=√3 bsin Ceos A,化简得2 sin Bsin C=√3 bsin Ccos A,所以 2sinB-√3 bcos A=0.由a=2,得asin B-√/3 bcos A=0.根据正弦定理，得sin Asin B-√3 sin Bcos A=0,所以 snA-osA=0,则mA=万，所以A=子所以an2A=-5.A错误，对于B,由正孩定里得品A-2rU 数学参考答案第2页（共9页） 为△ABC外接圆的丰径)，即2三2r,解得三，B正确，对于C,因为△ABC为锐角三角形，所以 3 2 得后<B<登，则合人血B<1.由正孩定理A的B得6=留R-2 _b 0<C=-B<受 sin A 3 n号 mB,所以(，9)即6的取位花周为(5,5) 3 C正确.对于D,设B=受-0，C=于十0，由 3 3 △ABC为能角三角形，得-无<0<舌，则0s0E(慢，1，由正孩定理得 b 2 、、4 sin B sin C sin A sin 则b后nB.春mC所以6+（后[m(等）+m(号+)]后x2n导a9=o9 (2√3,4]，即b十c的取值范围是(2√5,4].D正确.故选BCD. 11.AC【试题立意】本题主要考查新定义函数与复合方程的综合问题，体现了数学的直观想象能力（函数图象的 绘制与分析)、逻辑推理能力（零点存在性定理与参数范围的转化），以及换元法、数形结合等核心数学思想. 【解析】如图，画出f(x)在[一2,4]上的图象，观察图象可知，当一2≤ x≤-1时，f(x)=3x十6；当-1<x≤1时，f(x)=x2+2;当1<x≤4 3x十6，x∈[-2，-1]， 时，f(x)=4-x.所以f(x)=了x2十2，x∈(-1,1]，方程[f(x)]2 4-x,x∈(1,4]. mf(x)+6=0在[-2,4]上有8个不同的实数根，令t=f(x),即函数 g(t)=t一t十6在t∈(2,3)上有2个不同的零，点，所以 1△=m2-24>0, 2< 2<3, 解得2/6<m<5.故选AC. g(2)=10-2m>0, g(3)=15-32>0, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.2x一y十1=0（或y=2x十1，其他形式正确即可得分）【试题立意】本题主要考查导数的几何意义，体现了数学 的运算能力，以及对导数几何意义的理解. 【解析】因为y'=2cosx一rsin x,所以当x=0时，y'=2,所以曲线y=rcos x十sinx十1在点(0，l)处的切线 方程为y=2x十1，即2x-y十1=0. 13.2000【试题立意】本题主要以光伏储能系统为背景考查利用基本不等式求最值，体现了数学建模能力和 数学运算能力，同时渗透了数学在新能源领域的应用价值. 【解析】由题意可知，容量配置与维护成本为0.2x元，容量不足风险成本为800000元，因此每天的综合调度 成本C)=0.2x+800000x>0.又C(x)=0.2x+800000≥240.2xX800000 =800,当且仅当x= 2000时，等号成立.故每天的综合调度成本最低时，储能电池的额定容量x应设计为2000kW·h. 2 14,言【试题立意】本题主要考查三角不等式的恒成立问题及参数最值的求解，体现了数学的逻辑推理能力和 数学抽象能力， 数学参考答案第3页（共9页） 【解标】方法-：令1=专，d=分2，则x=1什dy=1d,(0,x.d<受，则f)+f)-(之） sinw(t十d)十sinw(t-d)-sin wt-=sin wt·(2 cos wd-l).要使上式对任意x,y∈(0，π)恒大于0，令x=y, 则需sin wt>0①.因为t∈(0，π)，所以0<wtwπ.根据①，得0<wπ≤π，所以w≤1.则只需2 cos wd-1>0, 即os>@.因为d<吾所以ad<警根据@，样0<受<音所以0<w<号登证：当w= 2时 号>0c0s兰>cs号=，故原不等式但或，所以实的大值为 2d、 sin 方法二：由f)+fy)>f(）,得sin r+siny>sin卫，所以2 sin卫cosa,卫> 2 2 2 n6卫.①当0<w<1时，0<生2<mn卫>0，所以e0s22>北时-受< 2 2 ,卫<竖，结合余孩品载的对称性：受<吾即可，所以w<子.②当w>1时，0<r》<m若 2 2 sin2>0,显然矛盾，若m安卫<0原不等式为as22<号一警<22<警：0∈ 2 2 2 2 2 2 (-受受）0s0=1此时c0s2卫<分不成立，不符合题意，综上所迄，正实数m的最大值为号 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【试题立意】本题主要考查三角函数的图象变换及任意、存在性问题，体现了数学的直观想象能力和逻辑推 理能力，以及数形结合思想。 【解析】(1)方法一：因为∫(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为π， 所以f(x）的最小正周期为2Xπ=2π，即ω=1.…………………2分 所以f(x)=√3sinx+(2a-1)cosx. 又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0, 即(2a-1)cos0=0,解得a=之 1 ，……………………………………………4分 所以f(x)=√3sinx,………5分 方法二：由f(x)=√3sinx+(2a-1)cOSwz,知其定义域为R. .1 又f(x)为奇画数，所以f(0)=0,解得a=2 所以f(x)=√5 sin wx,…… …………2分 因为f(x)图象的两个相邻对称中心之间的距离为π，所以f(x)的最小正周期为2元.…3分 由2红=2元，得w=1.…4分 所以f(x)=√3sinx.……… ………………………………5分 (2)将f()的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），可得y=2sinx的图象，…6分 3 将函教y=2sinx的图象向左平移号个单位长度，即得y=2sin(x十号)的图象， 然后把y=2sin(x十号）的图象上各点的横坐标支为原来的（纵坐标不变）即得g(x)=2sin(2x十号) 的图象.…8分 数学参考答案第4页（共9页） 因为对任意x1∈R,总存在x2∈R,使得g(x1)<(x2)成立， 所以g(）ma<g(江）mx……9分 显然g(x)max=2。……10分 下面求(x)的最大值， p(x)=2 usin-c0sx-2=V小干(2m产sin(x-)-2,其中ang=2m（m≠0， 易得(x)x=1十(2m)7-2.…11分 所以中-2>2，解得K-雪发m心四 2 当m=0时，9(x)=一cosx一2，则o(x)ms=一1，显然不符合题意. 故实数m的取值范国为(-0，一 四)u(,+) ………13分 16.【试题立意】本题主要考查含参分式函数的最值与极值问题，体现了数学的逻辑推理能力和数学运算能力 (导数计算与不等式求解)，以及严谨的数学表达素养. T2 -2x2-2x 【解析】1)方法一：因为f(x）=-2x,所以f(x)= (-2x-1)2 2分 当x∈（-2，-1)时，f(x)<0,所以f(x)在(-2，-1)上单调递减； 当x(-1,-号)时，(x)>0,所以f)在(-1，-号)上单调递增.…4分 又f-1)=1-2)=专(-子)=冬， …5分 所以)在区间[-2，-号]上的最大值为膏最小值为1.… 6分 方法二)=云[-2，号] 令1=-2红-1则[号]=号 则h(t) (-r+传 2分 所以0=十(1-)： 当[子，1)时，h()<0:当∈(1,3]时，h>0, 所以h)在[子，1)上单调道减，在(1,3]上单调道增.…4分 又h(号）=h(3)=号h(1)=1,…5分 故f在区间[-2。一号]上的最大值为号最小值为1。 6分 (2)由k<0,得)的定义城为{✉x≠} …………7分 易知了)=平 x'k-2x …8分 当<0时，令∫()<0，解得<是或x>0. 数学参考答案第5页（共9页） 所以f()在区间(-©，是)和(0，十∞)上单调递减。 …………………………………10分 令∫()>0，解得号<<0，且x≠大， 所以f(x)在区间（号，）和（名0）上单调递增.……12分 所以)的短小值点为=号 ……13分 由f(会）-是，又是<1，得k<-2减>2（舍去）. 故k的取值范固为（一00，一2）。………15分 17.【试题立意】本题主要考查正弦定理、角平分线的性质、余弦定理及周长问题，体现了数学的逻辑推理能力、 数学运算能力，以及转化与化归、函数建模等核心思想. 【解析】(1)由题得c2-a2=ab. 根据余孩定理，得c06A-士Q_6b_6g.1分 2bc 2bc 2c 所以2 ccos A=b十a. 