精品解析：辽宁锦州市某校2026-2027学年高三上学期自主考试数学试卷

高三自主考试 数学试题 命题教师：高三备课组 考生请注意： Ⅰ．考试时间120分钟．满分150分； Ⅱ．只交答题纸，在卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的不等式在时恒成立，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 若不等式的解集为，则成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若且，则下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. a 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C. 若，，，则的最小值为 D. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 若随机变量，，则 C. 当时，的最小值是 D. 已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则 11. 若函数有两个极值，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某软件科技公司近6年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示. 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则___（用分数表示）. 附：（1）参考数据：. （2）参考公式：，． 13. 已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 14. 已知，，则不等式的解是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 （1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ （2）如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 16. 已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 17. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． （1）封闭集训期间，记名运动员中第天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； （2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛.已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列； （2）为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （ii）该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，，求的单调区间和极值； （2）若，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三自主考试 数学试题 命题教师：高三备课组 考生请注意： Ⅰ．考试时间120分钟．满分150分； Ⅱ．只交答题纸，在卷上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算以及解一元二次不等式即可求解. 【详解】，， 所以． 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 3. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 4. 若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 5. 关于的不等式在时恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，要使不等式在时恒成立，则端点对应的函数值均小于零，解不等式求出的范围. 【详解】令， 则不等式在时恒成立，需满足， 即，所以，即实数的范围是. 故选：B 6. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用等差数列前项和的性质求解. 【详解】因为，所以. 7. 若不等式的解集为，则成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为不等式的解集为， 所以与是方程的两个根，且， 所以，， 则不等式可化为，解得， 所以成立的充要条件是. 8. 若且，则下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. a 【答案】B 【解析】 【分析】由题干条件利用基本不等式求得及，再结合即可判断. 【详解】， 又，． ，， 且，， 又，所以， 最大． 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C. 若，，，则的最小值为 D. 若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出定义域判断A；转化为该命题的否定是真命题求即可判断B；根据基本不等式（“1” 的代换法）的性质求最值即可判断C；利用函数的单调性列不等式，解不等式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，则函数的定义域为，故A正确. 对于B，若命题“，”是假命题，则其否定“”为真命题， 所以，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为， 则， 当且仅当且 ，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为函数为上的增函数，且， 所以，解得，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则 B. 若随机变量，，则 C. 当时，的最小值是 D. 已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率运算公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据基本不等式的解法判断 C，根据平均数和方差的计算公式判断 D. 【详解】选项A：事件和互斥，且满足，因此，代入数据得，A正确; 选项B：随机变量，正态曲线关于对称轴对称，故， 因此，B错误; 对于C：当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 选项D：7个数据的平均数为，可得，即， 因此，，，，，的平均数也为，由方差公式： ， ， 因数据互不相等，故，因此，D正确. 11. 若函数有两个极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数计算，结合题意可得有两个变号正零点，设出两个零点，利用二次函数的性质与韦达定理计算即可得解. 【详解】，令，， 由函数有两个极值，则有两个变号正零点， 设这两个变号正零点分别为，且， 则，且有，，， 即可得，且. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某软件科技公司近6年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示. 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则___（用分数表示）. 附：（1）参考数据：. （2）参考公式：，． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：，， 由条件可得， 得， 所以． 13. 已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 14. 已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【解析】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 （1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？ （2）如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率． 参考数据：取，，，．若，则，，． ，． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1） 列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求，进而利用对立事件分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：列联表为 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关， 可得， 依据小概率值的独立性检验，可以推断成立， 即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关. 【小问2详解】 由题意可得，物理成绩的平均分为（分）； 方差， 结合题意可知：，即，则， 可得， 记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则为“人物理成绩的等第都是非优秀”， 故， 所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为. 16. 已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由递推式可知为等差数列，可得，再根据结合已知条件即可求的通项公式； （2）由（1）可得，将分为偶数、奇数讨论得到的前项和 【详解】（1）由，知：，由有， 即数列 是首项、公差均为1的等差数列 ∴又由是各项都为正数的数列， 即，而 ∴ ，又，满足上式， 故 （2）由，知： ∴当为偶数时，；当为奇数时，， 所以. 【点睛】本题考查了数列，利用前n项和的递推式求数列通项公式，根据新数列与已知数列的关系求新数列前n项和，注意将分为奇偶数讨论 17. 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第天进行有氧训练与无氧训练的概率相等． （1）封闭集训期间，记名运动员中第天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望； （2）封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求． 【答案】（1） ． （2）（，且） 【解析】 【分析】（1）先计算运动员第天进行有氧训练为事件的概率为，进而可得，再根据二项分布的概率公式及期望计算可得； （2）由题意可得递推关系，再通过构造等比数列可得. 【小问1详解】 设“运动员第天进行有氧训练”的事件为，则， 所以名运动员第天进行有氧训练的人数，可知， 所以， 则，， ，， 所以的分布列为 所以． 【小问2详解】 因为运动员第天进行有氧训练的概率为，所以运动员第天进行无氧训练的概率为， 依题意可得，即（，且）． 则（，且），且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即（，且）. 检验：，，符合条件； ，，与（1）结果一致. 因此，（，且）. 18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办.为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从7道题中任选3题作答，3题均答对则进入决赛.已知这7道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列； （2）为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （ii）该校体育系共有18名学生进入了决赛，若这18名大学生获得的总奖金的期望值不小于2240元，求此时的取值范围. 【答案】（1） 的分布列为 0 1 2 3 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求解概率即可. （2）（i）利用二项分布求解，利用导数研究其单调性进而可得极大值； （ii）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，利用离散型随机变量的求解方法求出分布列，再计算数学期望，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，小王答对题目个数. ，， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 （i）由题意知， 题意知 令得或（舍）， 令得， 令得 ∴令在内单调递增，在内单调递减. ∴当时，取得极大值，极大值为. （ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量， 则可能得取值为目个数. ， ， ，， ∴， ∴ 即 整理得 经观察可知 是方程的根.. 故， 因为恒成立. 所以由，可得，解得， 又因为，所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：由二项分布得出，利用导数研究其单调性，可得极大值；每名进入决赛的大学生获得的奖金为的期望，解不等式得到所要求. 19. 已知函数. （1）若，，求的单调区间和极值； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1）函数的增区间为，减区间为， 函数的极小值为，无极大值； （2）证明：若，则， 则， 当时，函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在唯一实数，使得，即， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可； （2）利用导数求出函数的最小值即可得证. 【小问1详解】 若，，则， 则， 令，得，令，得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $