北京市中国人民大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测练习数学试卷

人大附中2027届高三10月质量检测练习 数学 说明：本试卷21道题，共150分，考试时间120分钟，请在答题纸上填写个人 信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上， 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位 置.) 1.已知4=3吵，B=儿到，则C4=() A.(2,3] B.[2,3 C.,2) D.,2] 2.已知命题p:x>0,x≤0，则命题-p是（) A.x>0,x3>0 B.x<0,x23>0 C.3xs0,x2>0 D.3x>0,xX2>0 3.角a的始边在x轴的正半轴上，终边在直线y=2x上，则an(a+=（) A.2 B月 C.3 D.1 4,过点P可作两条曲线y=血x的切线，则点P的坐标可能为() A.1,) B.(2,0) C.(0,-) D.(-2,0) 5已知a,8eo孕，若co+的=-子(g-角=号则a+月=（） AB c.器 第1页/共6页 6.已知函数∫(x)的定义域为R,则“x∈R,∫(x+2026>f(x)”是“x∈R, f(x)>fx-)”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 7.已知函数/)=si血(ar+p@>01p水k孕图象与直线y=号的两个交点间的最小距离 为君且行++八=0.若)=-，且/网在区间6,51上单调，则 ,+名的最小值为() A音 c.牙 D 8.某AI实验室训练大模型的训练成本C与参数数量N成正比，与芯片效率E成反 比.已知参数数量N每年增长20%，芯片效率E每年增长50%，某大模型今年训练成 本为C,若第k年后(kZ)的模型的训练成本不超过：C,则k的最小值为（) (参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477) A.5年 B.6年 C.7年 D.8年 9.已知函数f)=2-ar+1,其中aeR,若x>1,都有fx)>f白成立，则a的 取值范围是() A.(-60,0] B.(-0,3) C.(-o, D.(-0,3) 10.小斌老师在上课时在黑板上画出了函数f(x)=2sin(ax+p)+3cos(ax+p)图像的一部 分，然后他画了一条长度为12的线段AB,如图所示：端点A,B 落在曲线y=(x)上，与x轴交于点C,CB与曲线y=fx)交于 点D.若AC=3DB,CD=2DB,则满足条件的m,p可能是 A.=x 6 第2页/共6页 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上 的相应位置.) 11.已知向量g,不共线，a=2g-x,b=3%+6e,若a,b共线，则实数x=一 12.若函数f)=ln(o2+)-ax为偶函数，则a=一 8,数@品的最小值为 14.在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足acos B-bcosA=c,其中 keR,B=名 (1)若k=1,则C= (2)若k=写”b=2,则Sc— a-2xa 15.已知函数(x)= sin(ar ,其中a∈(0，+o),给出以下四个结论： x ①对于任意正实数a,∫(x)为偶函数： ②记集合M=x>01∫(x)=0),则“M中各项可以构成一个等差数列”的充要条件是 “a是正整数”； 回若f倒有最大值，则> 2 ④存在正整数a,使得f(x)在区间(-(a+),a+)中，恰好有2027个极值点. 其中正确结论的序号是： 第3页/共6页 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步豫或证 明过程，请在答题纸上的相应位置作答.) 16.己知S.为数列{a,}的前n项和，满足Sn=2a。-1,n∈N.数列他，}是等差数列，且 b=a,b+b4=6. (I)求数列{a}和{也，}的通项公式： (II)若数列{c,}的通项公式为c=2b.