再由正弦定理，得2 sin Ccos A=sinB十sinA=sin(A十C)十sinA=sin Acos C十cos Asin C十sinA. 所以sin Ccos A-sin Acos C=sinA. 所以sin(C-A)=sinA.……………3分 又0<A<π，0<C<π，所以-π<C-A<π 因此仅有CA=A,即C=2A.……………………………………4分 (2)方法-：由A=晋，∠BCA=2A,得∠BCA=受 因为CD是∠BCA的平分线，所以∠ACD=∠BCD=吾， π=3 所以B=受∠ADC-否，∠BDC-号，as∠ACD=cOs∠BCD=6Os舌-号 …5分 在△ACD巾，由正放定现升品m折所以CD停4C-号 AC 3 由E为CD的中点，得CE=CD-& 在△ACE中，由余弦定理得AE=AC2十CE-2CA·CE·cos∠ACD, 即AE=6+(号)°-26.号9-豆 ,2=12 6分 在R△DBC中，由直角三角形斜边中线的性质，得BE=CD=×(停)'=立. ………7分 所以AE BE2 =7,所以=万. BE …………8分 方法二：由A=吾，∠ACB=2A.CD为∠BCA的平分线，得∠ACB=晋B=受∠ACD=∠BCD=若. ……………………………5分 数学参考答案第6页（共9页） 建立如图所示的平面直角坐标系， 设c1.0.则D(0号)A05.E() ,……………6分 5W3 所以AE 、6 BE ……………8分 √+( D (3)由正弦定理，得c b sin C sin A sin B' B 所以a=csin A_ 2sin A 2sin A 1 sin C sin 2A 2sin Acos Aco,6=csin B=2sin 3A sin C sin 2A sin 3A sin Acos A' 1 a+b+c= sin 3A cos A sin A cos A2. …………………9分 因为sin3A=sin(2A十A)=sin2 Acos A+cos2 Asin A =2sin Acos2A+(1-2sin2A)sin A=2sin A(1-sinA)+sin A-2sinA =3sinA-4sin3A,………………11分 所以a+b十c=1十3sin44sinA+2=1+3-4sinA+2 cos A sin Acos A cos A Cos A -4-4inA2-4cosA2=4cs A+2. cos A cOs A ……13分 由1)知B=元-(A十C=元-3A,则x-3A>0,所以0<A<号 所以 立<cosA<1,所以4<4c0sA+2<6. 故△ABC周长的取值范固为(4,6).……………………………15分 18.【试题立意】本题主要考查导函数与原函数的关系、存在性问题转化为最值问题、割线放缩证明双变量不等 式，综合性极强，体现了数学的逻辑推理能力、直观想象能力，以及转化与化归、数形结合等数学思维。 【解析】(1)设点(x,y)为'(x)的图象上一点， 则它关于直线y=x对称的点(y,x)在g(x)=e一a+1的图象上，则x=ea+l. 所以y=lnx十a-1,即f(x)=lnx十a-1.……1分 又f'(x)=lnx十p十1，………………2分 所以f(1)=p十q=a-2,且a-1=p十1，得p=a-2,q=0. 故f(x)=xlnx十(a-2)x,……3分 (2)根据题意，存在正实数x,使得xlnx十(a一2)x≥e2r十2x2,即e2r≤xlnx一2x2十(a一2)x成立.… …小小……小………小…小小小小……小…………小………小4分 由>0，不等式两边同时除以x,得≤1nx一2x十a一2. 即a≥（-n+2x+2） ,…………5分 令h()= --lnx+2x+2(x>0), 数学参考答案第7页（共9页） 则/()=2e-c-1+2=2x-D+2红-1-2x-1D(e2+ 易得x>0,e十x>0,则h(x)的符号完全由2x-1决定. 当x∈(0，)时，()<0，A(x)单调道减： 当xE(合，十）时，h'(x)>0,h()单调递增. 所以A=A号)=空-h号2×克+9=28+n2,华≥2c+3+h2 ……6分 2 故实数a的取值范围为[2e十3十ln2,十∞). ………7分 (3)根据题意，得方程f(x)=(a一2)x一。吉有两个实数根，即nx=一 有两个实数根：… 令F(x)=xlnx,则F(x)的定义域为(0，十oo),F(x)= In z+1. F(ex)=xlnx)=。 令F(x)<0,解得0<x<日；令F(x)>0,解得x>日 所以℉(x)在(0，）上单调递减，在（日，十∞）上单调 t(x)=-x 递增， 所以F(x)na= (日)=-& …………10分 所证不等式用割线放缩的方法， 这两条制线为F(x)图象的最低点（日，-）与(0,0）及(1,0)的连线， 即(x)=-x与l(x)=ex-1). ………11分 设两制线(，()与直线y=一吉交点的横坐标分别为以， 解方程可得。合=-(c-1日十1，所以一=1一合 1 当x∈(0，是)时，lnx十x=xnx+1)<0,所以F(x)<(x): 当x(日)时hx-0=[hxe(1-)] …13分 令m)=lh(1-）则m)-e (e-1).x2 由m)<0,得<<。由mx)>0,得。<<1， 所以m()在（日。）上单调递减，在（马1）上单调递增。 而m(） =m(1)=0,所以m(x)0,即F(x)<l(x).…15分 t(x1)>F(1)=t(x3)=l(x1)=F(x2)=- <1 数学参考答案第8页（共9页） 根据单调性，可得x1<x,x2>x1, 所以x2一x1>x一x=1一。，证明完毕，…17分 19.【试题立意】本题主要是以“对合函数”为新定义，考查函数性质的判断与证明以及不等式证明，体现了数学 抽象能力、逻辑推理能力和数学建模能力，以及类比、归纳等探究性思维， 【解析】(1)因为y=x,x∈(0,1)，p>1, 所以y=x-1,y”=p(p-1)x2-2.… ……1分 因为y”≥0，所以y=x”在(0,1)上为凸函数，………2分 1-x 2调为W✉》=(（是）产)=( 1十Ax1 「(1十A)x7方 1十λ 1-xP/ 1十λ =x,…4分 1十Ax2 所以f(江)是对合函数。……………………5分 令g(x)=[f(x]P,有g(x)=二l1+Ax)-（1-)p==p1+ADx (1十λxP)9 (1+A.xP)2-· 因为A>-1,p>1,所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，故函数f(x)在(0,1)上单调递减.………7分 (3)(i)由(2)知f(x)为对合函数，则f(f(x1))=x1· 因为f(x1)≥x2,由(2)知f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(f(x1)≤f(x2),即x1≤f(x2) 又f(x2)≤x1,所以x1=f(x2),所以f(f(x2))=f(x1)=x2 由)=，两边取p次幂，可得z十是，即中十对十入z对=1.… 设A=x>0,B=x>0,则A十B=1-λAB. 当A>0时，AAB>0,A十B=1-入AB<1,即xf十x<1；… 11分 当-1<A<0时，AB<0,A十B=1-AAB>1,即x中十x>1,…13分 (ii)设h(t)=t护，t∈(0,1)，p>1, 由(1)知h(t)=t护在(0,1)上为凸函数，………………………………14分 所以对任意0Dh(士）<型，即（色）厂<之基 2 因为p>1,所以函数h(t)=tP在(0,1)上严格单调递增， 对上选不等式两边同时开。次方，得5士严≤()产】 2 因为≠>1，所以5<()护 ………………………………15分 根据(i)可得入>0时，x中十x<1,…………………………………16分 所以<（号），所以十x2方，……………17分 数学参考答案第9页（共9页） 26.10高三数学评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第17题： 第(1)问补充其他解法（两个)： 7m35= (9-÷/0所c22=xb n℃-，A二A,AS2mB ·-1 c十hA)1(-心以4)=2曾Ax2em:9 S(Arc)sh(c-A)=shA5mB (c-A)-、--3 2府，C七(6x)公C-=月 C=A---·4' 1t&产-哈-=o中c=ab I7.h.:c:9r 在 4年装： 2元 —71 42A1=2-货广1-整-2会 21+11 网24C.2wA7°0cAe径ae明c元 第(2)问补充其他解法： 门p波-DC:m,A产能-咖wW: 一向学满 6 形网风)4m++m万m里)=京m伦原7 BE:心：m。、 %多万 第1页共3页 第18题：第（2)问 补充其他解法一： 2) 718.3xclot Xluxt (ax 92 xta2)》号+次刻a3景t2以-2 t:是 创产 景学+2 -4 tto e) enlod x(g2)时t<。为浮93诚 Xe(2,t时时x7心tcx)2(回 、fw)2=t(z)=2e azt+latt2 (t2e) 、--.6 hd:tt/dt2'W=I什Eokd)花(e.o)上 浮之场 azhd)3tln2tze ta仿克同上3ln2t2e,t)…7 补充其他解法二(5-6分处)： 1Pp)中0之齐-ax++2=为 h1w=e2*h￥ 十lx)十2 仑2xhb-七htye+t+2 52rh7YW:2-克：￥-，时r宝 X+9日少%足弱 pxpli)=ith 24+y:e*1+hL-e+%3.-f 第2页共3页 第19题：第(3)（i)问 补充其他解法： TP9自心A3%)p1且产，0 公Hx)>0 B 丧图弘（十M)≥名>0 4W「≥>D 小树≤ -.98 由泽式作得 入P C1-r 1-≥+K、、小名 P ≥为P +-矿 sxP 卜P总护+ 作P 支 1-=H+入xP ”-、-1分 昂+为P=入N灯 从当入70时 xP,04+龙<|、-123 当0<和时<0小X+xP>1-B3 第3页共3页姓 名 准考证号 绝密★启用前 10月高三数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名，准考证 号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然 后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案 写在答题卡上对应的答题区城内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.31#，小 1.命题“Vx∈(0，十o∞)，lx十sinx十1>0”的否定是金■ A.Hx∈(0，+∞)，|x+sinx+1<0 B.3x∈(0，+o∞)，lx+sinx+1≤0 ，一 C.Vx∈(0，+o∞)，lx+sinx+1≤0 D.3x∈(-∞，0]，lx+sinx+1>0 2.已知集合D=(x∈Nx<6},A={0,1,2),B={0,1,4,则GD(AUB)= A.{1,2,4} B.{0,1,2,4} C.(3,5) D.{0,3,5} 3已知x∈R,则不等式”之”是不等式号≤1的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题第1页（共6页） 4.已知函数f)=士，2为偶函数，则f) 3x+1 方 B.1 C.2 D.4 5.设m=sin102°+3cos102°，n=cos78°+cos42°，若m2+tm2=4,则实数t 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数f(x)=x十2cosx在区间[0,2π)上的单调递减区间为 A(0,若) B(0,) c() D(晋，2x 7.如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框ABCD, 现测得BC长为3m,MN是立于门前垂直于水平地面的测 量标杆，高为8平点BC,N在水平地面上，在标杆顶点 M处测得A点的仰角为45°，D点的仰角为30°，且测得 B ∠BNC=150°，则门框的高AB为 A.17 m 7 B.4m C.17 7 -m D.5m 1 8.已知a=a(+sn动)b=sm0c=n(sin动)则 1 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知a∈(2,3)，b∈(-2，一1)，则下列结论正确的是 A.a+2b∈(-2,1) B.ab∈(-4，-3) C.a-b∈(3,5) D.8∈(-3，-1) 10.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos(B-C)十c0sA= ,3 bsin Ccos A,a=2,以下结论正确的是 A.tan 2A=-2 B.△ABC外接圆的半径为2,3 3 C6的取值范因2，智) D.b十c的取值范围为(23,4] 数学试题第2页（共6页） 11.定义min(a,b,c}为a,b,c中的最小值，设f(x)=min(3x+6,2+2,4-x),若 方程[f(x)门一mf(x)+6=0在区间[-2,4]上有8个不同的实数根，则实 数m的取值范围为下列哪些集合的子集 A.[26,6]B.(2,26)C.(-26,5]1D.(-2,26) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.心不得1 12.曲线y=xcos x十sinx十1在点(0,1)处的切线方程为 13.某科技园引人“光伏十储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将 多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为 x(单位：kW·h),该系统每天的“综合调度成本”C(x)(单位：元)由两部分组 成：一是容量配置与维护成本，与x成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风 险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与x成反比，比例系数 为800000，若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量x应设计为 kW.h. 14.已知函数f(x)=sinx,x∈(0，，若对于任意x,y∈(0，π)，f(x)+f(y)> 生》恒成立，则正实数~的最大值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分13分) 意年人突，县价平的A38区盛日D, 已知奇函数f(x)=3 sin wr十(2a-1)cos w(w>0,a>0),f(x)的图象的 两个相邻对称中心之间的距离为元静京的贯△一荐 (1)求f(x)的解析式： (2若把)图象上各点的纵坐标变为原来的23倍（横坐标不变），再将 3 所得图象向左平移买个单位长度，然后把所得图象上各点的横坐标变为 原来的2（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象.设p(x)=2 msin x- cosx-2,若对任意x1∈R,总存在x∈R,使得g()<(x2)成立，求 实数m的取值范围。 数学试题第3页（共6页） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)= x-(k<0). 当=一2时，求)在区间[-2，一号]上的最大值与最小值： (2)若f(x)的极小值小于1，求k的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B.C所对的边分别为a6,c(日)-名-1=0， (1)证明：C=2A; (2)若A=需，CD是∠BCA的平分线，交AB于点D,E为CD的中点，求 能的值， (3)若c=2,求△ABC周长的取值范围. 数学试题第4页（共6页） 18,(本小题满分17分) 已知函数(x)=xnx+px十g的导函数为f广(x),了(x)与函数g(x)= e+的图象关于直线y=x对称，且f(1)=a-2(a∈R). (1)求函数f八x)的解析式（含参数a): (2)若3x>0,使得f(x)≥e+2zx成立，求实数a的取值范围： （3)若方程/八x)=(a-2)z-吉有两个实数根，且<，求证：1- 数学试题第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 定义： ①若定义域内任意x满足f(f(x)=x,则称函数f(x)为对合函数. @若西数∫在区间1上有定义，v,∈1，f()≤ f(x)十fx2,则称f(x)为区间I上的凸函数 2 ③对f(x)的导函数f(x)再次求导，得到的函数称为f(x)的二阶导函数， 记作(x).若(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)在区间I上是凸 函数 设函数)=(+奇Q>-1,p>》ze0,1D. (1)当p>1时，证明：y=x°在区间(0,1)上为凸函数. (2)判断函数f(x)是不是对合函数？若是，请证明，并指出f(x)的单调性； 若不是，请举出反例。 (3)结合定义②，设x1,x2∈(0,1)，x1≠x2,满足f(x1)≥x2,f(x2)≤1. ()证明：当入>0时，xf+x8<1;当-1<入<0时，xf+x>1. ()当>0时，证明：x1十x2<2-. 数学试题第6页（共6页）