辽宁名校联盟2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

高三 ·数学· 叁专答亲及解折 一、选择题 sin 2sin(+8) 1.C【解析】M∩N={-1,0,故选C. =3,所以sin号sim(号+） 2.A【解析】当x=0时，显然x3=x2,充分性成立：当x os受os(+P) =x2时，x2(x-1)=0,解得x=0或x=1,不能推出x 3cos号os(号+Bosp=cos[(号+）-号] =0,必要性不成立，故选A. 3.D【解析】因为f(x十3)=f(x),所以3为函数f(x) cos(号+)cos号+sim(号+)sim受=子，两式联立 的一个周期，所以f(1)=f(1+2×3)=f(7),又当 x∈[5,8)时，f(x)=x2-1,则f1)=f(7)=72-1=48, 解得sin受sm(受+)=是6os号cos(号+)=6 故选D. 4.B【解析】(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-2=a2+ 所以ma+0-m[受+（号+]-s号（号+） 6+2ab-2.由余弦定理，故(a十b+c)(a+b-c)=2ab· -sin受sim(号+B）=-名，故cos[2(a+B)] osC+2ab=2 2alkooC+-1)=号ab,解得osC=-合.故 2os(e+)-1=1=影故送A 选B. 二、选择题 5.A【解析】由a+b=√2，得|a2+2a·b+b2=2,9.ACD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xOy, 即1+2a·b+|b12=2,所以2a·b+|b12=1,由向量a 则a=(1,2),b=(3,-2),c=(-1,1) 在向量6上的投影向量专6，得6.6=号6，所以 对于A选项，a=√+2=√5，故A选项正确： 对于B选项，b·c=3×(-1)十（一2）×1=-5，故B选 ab=子b,所以号b+b=1,则b1=,故 项错误； 5 y个 选A. 6.B【解析】由等比数列的性质可知，S2,S,一S,S一S, S。-S组成等比数列，则(S,一S2)2=S2(S。-S,),即 (3-S)2=4S2,整理得S-10S2+9=0,解得S2=1或 S2=9,又数列{an)的各项为正数，所以S.+1>S.,则 0 r S>S2,所以S2=1,由1,2,4，S8-7组成等比数列，可 对于C选项，b十c=(3,一2)+（一1,1）=(2，一1)，所以 得2(S-7)=42,解得S=15,故选B. a·(b+c)=1X2+2×(-1)=0,则a⊥(b+c),故C选 项正确； ax 7.C【解析】f(x)=a-cm,若a>0,当0<r<1 对于D选项，设b=入a十4c,则(3，一2)=入(1,2)+ 时，f(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增，当x<0 时，f(x)<0,所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，则 以一1D=Qua+0.所以-都得= 2+4=-2, f(x)mm=f(0)=ae-1=l,由g(x)=xe-1(x>0)单调 -号，则b=了a号c,故D选项正确：故选ACD 递增，且g(1)=1,所以a=1,符合题意；若a=0,显然不 合题意；若a<0,当0<x<1时，f(x)<0,所以f(x)在 10.AB【解析】对于A选项，由图象可知A=2, (0,1)上单调递减，当x<0时，(x)>0,所以f(x)在 f0)=1,得sie=之又由-受<g<受，则g=吾， (一∞，0)上单调递增，所以f(x)存在最大值，不存在最 故A选项正确： 小值，不合题意，故选C 对于B选项，由图可知，点C为函数f(x)的图象的最 8.A【解析】由题意tan受tan(号+B）-3,可得 低点，根据五点作图法可知等×。十吾=号，所以 。1。 ·数学· 参考答案及解析 w=2,所以f(x)=2sin(2x+若），因为f(） 13.7【解折】(1)当fa)≤1时，有ffa)=2-a 1 2sin=0,所以点P(受0）为曲线f(x)的一个对称中 1,有@)=1.①当a<1时，由fa)=1,有2。=1，解 心，故B选项正确； 得a=1;②当a>1时，由f(a)=1,有log(a-1)|=1, 对于C选项，曲线x)向右平移爱个单位长度得到 解得a=3或a=三.(2)当f(a)>1时，有ff(a)= 曲线y=f(e- )=2sin(2x-x)=-2sin2x,f(r) 1log[f(a)-1]1=1,有fa)=3或乏.①当a<1时， 关于原点对称，故C选项错误； 由a)=3或fa)=受，有2。=3或2。是，解 对于D选项y=f(x)+f(x+石）=2sin(2x+吾》 得a=号（舍去）或a=专（舍去）.@当。>1时，由a) +2cos2.x=V3sin2x+3cos2x=23sin(2x+号)，又 3或fa)=号，有1log:a-11=3或loga-1D川= 由x∈[0，受]，所以2x+号∈[吾]根据正弦函 多解得a=9或a=号或a=1+2厄或a=1+.由 9 数的单调性可知，函数y=f(x)+f(x+否)在 上知a=1或3或号或9或号或1+2或1+，放 [0,受]上的值域为[-3,23]，故D选项错误，故 满足条件的实数a的值有7个. 14.5【解析】由题意得x1十x2=b>0,x1x2=c>0,所以 选AB. 0<x<x2.因为x,x2,一2三个数适当调整顺序后可 11.BCD【解析】对于A选项，由等差数列的性质可知， 为等比数列，则一2一定为中间项，所以x1x2=(一2)2 2a5=ag十a?,解得a,=15,故A选项错误； =4,则c=4.