-17,求数列和，}的前n项和的最小值 17.已知函数f=了+0 x-1 (I)当a=0时，求f(x)的单调区间与极值： ()若∫(x)在区间(L,∞)上单调递增，求实数a的取值范围. 18.已知函数f(x)=sin 2ox+8 +2sin2ax-1(w>0). 6 (①若w=l,(x)的单调递增区间： (四己知∫(x)在区间0，上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选 择一个作为已知， 使函数∫)存在且唯一确定，求倒在区间，利上的最大值和最 小值， 条件0：f0+f②=0： 条件®：点受0在的图象上： 条件回：孕-帝 第4页/共6页 19.天宁寺塔位于北京市西城区广安门外护城河西岸，是辽代八角十三层密檐式实心砖 塔，也是北京城区现存最古老的地面建筑之一，某校实践小组在护城河东岸同一水平面 内选取C,D两个观测点，测量天宁寺塔AB的高度，由于塔底B位于对岸无法直接到 达，小组先在点C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿河岸步行35米到达点D处，在 点D处测得塔顶A的仰角为45°.已知∠BCD=120°，且观测点与塔底B在同一水平面 内. )求天宁寺塔AB的高度： 四)求∠BDC的大小： m若点E在直线cD上（且c在D,E之间），满足∠CBE=15°，求E的值 BD 20.已知函数f(x)=e-k(x+)-1. )当k=1时，求f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： 四若x之0时，f(x)2:恒成立，求实数k的取值范围： 0四当k>2时，若6是了代在@+m)的零点，比较)与气的大小，并证明体的结 论 第5页/共6页 21.设A是如下形式的n行n列的数表， 411 an aia aa an 02n an2 其中位于第1行第j列的数为a,且满足1<j时，a,=n-2,12时，4，=0. 已知集合M={《p,g,k)lp,9,keL,2,,,(p-k(g-k)≠0). 给定数表A和序列2：T,T,,T,其中T=(P,9,k)eM，对数表A进行如下变 换：将A的a减l,an加1，其余各项不变，记为T():将T()的a减1，a 加1，其余各项不变，记为TT()；以此类推得到T,TI(),简记为B, 记R()=an+a2+…+am,即数表A的第i行各数之和. (1)当n=3时，给定序列2：0,2,3)，(2,3,1)，写出R(B),R(B),R(B); (2)若序列Ω：T,T,,T,各项互不相同，且满足第三分量等于k的项至多有k个 (i)当n=4时，是否存在序列2：T,T,,T,使得R,(B)>R(B)>R(B)>R(B),若存 在，写出一个符合条件的序列2，若不存在，说明理由： (ii)求n的最大值，使得存在序列2：T,T,T,满足R,(B>R(B) 第6页/共6页 人大附中2027届高三10月质量检测练习 数学参考答案 一、选择题 (1)B (2)D (3)C (4)A (5)D (6)B (7)B (8)C (9)B (10)A 二、填空题 (11)-4 (12)1 (13)3+2W2 (14)月 号6 (15)①④ 三、解答题 16.解： 0因为Sn=2an-l,neN°，① 所以有a=1,Sn+1=2an+1-1.② ②-①得a1=2an（n∈N). 所以数列{an}成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以an=2-. 又数列{亿}是等差数列，且b=a,b2+b,=6. 所以b=1,d=1.所以bn=n. 四由(1)知cn=2n-17=2n-17. {6}的前n项和为2，则2=-15+2n-12）=-16m 2 第1页/共8页 由二次函数的性质可知：当n=8时，2n的最小值为82-16×8=64， 17.函数了似=+的定义城为xx*. x-1 (I) 当a=0时，f)= 3r-1 求导得∫-3x--父.2x- (x-102 (x-102 令f()=0,得x= 2 列表有： (-0,1) ,) 2 f'(x) 0 + ∫(x)递减 递减 极小值点 递增 )的单调减区间为（∞，）和(4，号 单调增区间为（号，+o). 四在x处取得级小：侵 22,无极大值 (Ⅱ)对任意x>1,有f'(x)= 2x3-3x2-a (-1)2 因为(x-1)2>0, 所以f(x)在区间(L,+o)上单调递增等价于当x∈(L,+∞)时，∫(x)≥0恒成立， 等价于2x2-3x2-a≥0，即a≤2x3-3x2, 令g(x)=2x3-3x2，x∈(L,+0). 求导得g'(x)=6.x2-6x=6.x(x-1)>0, 所以g(x)在(1，+o)上单调递增，从而g(x)>g)=-1, 因此要使a≤g(x)对一切x∈L,+o∞)成立，只需a≤-1. 所以实数a的取值范围是(-0，-]. 第2页/共8页 1.ir((2)ino(2) -5 n(m)(w)-o(w)-9tn2a时-m(a侧个 2ar引 因为0l,则-2-引 0m引 令-登42版s2x-名经+2c水e2,解得-君asr5行+e2, 6 故因的单调通端区闻为[名+a+m ,k∈Z: )由D知，f-m2a引 令-号+2版≤2mr-8s+2hkez,0>0, 62 解得-高+倍≤器+倍：当k=0时，高≤r≤ 3aù 3w 已知/心4在区间[0引上单调递增，故品≤0c号品，解得0<0s1: 选① 因为0+得)-o即m(引m(管-引o, 解将n(管引因为0<051，则吾号-号 放警-名云解得w=1:归如(2x-君司 因为e吃.所警2君子普 第3页共8页 2x-天-时，即x=惩时，最小值为/(g)-1 62 6 选② 因为点（径]在的图象上， 则f侣}mg-引-0，四-音k,2,解得o-1 7, 综上，k=0,w=7:k=1,0=l: 此时∫(x)不唯一，故不符合题意： 选③ 因为目}侣)则对常轴为行+}手则受吾受红工，解得 0=1+3k,keZ, 因为0<0≤1，故k=0,8=1:f儿创=如2x-君引 下同① 19.(①根据题意：∠ABD=ABC=90°， ∠ACB=60°，∠ADB=45° ∠BCD=120°，CD=35, 设AB=m,则BD=m,BC=5, 3 在△BCD中，由余弦定理可得： BD2 BC2 CD2 -2BC.CDcos1209 即：m=+号-23朗- 解得：m=35√5 天宁寺塔AB的高度为35V5m. 第4页/共8页 四由(0可得：m=355,BC= m=35 3 在△BCD中，BC=CD,∠BCD=120°，∠BCD=30° (II0在△BED中，∠BDC=30°，∠EBD=45°，所以 ∠BED=105°， 由正弦定理可得： BE BD sin30°sin105o' BE sin309 1-2 6-迈 B sin1050 V6+V2 2 4 20.函数f()的定义域为(-1，+∞)，f()=2e24- x+1 四当k=1时，f(x)=e2“-n(x+l)-1,从而f(0)=1-0-1=0, 因为/)=2e”-本从而0=2-0=1. 代入切线方程y-fO)=∫'(0)(-0)，化简得y=x, 综上，f(x)在点(0，.f(O)处的切线方程为x-y=0. (U四)由题意：对任意x20,c产-kn(x+)-1≥红. 设g(x)=c2r-kln(x+)-ar-l,x∈[0，+∞). 圆g0=0,8=28k 再设A)=g)=2e2-k-k,x∈0，+o. x+1 则h(0)=g'(0)=2-2k,h'(x)=4e+ k (x+)' (1)当k≤0时，g)=2e2-kk≥0，所以g)在[0，网上单调递增，所以 .+1 g()≥g(0)=0,不等式恒成立： 第5页/共8页 (2)当0<k≤1时，h)=42“+k +c+>0，所以g'在0，o)上单调递增， 从而g'(x)≥g(0)=2-2k20,所以g(x)在[0，+∞）上单调递增，所以gx)≥g(0)=0,不 等式恒成立； (3)当k>1时，因为h(x)▣42“+ +y>0,所以g'在0，+o)上单调递增， k 因为g0=2-2水c0,且g内-2g车>0，所以由零点存在阅理，存在唯- x∈(0，k)，使得g'(x)=0.因为当x∈(0，x)时，g(x)单调递减，所以 g(x)<g(0)=0,矛盾！ 综上，实数k的取值范围是(-o,. 画)克，正明如下： 当k>2时，因为。是f(因)在(0，+)的零点，即f()=2c-k *0， 因此k=2(x。+10e2“①. 要证/)登，即证-k%+)-1夸，代入0k=2+0e, 即证e2-2(x+1)e2n(s+1)-l<(+1)e2, 即证1-2(x+1)1(+1)-c2<(3。+1)x, 即证(+1)x+2(x+1)In(+)+e2-1>0②， 设p)=(t+1)1+2(t+1)ln(1+1)+e2-1,te[0,+o). 则p(0)=0,因为p'()=21+1+2[1n(t+1)+1]-2e=2t+2ln(t+1)+3-2e2)>0, 所以p(0在[0，+o)上单调递增，从而p()≥p(0)=0, 所以(x)>p(0)=0，不等式②成立，进而原不等式成立. 综上，f,)<气 第6页/共8页 21.解： (I)R(B)=1,R(B)=1,R(B)=1: (Ⅱ)(i)不存在符合条件的序列，理由如下： 由题意可知，每次变换数表中所有数之和保持不变，初始数表中所有行的和为： R(A)+R(4)+R(4)+R(A)=(4-2)×(3+2+1)=12,对于T=(2,4,k),当P,=9,时， 此变换对数表无彩响，故不妨假设P,≠9，下用R表示R(B). 采取反证法：若存在符合条件的序列2，则∑R=12. 记C),D(),E()分别为2中第一、二、三分量为的项数.由题意 R=R(A)+D)-C)=2(4-)+D()-C().因为D(4)s6,且E()≤1，(3,4，)和 (2,4,)不能同时在2中，因此D(4s5,故R55.又C0≤6，故R≥0.又立R=12, R>R>R2>，所以(R,,R2,R)=(5,4,3,0)或(5,4,2,1). ①当(R,R,R2,R)=(5,4,3,0)时， 由R=0,知C(1)=6,所以(1,3,2)和1,4,2)都在2中，因为E(2)≤2，所以(3,4,2)不在2 中.又因为R=5,所以D(4)=5,即(2,4,1)和(3,4,1)都在2中，与E0)≤1矛盾： ②当(R,R,2,R)=(5,4,2,1)时， 由R=5且E(1)≤1知，(2,4，)和(3,4,1)中只有一个在2中，所以(1,4,2)和(3,4,2)都在2 中，又E(2)≤2，所以(，3,2)不在2中，又因为R=1,所以C)=5,D)=0,(1,2,3) 和(1,2,4)都在2中，即D(2)22,因为2=2，所以C(2)-D(2)=2,C(2)≥4，故(2,3，) 和(2,4，)都在2中，与E(0)≤1矛盾. 综上所述，不存在符合条件的序列， (ii)n的最大值为7，理由如下： R=(n-1)n-2)+DI)-CI),R,=D(m)-C(n),因为Rn>R,所以 第7页/共8页 D(m)+C)>(n-(n-2)、同样不妨假设T=(p,9,k)中p,≠9， 下面按照第三分量r计算D()+C()的值： 当r=1时，由E()≤1，中第二分量为n的项数至多为I: 当"=n时，n中第一分量为1的项数至多为n一2， 当1<r<n时，除(Ln,)会被计算两次外，由E()sr,此时2中第一分量为1和第二分量 为n的项数之和至多为2+(r-)=r+1, 将以上三类求和可得D0+C0S1+究c+1)+0m-2)=+3-8 2 因此有+3n-8>0a-Xm-2》、化简得2-9n+12<0,解得9-历<n<9+ -<n< ,由于 2 2 2 n是正整数、所以ns7、 下面给出n=7的构造： 2:(2,7,,0,7,2),(0,3,2),(0,7,3),(0,2,3),(2,7,3),(,7,4),(1,2,4),(0,3,4),(2,7,4), 07,),0,2,)，0,3,5),(,4,),(2,7,5)，(0,7,)，(0,2,6,0,3,6),(0,4,，(L,5,, (2,7,、0,2,7),1,3,7)、(14,7)，1,5,7)，(1,6,7). 经检验，对于所有的r,均有E(r)≤r,此时C(1)=21,D(7)=10,代入得R=30-21=9, R,=10,满足R,>R· 综上所述，n的最大值为7. 第8页/共8页