因为，x2,一2三个数适当调整顺序后 对于B选项，由S.=2b十n-4,得S.-1=2b+1十n 可为等差数列，所以一2为最小的项，所以2x=一2十 3,两式相减得b.+1=2b.+1一2b。十1，所以b+1=2b. x2,即x2=2x+2.代入x1x2=4中得，0(20+2)=4， 1,则b.+1-1=2(b。-1),当n=1时，b=3,则b-1= 整理得G十x一2=0，解得=1或x1=一2（舍去），所 2,所以=2，所以数列{6.-1)是以2为首项，2 以x2=2x1十2=2×1+2=4.故b=x十x2=1十4=5. b.-1 四、解答题 为公比的等比数列，所以b。一1=2，则b=2+1,所 以S=2(2+1)十n-4=2+1+n-2,故B选项正确； 15.解：1)由=才，得常-号=1，…2分) n+1 对于C选项，易求等差数列{an}的通项公式为a.=2n 又号=2，所以数列{%}是首项为2，公差为1的等差 n +1,则aH=29,又b,=17,b=33>a14,所以Tio=(a 数列，…(4分) +a:+…+a)-(6,+b,+h+6,)=14X(3+29) 2 所以=2十(m-1)=n十1，…(5分) S,=224一34=190，故C选项正确； 故a.=2十n. …………………………(6分) 对于D选项，由T--1=(a1十a2十…a2)-S+1 2(3+2+1+1D-(2+2+0-10=2-21-n+1,有 (2)证明：由(1)知，1=1一1 ann十1…(9分) 2 T-1=(3十1)"-(3-1)+1-n十1，若T--1是3 所以8=士+女++止-(1-号)+（合吉》 的倍数，可得(-1)”-n十2是3的倍数，可得（一1） ++(分)=1-<1. …(13分) n-1是3的倍数.若n为偶数，可得n是3的倍数，必 16.解：(1)由f(x)=sin2.x+(sin2x-cos2x)=sin2x 为6的倍数；若n为奇数，可得n十2是3的倍数，可得 n被6整除余1，故D项正确.故选BCD cos2x=2sim(2x-）…(3分) 三、填空题 12.[-3,0]【解析】由∫(x)=3x2+2ax-a>0恒成立， 不等式)>1可化为sim(2x-子)≥ 2 有4a2+12a≤0，可得-3≤a≤0. ………………………………………(4分）》 。2· 高三 ·数学· 可得2kx+<2x-牙<2kx+3(k∈Z, 所以 1 1+√2 2-2√2 2 可得领十平≤x<kr十受(k∈， 故实数号的取值范围为( -o,-1+27 2 故关于x的不等式>1的解集为[kx+子k饭+受] ……（15分) (k∈Z). ………(8分) 18.解：(1)由bsin2A=asinB,得2 bsinAcosA=asinB,… ……………(1分)） (2)当0<<受时，-子<2x-<平 …(10分) 由正弦定理得2 abcosA=ab,…(2分) 要使方程f()=m在[0，受]上有两个不相等的实数 所以cosA=之· ……………………(3分) 根，由函数f(x)的图象可得1≤m<√2， 又A∈(0，m）,故A=号…（4分） 故实数m的取值范围为[1，√2).…(15分) (2)()如图，由题意可知，E为边AB的中点，过点E作 17.解：(1)由题意可知，f(-x)+e=f(.x)+e, EM∥BD,交AD于点M,则EM为△ABD的中位线， 则f(.x)-f(-x)=er一e,①…(1分) 2e-6)--0-[ee)-e], 3 所以AM=MD,EM=号BD, 则f(.x)+f(-x)=0,② …………(3分) 由①②得f)=e-c 2 ……(4分) (2)(i)由(1)可知，f(.x)为奇函数，则f(0)=0,… ………(5分)》 又y=e·,y=-c在R上均为减函数，所以f(x)= eC在R上为减函数，…(6分) 又CD=2DB,所以EM=CD.又EM∥CD,所以 2 由f(x)+f(1-2x)<f(0),得f(.x)<-f(1-2x)= f(2x一1)，……………(7分) 因此SACE= 3SD,…(6分) 根据f(x)在R上的单调性可知，x>2x一1， … 5 …………………(8分) 又CD=2DB,所以SD= Sc则Sr=号Sr 2 解得x<1,故A=(xx<1.…(9分) (i)由(i)可知，D={xlx>0}∩A={x0<x<1.… 5 2 bcsinA=3 0bc,…(7分) …(10分) 当xe00时fx)e(2e.o 由A=登与余弦定理得，d2=+-26cos受=十 c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号.所以 由a[f(x)]-bf(.x)+a+b≤0. 40好≤…(9分） 得分fx)]+1≤fx)-1, 所以分≤在0上恒收立…1分 又△ACF的最大面积为5.所以得。-。 解得Q=√10.…(10分) 令1=x)-1,则(。2.-小， ()证明：由A动=A市+动=A店+号B心=A本+ 所以≤2+2+2 1 …（12分) 子-恋)=号恋+号A ，…(11分) 因为y=1十子在(-，-厄)上单调递增，在 两边平方得，：=号A恋+号A砧·C+号A心 (-√2,0)上单调递减，则yx=-2√2，…(13分) +号+6.…(12分) ·3 ·数学· 参考答案及解析 又由AD=只 ,所以2=+号x+ p'(0=1- =一1<0，则p()在(0,1)上单调递减， t 即7a2=4c2+2bc十6，…(13分) 所以()>g(1)=0,即m(1》 a+>0. ……(7分》 又由a2=6+2-bc,有7(b+2-be)=42+2bc+b. 1 整理得(b-c)(2b-c)=0, 因此m1)m(。中市)<0，结合单调性，可知存在唯一的 又由c<2b,所以b=c, ………………(14分) x∈(0,1)，使得m(xo)=0,即f(.xo)=0, 因此△ABC为等边三角形，所以CE= 2a. ……… 故x。为f(x)唯一的极值点.…(8分) 当x∈(0，x)时，m(x)>0,即f(x)>0,所以f(x)在 …………………………(15分》 (0,x)上单调递增，当x∈(xo,1)时，m(.x)<0,即 由0可知，EF=FC,所以CF=专CE-2。 5a, f(x)<0,所以f(x)在(x,1)上单调递减，…(9分) 再结合f(x)在(1，+o∞)上单调递减，所以x。为f(.x) …………………………(16分） 在(0，十∞)上的极大值点. 在△BCF中，∠BCF=否，由余弦定理得， 综上可知，f(x)有唯一的极大值点。…(10分) BF-V+(2)-2ax2gx号- 5a. (3)由(2)知，f(x)的最大值为f()=1+ln-eo, ………………(17分》 当m(o)=0时，ln=a,所以e。=,则f(x) To 19.解：(1)当a=1时，f(1)=1-e,…(1分) 又f)=-2-e,则f)=-e,…(2分) 所以当a=1时，曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切 由Vx>0,f(.x)≤-e恒成立，得-a≤-e,则a≥e. 线方程为y-1十e=一e(x-1),即y=-ex十1，… …(12分) ………………………………（3分) 因为0<<1，且a=-l,可得-ln≥e,有ex (2证明：f(x)=-n-ae. +lnxo≤0，又由函数g(x)=ex+lnx(0<.x<1)单调递 当x>1时，了(x)<0,∫(x)在(1，十∞)上单调递减： 增.且有g）=0,可得0<≤合.(13分) …………………(4分） 将a=-n代入不等式a6+(e-a十2-1 To e.xo e 当0<≤1时，f(x)=-ln-ae“=工 x2 x 220,可化为-1DI6-ew忌+日+2≤0.“ cht In 1 r-axeu …………(14分） 令a=x-1nr-ex-&++2(0<r≤） 令f(x)=0,则e1n⊥ ex e =axe“,……(5分) 令h(x)=xe(x>0),则h'(x)=(x+1)e>0,所以 有X)=-+忌+1-e h(x)在(0，+∞)上单调递增， 令od)=e-+忌+1-e 由e时ln是=aae,得A(n）=ha ex …(15分) 所以n是=a,则-hr-ax=0.(6分) 由0<r≤是，有er+er-4≤。-3<0.可得函数 e 令m(x)=-ln.x-a.x(0<x≤1)， 易知m(x)在(0,1)上单调递减， ux)单调遂减，可得wx)≥a(）=0。 又m(1)=-a<0, 可得函数(x)单调递增，有(x)≤A()=0, ()=-a+-1-hh 故不等式ari+(e-a)+2-1-2≥0成立.… e.to e 设1=则0<1<1，令g)=1-1-l,所以 …(17分) ·4。 高三10月数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知定义域为的函数满足，当时，，则 A．0 B．24 C．35 D．48 4．在中，已知内角，，所对的边分别为，，，且，则 A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则 A． B． C． D． 6．记为正项等比数列的前项和，已知，，则 A．11 B．15 C．19 D．23 7．已知函数在上的最小值为1，则 A． B． C． D． 8．已知，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则 A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，且点和最低点在曲线上，则 A． B．点为曲线的一个对称中心 C．将曲线向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称 D．函数在上的值域为 11．在等差数列中，，．记为数列的前项和，且．从数列中去掉与数列中相同的项后，按从小到大的顺序排列组成新数列，设数列的前项和为，则 A． B． C． D．当是3的倍数时，被6整除的余数为0或1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数单调递增，则实数的取值范围为________． 13．已知函数，若实数a满足，则满足条件的实数a的值有________个． 14．已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后既可为等差数列，也可为等比数列，则b的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，证明：． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求关于x的不等式的解集； （2）若关于x的方程在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知函数是偶函数，且函数为奇函数． （1）求的解析式； （2）若不等式的解集为． （i）求集合； （ii）设，若关于的不等式（，）在上恒成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：有唯一的极大值点； （3）设为的极大值点，且．证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $